授之以漁 方能“不用揚鞭自奮蹄”
——對一道高三復(fù)習(xí)題的教學(xué)探究

浙江省紹興市上虞區(qū)城南中學(xué)

章建英 (郵編：638400)

題目(2016年12月浙江省統(tǒng)考17題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在區(qū)間(0,1)上有兩個零點，則3a+b的取值范圍是__________.

這是一道典型的二次函數(shù)區(qū)間內(nèi)零點問題，在高三復(fù)習(xí)的模擬卷中出鏡率很高.題目著重考查學(xué)生的分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力.題目能夠檢驗學(xué)生對二次函數(shù)與二次方程之間關(guān)系的認知程度，對數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的準(zhǔn)確把握.

為更好地發(fā)揮本題的教學(xué)效果，筆者在教學(xué)中通過設(shè)問、思考、討論、板演、講解等方式引導(dǎo)學(xué)生多視角地自主探討本題，授之以漁內(nèi)化為學(xué)生自身的思考能力，從而避免題型講解的致命傷 “從知識到知識的簡單傳授”.本文節(jié)選部分課堂實錄，與同行交流.

1 課堂實錄

教師：請同學(xué)們思考5分鐘，之后來談?wù)勀銓Ρ绢}解法的思考.

5分鐘后請學(xué)生分析講解此題.

學(xué)生1：本題是二次函數(shù)零點的分布問題，所以我想到的方法是利用二次函數(shù)的圖象求解本題，利用條件畫出在區(qū)間(0,1)內(nèi)的二次函數(shù)圖象，然后觀察圖象得出某些函數(shù)值的限制，然后利用這些限制再求3a+b的取值范圍.

教師：很好，思路非常清晰，我們可以利用函數(shù)圖象得到a、b的取值范圍，那么把二次函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化到了什么問題？

學(xué)生齊聲回答：線性規(guī)劃問題.

教師：很好，還有同學(xué)有其它的想法嗎？

學(xué)生2：二次函數(shù)的零點就是對應(yīng)二次方程的根，所以我想到的方法是利用二次方程根跟系數(shù)的關(guān)系，把3a+b的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為根的問題求解.

教師：太棒了，我們又有了一種方法來解決此題.同學(xué)2很好地利用轉(zhuǎn)化思想，把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化到方程代數(shù)運算問題.大家鼓掌！可能大家對兩種方法都很期待吧，那不妨請同學(xué)們現(xiàn)在親自操作來解決此題.

教師巡視學(xué)生的解答情況，10分鐘后，用投影展示兩位同學(xué)的解答過程.

解法一雙根法

則3a+b=3[-(x1+x2)]+x1x2=(x1-3)(x2-3)-9，因為-3

則3a+b∈(-5,0).

解法二線性規(guī)劃法

結(jié)合二次函數(shù)圖象，由根的分布易知

從而可以得到關(guān)于a、b的線性規(guī)劃可行域，然后求直線型目標(biāo)函數(shù)z=3a+b的取值范圍.過點A斜率為-3的直線為y=-3x-5，故3a+b∈(-5,0).

教師：兩位同學(xué)的解答目標(biāo)明確，書寫規(guī)范，為我們做了很好的示范.那你們覺得這兩種方法的易錯點在哪里？

學(xué)生3：老師，解法一的話很容易在由x1、x2的取值范圍推出3a+b的取值范圍時出錯.我剛才就得出了3a+b∈(-6,1).

老師：那你后來是怎么發(fā)現(xiàn)錯誤的呢？

學(xué)生3：后來我檢驗了如若能取到1，-(x1+x2),x1x2取最大值時等號成立的條件是否一致，發(fā)現(xiàn)不一致，即不能同時取到等號，從而擴大了求解的范圍.

老師：太棒了，我們在求解任何問題時，嚴謹?shù)慕忸}習(xí)慣是非常重要的.“一看就會，一做就錯”可能會是部分同學(xué)在高三復(fù)習(xí)階段的學(xué)習(xí)常態(tài).這種學(xué)習(xí)的負能量造成了我們學(xué)習(xí)的自信心不足，對自己的能力產(chǎn)生了懷疑.分析問題時的嚴謹性，計算過程中的嚴謹性就顯得非常重要.我們應(yīng)在平時的學(xué)習(xí)中做到“會做的題”=“應(yīng)得的分”.還有哪位同學(xué)對本題有不同的想法嗎？

學(xué)生4：對于解法二，我有另外一種想法.

老師：什么想法，說說看!

學(xué)生4：一個函數(shù)的零點問題，我們可以把問題轉(zhuǎn)化為兩支函數(shù)圖象的交點問題解決.

老師：這想法不錯，請你來板書.

5分鐘后，學(xué)生呈現(xiàn)解法三.

解法三半?yún)?shù)數(shù)形結(jié)合法

函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在區(qū)間(0,1)上有兩個零點?方程x2+ax+b=0在(0,1)上有解?函數(shù)h(x)=-x2與g(x)=ax+b在(0,1)有交點,即直線g(x)過曲線段OA(不包含端點)上兩點，當(dāng)x=3時，g(3)=3a+b的取值范圍.

由圖易知：當(dāng)g(x)分別為h(x)=-x2在(0,0),(1,-1)處的切線時，g(3)=3a+b取最大值和最小值.兩處的切線方程為：g(x)=0,g(x)=-2x+1，所以g(3)=3a+b的最大值為0，最小值為-5，即3a+b∈(-5,0).

老師：非常棒，通過半?yún)?shù)分離與數(shù)形結(jié)合，我們又有了一種解決此類二次函數(shù)零點問題的途徑.感謝4位同學(xué)的精彩回答，你們通過思考，探求到最后的解答，給了老師驚喜.解決問題的方法有多種，我們在解決問題時盡量能探尋到最有效的途徑，以最快最準(zhǔn)的方式解決數(shù)學(xué)問題.我們來試試吧！

投影：

(1)(2016湖州二模)已知關(guān)于x的方程x2+2bx+c=0(b、c∈R)在[-1,1]上有實根，且0≤4b+c≤3，則b的取值范圍為__________.

(2)(2017.4溫州)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在[-1,1]上有零點，則ab的最大值是__________.

(3)(2017.4杭州)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的兩個零點為x1、x2，若|x1|+|x2|≤2，則( )

A.|a|≥1 B. |b|≤1

C.|a+2b|≥2 D.|a+2b|≤2

學(xué)生表現(xiàn)積極，能逐一講出解決上述問題的方法.

2 課后反思

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，一方面學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和把握往往通過解題來表達和完善，另一方面數(shù)學(xué)問題也是展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法和能力、錘煉數(shù)學(xué)思維的重要載體，因此解題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要部分.對于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課而言解題教學(xué)可謂是教學(xué)的主旋律.那么如何更好地唱響主旋律，筆者認為還是要還課于生.學(xué)生是主旋律的控制者，引導(dǎo)者.突出學(xué)生的主體地位是衡量一節(jié)課是否優(yōu)秀的重要指標(biāo)之一.本節(jié)課，不惜花35分鐘在一道填空題的探討上，學(xué)生從聆聽者的角色轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲗?dǎo)全局的控制者，求知欲之強，參與熱情之高，深深打動了教師.作為教師，課堂上我們所能做的不是包辦和代替，而是要通過積極的啟發(fā)引導(dǎo)，激活學(xué)生的思維，探求問題解決的途徑，潤物細無聲地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 林運來. 注重核心素養(yǎng) 引領(lǐng)數(shù)學(xué)改革[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(10)

2 許欽彪. 化被動為主動 從人為到自然[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(4)