一類含有“任意性、存在性”問題的求解策略

安徽省太和中學(xué)

楊發(fā)廷 (郵編：236600)

在高考和模擬試題中經(jīng)常出現(xiàn)一類函數(shù)存在性和任意性問題，它們有時出現(xiàn)在壓軸題、把關(guān)題位置，是考試的熱點之一.這類問題往往又是學(xué)生難以理解的知識,很多學(xué)生對這些問題模糊不清、模棱兩可，而這類知識在學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后，繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時顯得很重要，這類問題弄不清楚，也會影響他們對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),如高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題:數(shù)集的確界、極限的“ε-N”定義等,對于這樣的銜接性問題,都需要理解好任意性、存在性的問題，才能理解好相關(guān)的概念.對于這類問題會涉及函數(shù)、不等式、方程等知識，綜合性較強(qiáng)，很多學(xué)生一直都有“恐函癥”，若這類問題再與“任意性、存在性”等邏輯用語相結(jié)合,又增“恐邏輯癥”,更是難上加難,導(dǎo)致很多同學(xué)一見任意、存在就發(fā)懵,下面結(jié)合實例來辨析和整理含有“任意性、存在性”問題的解題策略.

1 含有不同變量的函數(shù)等式關(guān)系問題

策略1對于不同函數(shù)、不同變量的含有任意、存在的相等關(guān)系的問題可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的值域之間的關(guān)系，常見情況如下：

(1)?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)=g(x2)，可轉(zhuǎn)化為{f(x)|x∈D1}?{g(x)|x∈D2}，

(2)?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)=g(x2)，可轉(zhuǎn)化為{f(x)|x∈D1}∩{g(x)|x∈D2}≠?，

(3)?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)≠g(x2)，可轉(zhuǎn)化為{f(x)|x∈D1}∩{g(x)|x∈D2}=?.

例題1已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0)，若?x1∈[-1,2],?x2∈[-1,2]，使得f(x1)=g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是______.

分析對于兩個不同函數(shù)f(x)、g(x)，兩個不同變量x1、x2，題中條件含有任意、存在的相等關(guān)系，把相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的關(guān)系.

2 含有不同變量的函數(shù)不等式關(guān)系問題

策略2對于不同函數(shù)、不同變量的含有任意、存在的不等關(guān)系問題可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的最值之間的關(guān)系，常見情況如下：

(1)?x1∈D1,?x2∈D2，使f(x1)≥g(x2)，可轉(zhuǎn)化為[f(x)]min≥[g(x)]min；

(2)?x1∈D1,?x2∈D2，都有f(x1)≥g(x2)，可轉(zhuǎn)化為[f(x)]min≥[g(x)]max；

(3)?x1∈D1,?x2∈D2，使f(x1)≥g(x2)，可轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≥[g(x)]min.

分析對于兩個不同函數(shù)f(x)、g(x)，兩個不同變量x1、x2，題中條件含有任意、存在的不等式關(guān)系，把不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值之間的關(guān)系.

(1)若對任意x1∈[0,2]，任意x2∈[-1,3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求實數(shù)m的取值范圍.

(2)若對任意x1∈[0,2]，存在x2∈[-1,3]，使得f(x1)=g(x2)成立，求實數(shù)m的取值范圍.

練習(xí)：

已知函數(shù)f(x)=2k2x+k,x∈[0,1],函數(shù)g(x)=3x2-2(k2+k+1)x+5,x∈[-1,0].

若對任意x1∈[0,1]，存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)=f(x1)成立，求k的取值范圍.

變式1若存在x1∈[0,1],x2∈[-1,0]，使得g(x2)=f(x1)成立，求k的取值范圍.

變式2若存在x1∈[0,1]，x2∈[-1,0]，使得g(x2)>f(x1)成立， 求k的取值范圍.

變式3若對任意x1∈[0,1]，存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)

總之，對函數(shù)中的存在性與任意性問題，可把相等關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的關(guān)系問題，不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.解題中要注意數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用:如轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.

關(guān)于任意性、存在性的語言,我們的學(xué)生并不感覺陌生,在函數(shù)的概念中就涉及到它,同時在函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性中也反復(fù)強(qiáng)調(diào)“任意”二字的內(nèi)涵,又在系統(tǒng)的研究特稱命題和全稱命題的否定中進(jìn)行了深化.以上各種變式題的解決均是從函數(shù)的最值、值域的角度解決考慮的.事實上, 任意性、存在性問題實質(zhì)就是求函數(shù)的最值問題，但要分清是求相關(guān)函數(shù)的最大值還是最小值問題.說到底仍是從兩個集合關(guān)系的角度分析問題,當(dāng)我們的學(xué)生能夠從集合的觀點看待有關(guān)任意性、存在性的問題時,他們能“宏觀上站得高,微觀上看得深”,真正理解好這類問題，相信在遇到類似的問題時不再困惑迷茫.