數(shù)論中二元二次型理論的起源和早期發(fā)展

胡俊美，賈隨軍

（1.石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系，河北 石家莊 050043；2.浙江外國(guó)語學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 310012）

二次型理論是數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)各分支以及力學(xué)、物理學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用。如在解析幾何中，二次型常見于二次曲線和曲面方程；在力學(xué)和物理學(xué)中，二次型常見于用廣義速度的分量來表示系統(tǒng)動(dòng)能的表達(dá)式。數(shù)論中的二元二次型是指整系數(shù)二次齊次多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2。

眾所周知，數(shù)論是研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。整數(shù)是最基本、最貼近現(xiàn)實(shí)、簡(jiǎn)單易懂的數(shù)學(xué)對(duì)象，古希臘時(shí)代就將它作為和諧與完美的典范，并視其為組成宇宙的基本原則，形成了所謂“萬物皆數(shù)”的哲學(xué)信念。因此，對(duì)整數(shù)性質(zhì)的探索便成為歷代數(shù)學(xué)家追求完美、探索宇宙、考驗(yàn)智力的基本目標(biāo)。

1 二元二次型思想的萌芽

正整數(shù)有兩種基本運(yùn)算——加法和乘法。把一個(gè)正整數(shù)分拆成幾個(gè)正整數(shù)的和與積的問題稱為“表示問題”。乘法表示問題比較簡(jiǎn)單，算術(shù)基本定理已經(jīng)從理論上給予解決，但加法表示問題則復(fù)雜得多。為此，人們開始探索是否每個(gè)數(shù)都能用一些特殊的數(shù)來進(jìn)行加法表示，如平方數(shù)、立方數(shù)、圖形數(shù)。關(guān)于這個(gè)問題最早可以追溯到古希臘畢達(dá)哥拉斯（Phthagoras，約前560—約前480）學(xué)派對(duì)勾股數(shù)的研究，但直到希臘數(shù)學(xué)晚期丟番圖（Diophantus，約246—330）時(shí)代才形成較為廣泛、系統(tǒng)的表示問題。

1.1 丟番圖《算術(shù)》中的型數(shù)

丟番圖被譽(yù)為“代數(shù)學(xué)之父”，他的鴻篇巨著《算術(shù)》（Arithmetica）解決了很多代數(shù)方程和數(shù)論問題。這是一部劃時(shí)代的著作，其歷史影響堪與歐幾里得（Euclid，約前330—前275）的《幾何原本》相媲美，將古希臘代數(shù)與算術(shù)發(fā)展推至巔峰。

《算術(shù)》共13卷，對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派x2+y2=z2這樣不定方程的求解問題進(jìn)行了深入而系統(tǒng)的研究。如第二卷的第18個(gè)問題“把已知的一個(gè)平方數(shù)分解為兩個(gè)平方數(shù)之和”，第28個(gè)問題“求兩個(gè)平方數(shù)，使其乘積與其中任何一個(gè)相加后仍為平方數(shù)”；第四卷第3個(gè)問題“求兩個(gè)平方數(shù)，使其和恰為立方數(shù)”等。丟番圖還考慮很多關(guān)于線性或二次方程的解的問題，如形如8n+7的整數(shù)不能表示成三個(gè)平方數(shù)之和。

顯然，丟番圖是一個(gè)當(dāng)之無愧的解題能手，但他不是一個(gè)深邃的思想家，未能對(duì)其所用方法的實(shí)質(zhì)加以統(tǒng)一與概括，缺乏一般性的意義。另外，丟番圖在《算術(shù)》中所提到問題的解僅為正有理數(shù)，受所處時(shí)代的影響，他不承認(rèn)負(fù)數(shù)解和無理數(shù)解。然而，我們不難發(fā)現(xiàn)丟番圖不論在加法表示還是在求解不定方程的過程中都對(duì)一些特殊的數(shù)格外關(guān)注，如立方數(shù)，尤其是平方數(shù)，即所謂的型數(shù)x2。他把型數(shù)作為獨(dú)立的個(gè)體來研究，考察了把一個(gè)數(shù)表示成型x2+y2的問題，而這個(gè)型正是最基本、最簡(jiǎn)單二元二次型，由此可以把他的工作看作是二元二次型研究的肇始。

文藝復(fù)興時(shí)期，數(shù)學(xué)家們出版了《算術(shù)》的很多譯本，但其中最有名的是1621年巴歇（Bachet C G，1581—1638）的拉丁文譯本，它正是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究工作的出發(fā)點(diǎn)。

1.2 費(fèi)馬對(duì)型x2+ny2的初步研究

費(fèi)馬（P de Fermat，1601—1665）是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在許多領(lǐng)域都做出了杰出貢獻(xiàn)。他率先拉開了微積分理論研究的帷幕，奠定了解析幾何的基礎(chǔ)，與帕斯卡共同創(chuàng)立了概率論，但他的非凡才能在數(shù)論方面表現(xiàn)得更為淋漓盡致?？梢哉f，他的數(shù)論貢獻(xiàn)引領(lǐng)了19世紀(jì)之前數(shù)論的研究方向。正是由于他的工作，整數(shù)論發(fā)展成為一門獨(dú)立的學(xué)科。然而，費(fèi)馬生前從未發(fā)表過任何著作，其理論成果都寫在讀書評(píng)注以及和朋友的通信中。

眾所周知，除2外，任何素?cái)?shù)都可以表示成4n+1和4n+3的形式。1640年12月25日，費(fèi)馬在寫給好友梅森（Mersenne M，1588—1648）的信中指出：形如4n+1的素?cái)?shù)及其平方能唯一表示為兩平方數(shù)之和；其立方及四次方能以兩種方式表示為兩平方數(shù)之和；其五次及六次方能以3種方式表示為兩平方數(shù)之和；以此類推，直至無窮。如5=22+12，52=42+32，53=22+112=52+102。1654年，費(fèi)馬在寫給帕斯卡（Pascal B，1623—1662）的信中進(jìn)一步講到：形如8n+1及8n+3的素?cái)?shù)具有型x2+2y2；3及形如3n+1的素?cái)?shù)具有型x2+3y2。[1]除此，1658年費(fèi)馬在給迪格比（Digby）的信中又談到了關(guān)于x2+5y2的猜想，得出：若p和q是形如20n+3或20n+7的兩個(gè)素?cái)?shù)，則pq具有型x2+5y2。

佩爾方程是最古老的方程之一，對(duì)這個(gè)問題的研究在古希臘和印度都有著悠久的歷史。1657年，費(fèi)馬在給弗瑞尼科（Frénicle B，1604—1674）的信中講到：若b是一個(gè)非完全平方的整數(shù)，則佩爾方程x2+by2=1有無窮多解。隨后他進(jìn)行了推廣，聲稱自己在已知b和c時(shí)，解決了x2+by2=c在什么情況下可解的問題，并指出可用無窮遞降法對(duì)上述結(jié)論給出證明。然而，費(fèi)馬的這一工作在現(xiàn)有的資料中都沒有記載。

盡管費(fèi)馬對(duì)型的研究來源于對(duì)素?cái)?shù)及解方程的興趣，他或許根本就沒有意識(shí)到這類問題的重要性，但與丟番圖相比較，他在二元二次型方面取得了兩項(xiàng)重要進(jìn)展：第一，他打破了丟番圖對(duì)有理數(shù)的考察，回到了數(shù)論最基本的研究對(duì)象——整數(shù)，這兩種數(shù)在二元二次型理論中有著本質(zhì)不同；第二，他不僅研究了丟番圖的將一個(gè)數(shù)表示為型x2+y2的問題，還進(jìn)一步研究了將一個(gè)數(shù)表示為型x2+2y2、x2+3y2，乃至x2+ny2的問題。雖然費(fèi)馬對(duì)二元二次型的研究只是局限在x2+ny2這種形式，但他遺留下來的一系列問題成為了其他數(shù)學(xué)家研究工作的出發(fā)點(diǎn)。關(guān)于費(fèi)馬這些最簡(jiǎn)單的“二次型”定理，雅可比（Jacobi C G J，1804—1851）評(píng)價(jià)說：“在證明這些論斷的過程中，數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了算術(shù)理論。”[2]

1.3 歐拉對(duì)費(fèi)馬工作的推進(jìn)

繼費(fèi)馬之后，數(shù)論很長(zhǎng)一段時(shí)間都處于沉寂狀態(tài)，隨著歐拉（Euler L，1707—1783）相關(guān)工作的問世，它的重要性才日益凸顯出來。誠(chéng)然，數(shù)論中的很多問題陳述起來淺顯易懂，但要回答起來往往令許多杰出的大數(shù)學(xué)家費(fèi)盡周折。費(fèi)馬對(duì)他的發(fā)現(xiàn)成果幾乎沒有給出任何證明，如果說他編寫了一部高超的習(xí)題集，歐拉則可看作是最忠實(shí)的解題者。

歐拉證明了費(fèi)馬關(guān)于型x2+y2、x2+2y2、x2+3y2的論斷。他雖然沒能證明費(fèi)馬關(guān)于“若p和q是形如20n+3或20n+7的兩個(gè)素?cái)?shù)，則pq具有型x2+5y2”的猜想，但他在1744年進(jìn)一步提出猜想：p為具有型x2+5y2的奇素?cái)?shù)當(dāng)且僅當(dāng)p=20n+1或p=20n+9；2p具有型x2+5y2當(dāng)且僅當(dāng)p=20n+3或p=20n+7。隨后，歐拉又猜想：p為具有型x2+14y2或2x2+7y2的奇素?cái)?shù)（p≠7）當(dāng)且僅當(dāng)p=56n+1、56n+9、56n+15、56n+23、56n+25或56n+39；3p具有型x2+14y2當(dāng)且僅當(dāng)p=56n+3、56n+5、56n+13、56n+19、56n+27或56n+45。除此，他還對(duì)型x2+27y2、x2+64y2提出一系列猜想。歐拉猜想具有重要的歷史價(jià)值，1773年，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange J L，1736—1813）發(fā)展了一種由二元二次型的潛在結(jié)構(gòu)向明顯結(jié)構(gòu)過渡的語言，利用二元二次型的約化理論以及等價(jià)的思想，對(duì)歐拉的許多猜想給出了證明。

歐拉的論文及信件中還包含著許多并未證明的算術(shù)定理。如：方便數(shù)（Convenient number）d=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，13，15，…，1 320，1 365，1 848（共65個(gè)）滿足：若ab=d，且有一個(gè)數(shù)可唯一表示為型ax2+by2，其中（ax，by）=1，則這個(gè)數(shù)一定為素?cái)?shù)p、2p或2k。

由此看見，歐拉的工作是對(duì)費(fèi)馬工作的延續(xù)與推廣，考慮了型ax2+by2。他在解決型x2+3y2這個(gè)問題的過程中，又不可回避、機(jī)緣巧合地遇到了型x2+xy+y2。事實(shí)上，盡管經(jīng)過了很多嘗試，歐拉只完整地證明了費(fèi)馬的二平方定理，他在二元二次型發(fā)展過程中最大的貢獻(xiàn)在于介紹了很多前人未曾考慮的例子，并采用了分析的方法。

2 二元二次型理論的形成

歐拉時(shí)期的二元二次型理論堪稱是一系列問題構(gòu)成的匯本，幾乎有多少問題就有多少理論、就有多少技巧，數(shù)學(xué)家們需逐個(gè)將其擊破，這就陷入了一種看似不斷推廣與深入、實(shí)則雜亂無章的局面。拉格朗日和高斯（Gauss C F，1777—1855）通過考慮一般的二元二次型實(shí)現(xiàn)了數(shù)論研究方法的一大飛躍，他們不再針對(duì)個(gè)別的二次型，而是對(duì)所有型進(jìn)行一種高度抽象的研究，實(shí)現(xiàn)了一堆互不關(guān)聯(lián)的結(jié)論從雜亂叢集走向完美統(tǒng)一的道路。

2.1 拉格朗日的奠基性工作

在數(shù)論中，歐拉只是解決了費(fèi)馬提出的少數(shù)幾個(gè)問題，拉格朗日才是真正意義上的繼承者。他憑借著自己敏銳的判斷力與獨(dú)創(chuàng)的技巧證明了費(fèi)馬提出的一系列命題與猜想?？梢哉f，拉格朗日是近代二元二次型理論的奠基者。

1768年，拉格朗日完成論文《算術(shù)問題的解》，首次證明了佩爾方程x2+by2=1不僅有解，而且解有無窮多個(gè)。但因其過程太過冗長(zhǎng)繁瑣，他一直對(duì)此耿耿于懷，更讓他不滿的是，直到1773年這篇論文才得以問世。

1773年，拉格朗日發(fā)表論文《算術(shù)研究》（Recherches d'arithmétique），這是他在二元二次型理論中做出的最重要的工作，通過證明費(fèi)馬、歐拉遺留下的把素?cái)?shù)表示成型x2+2y2、x2+3y2等問題，發(fā)展出了二元二次型的一般理論。這是數(shù)學(xué)史上首次以一種系統(tǒng)而明確的方式建立起來的最完善的算術(shù)理論。他完全超越費(fèi)馬和歐拉對(duì)個(gè)別問題個(gè)別處理的思維模式，把對(duì)無窮多個(gè)型的研究化簡(jiǎn)成對(duì)有限多個(gè)型類的研究，在數(shù)論史乃至整個(gè)數(shù)學(xué)史上具有重要意義?？梢哉f，拉格朗日堪稱對(duì)一般二元二次型理論加以研究的第一人。[3]

《算術(shù)研究》沿用了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)風(fēng)格，表述簡(jiǎn)潔、清晰。在這篇文章中，與前人一樣，拉格朗日也從數(shù)m能否由型來表示的問題出發(fā)，考察二元二次型的一般形式q（x，y）=ax2+bxy+cy2——拉格朗日型，簡(jiǎn)記為（a，b，c），判別式D=b2-4ac。

經(jīng)變量代換 X=αx+βy和Y=γx+δy（其中α,β,γ,δ 為整數(shù)），型f=ax2+bxy+cy2可化為F=AX2+BXY+CY2，同時(shí)，經(jīng)類似變換F也可化為f，拉格朗日稱型f和F“可以相互變換”。從表示的角度來說，若一個(gè)數(shù)既可由型f表示，又可由型F表示，則稱這兩個(gè)型“可以相互變換”。拉格朗日證明，若兩個(gè)型可以相互變換，則它們的判別式相等，即均為b2-4ac，且αδ-βγ=±1。用布爾（Boole G，1815—1864）、凱萊（Cayley A，1821—1895）和西勒維斯特（Sylvester J J，1814—1897）的不變量語言來說，二元二次型的判別式是這個(gè)變換過程中的不變量。顯然，拉格朗日知道“可以相互變換”滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性，也就是今天所說的“等價(jià)”。他之所以這樣命名，是因?yàn)椴辉敢馐褂眯碌母拍詈托g(shù)語，[4]“等價(jià)”的概念是高斯給出的。

等價(jià)的二元二次型具有相等的判別式，但是判別式相等的型卻不一定等價(jià)。在等價(jià)思想的基礎(chǔ)上，拉格朗日對(duì)所有判別式相等的型劃分歸“類”：兩個(gè)型在一個(gè)朗格朗日類的充分必要條件是它們等價(jià)。這樣，問題就轉(zhuǎn)化為具有給定判別式的二元二次型一共可以劃分成多少個(gè)等價(jià)類，是否可以求出每個(gè)等價(jià)類中的代表型。根據(jù)D＜0和D＞0，他把二次型分為定型和不定型，它們的算術(shù)性質(zhì)有很大差別。當(dāng)判別式D＜0時(shí)，拉格朗日完滿地解決了這個(gè)問題。他證明每個(gè)等價(jià)類中都存在一個(gè)特殊形式的二元二次型，即約化型ax2+bxy+cy2（0≤b≤a≤c）。不同的約化型彼此不等價(jià)。因?yàn)?D=4ac-b2≥3a2，a，b，c均為整數(shù)，由此a的個(gè)數(shù)為有限多，又0≤b≤a，故也只存在有限多個(gè)b，而D=b2-4ac，所以c的個(gè)數(shù)也為有限多。于是判別式為D（D＜0）的二元二次型只有有限多個(gè)等價(jià)類。這樣，就能用對(duì)有限個(gè)二元二次型等價(jià)類的研究取代對(duì)無限多個(gè)二元二次型的研究，達(dá)到以簡(jiǎn)代繁的目的。對(duì)于不定型，問題要復(fù)雜得多，拉格朗日證明不定型雖具有約化型，但形式不唯一。

在完成了二元二次型的基本理論之后，拉格朗日給出了它們?cè)跀?shù)論中的應(yīng)用。他將注意力轉(zhuǎn)向了費(fèi)馬和歐拉，利用二次型的約化理論證明了前面提到的費(fèi)馬關(guān)于形如x2+ny2（n=1，2，3）的素?cái)?shù)結(jié)論及關(guān)于“若p和q是形如20n+3或20n+7的兩個(gè)素?cái)?shù)，則pq具有型x2+5y2”的猜想。同時(shí)他也最終證明了歐拉1774年提到的關(guān)于x2+5y2的一些猜想。

不管在研究方法還是研究結(jié)果上，拉格朗日的工作都是對(duì)前人的一次巨大突破，標(biāo)志著數(shù)論研究方向的創(chuàng)新與飛躍，是當(dāng)時(shí)二元二次型理論最基本、最重要的文獻(xiàn)。1782年拉格朗日擔(dān)任柏林科學(xué)院數(shù)學(xué)部主任，他在數(shù)論方面的杰出工作引起了勒讓德（LegendreAM，1752—1833）的注意。勒讓德不僅對(duì)拉格朗日的結(jié)果作了改進(jìn)與完善，還得出了許多新的結(jié)論，這些結(jié)果收錄到了他1785年的著作《不定分析的研究》及1798年的《數(shù)論隨筆》中。特別值得一提的是，后一部著作雖然并不完整，只是概述了數(shù)論當(dāng)時(shí)的狀況，卻是18世紀(jì)最重要的數(shù)論著作之一。

2.2 高斯的發(fā)展與創(chuàng)新

盡管拉格朗日在二元二次型理論中做出了重大貢獻(xiàn)，但二元二次型理論的系統(tǒng)化發(fā)展應(yīng)歸功于高斯。1801年，高斯的《算術(shù)研究》（Disquisitiones Arithmeticae）問世，在前言中他寫道：“丟番圖對(duì)數(shù)論中很多特殊規(guī)律進(jìn)行了研究，然而數(shù)論的發(fā)展更需考察‘一般原則’，費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日等人已開始著手這一工作，此書將系統(tǒng)地介紹我本人的數(shù)論研究成果。”[5]

《算術(shù)研究》由七章構(gòu)成，其中第五章對(duì)二次型進(jìn)行了廣泛討論。在拉格朗日二元二次型工作的基礎(chǔ)上，高斯引進(jìn)了許多新的概念與術(shù)語（其中很多都參考了拉格朗日暗含使用的概念），將記號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化，系統(tǒng)處理并推廣了現(xiàn)存定理，從各個(gè)角度使二元二次型理論得到空前豐富與擴(kuò)展。在高斯的引領(lǐng)之下，型的理論最終發(fā)展成19世紀(jì)數(shù)論研究的主要課題之一，成為一個(gè)獨(dú)立、自在的數(shù)學(xué)對(duì)象。

與拉格朗日的工作相比，高斯的結(jié)果更接近現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)。他考慮了一般的二次型ax2+2bxy+cy2，從代數(shù)計(jì)算角度看，這比拉格朗日把型的中間項(xiàng)系數(shù)用b表示更具優(yōu)勢(shì)，他將其記為（a，b，c），相應(yīng)判別式D=b2-ac。高斯將拉格朗日“可以相互變換的型”稱為“等價(jià)”，并進(jìn)一步將αδ-βγ=1的等價(jià)稱為“真等價(jià)”，αδ-βγ=-1的稱為“非真等價(jià)”。高斯證明，每個(gè)等價(jià)類都可以選最簡(jiǎn)單的二次型約化型作為代表。其次，針對(duì)所有二元二次型，他證明等價(jià)的二次型判別式相等，盡管反之不成立，但判別式相等的二次型只有有限多個(gè)等價(jià)類。

更具突破性的是，在對(duì)拉格朗日一系列二次型的定理進(jìn)行推廣的基礎(chǔ)上，高斯率先提出了到當(dāng)時(shí)為止任何人都未曾涉獵的課題——型的合成理論。若由代換 X=pxx'+p'xy'+p"yx'+p'"yy'，Y=qxx'+q'xy'+q"yx'+q'"yy'，二元二次型 F=AX2+2BXY+CY2可化為型f=ax2+2bxy+cy2與f'=a'x'2+2b'x'y'+c'y'2的乘積，則稱型F可變換成ff'。若此變換進(jìn)一步滿足pq'-qp'、pq"-qp"、pq'"-qp'"、p'q"-q'p"、p'q'"-q'p'"和p"q'"-q"p'"無公因子，則稱型F是型f與f'的合成。

設(shè)F、f和f'這3個(gè)型的判別式分別為D、d和d'，系數(shù)的最大公因子分別為M、m和m'，高斯證明：若二元二次型F可以變換成ff'，則d=Dn2且d'=Dn'2，其中n和n'為有理數(shù)，且滿足m'n和mn'均為整數(shù)。由此他得出：（1）D 與d、d'具有相同符號(hào)，且均為某個(gè)數(shù)的平方；（2）若F是f和f'的合成，則D=（dm'2，d'm2），反之也成立；（3）若F由f和f'合成，則M=mm'。

在第236目中，高斯證明判別式相等或者判別式至少存在平方關(guān)系的兩個(gè)二元二次型可以合成，給出了合成方法，并得到合成結(jié)果仍然是一個(gè)二元二次型，即型的合成滿足封閉性。接著，在一個(gè)腳注中，他指出F=ff′（F是 f和 f′的合成）在某種意義下可交換。在第240目中，他又證明：若F=ff′且G=Ff″；F′=ff″且 G′=F′f′，則 F 和 F′真等價(jià)。由此，可得出：G=Ff=(ff)f=(ff)f，G′=F′f′=(ff″)f′=f′(ff″)，即從等價(jià)的角度而言，型的合成滿足結(jié)合律。

高斯在第243目證明了如下特殊情況。（1）若兩個(gè) 型 (a,b,c) 和 (a′,b′,c′) 的 判 別 式 都 為 D ，(m,m′)=1 ，(a,a′)=1 ，則合成結(jié)果 (A,B,C)滿足A=aa′，B ≡ b(moda)，B ≡ b′(moda′)，

C=(B2-D)A。由此可知，若其中有一個(gè)為主型（a=1，b=0，c=-D），則 A=a′，B=b′，C=c′。在此基礎(chǔ)上，他得出主型和任何與其有相同判別式的型合成之后仍為這個(gè)型本身，即主型在型的合成理論中充當(dāng)著單位元的角色。（2）兩個(gè)相對(duì)(a,b,c)和(a,-b,c)的真本原型合成后，其合成結(jié)果(A,B,C)滿足A=1，B=0，C=-D，即它為具有相同判別式的主型。

高斯的型的合成理論開辟了二元二次型理論研究的新篇章，如他在此基礎(chǔ)上提出的虧格（genus）以及如何根據(jù)兩個(gè)型的虧格來確定合成型的虧格的方法，是數(shù)學(xué)史上有關(guān)虧格理論的最早文獻(xiàn)。[6-7]除此，高斯的工作還蘊(yùn)含了現(xiàn)代結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)中最重要的組成部分——群。事實(shí)上，對(duì)于判別式相等且系數(shù)互素的型，它們的等價(jià)類在高斯所定義的合成法則下構(gòu)成一個(gè)有限阿貝爾群。雖然高斯本人并沒有提出群的概念，不過這是群的概念的數(shù)論來源。[8]誠(chéng)然，高斯并沒有把群作為研究對(duì)象，甚至根本就沒有意識(shí)到群這種特殊結(jié)構(gòu)的存在，而僅僅是從對(duì)二元二次型理論繁雜的計(jì)算中隱晦得到的。故此，當(dāng)時(shí)二次型理論的發(fā)展并沒有催生群論的產(chǎn)生。然而，當(dāng)后來發(fā)展的群論（最初是置換群）和數(shù)論所共有的幾個(gè)推理模式的抽象內(nèi)容得到認(rèn)可時(shí)，這些發(fā)展對(duì)抽象群概念的形成起到了巨大的推動(dòng)作用。[9]

3 二元二次型理論的影響

高斯的工作在數(shù)學(xué)史上具有重要地位，它不僅是現(xiàn)代數(shù)論研究的開端，而且決定了到目前為止有關(guān)這一課題研究的基本方向。

3.1 代數(shù)數(shù)論的基石

對(duì)于方程x2+y2=n，只要令n=( )x+iy

(x-iy)（其中i2=-1），也就是通過研究高斯整數(shù)a+bi（a、b均為整數(shù)）便可得到它的解。高斯證明：與整數(shù)環(huán)Z相同，高斯整數(shù)環(huán)Z[]i中的元素均滿足唯一分解性質(zhì)，于是此類方程的整數(shù)解問題得到圓滿解決。但是，在考察二元二次型ax+2bxy+cy=n的整數(shù)解問題時(shí)，需要研究環(huán)Z[D]（D=b2-ac），而該環(huán)中許多元素均不具有唯一分解性，由此必須延伸至更大的域和環(huán)——二次域和它的（代數(shù)）整數(shù)環(huán)，他在這方面的工作是二次域研究的開端。[10]與群論相同，高斯的二次域算術(shù)也是在對(duì)一系列問題的實(shí)際計(jì)算中產(chǎn)生的，可以說他并非采用當(dāng)今代數(shù)數(shù)而是通過二次型的語言創(chuàng)立了二次域算術(shù)，這一偉大成果應(yīng)該被他的二元二次型理論所囊括。

此外，高斯的型的合成理論極富技巧性，尚克斯（Shanks D，1793—1855）指出：“一般來說型的合成‘很難’，有時(shí)甚至可以說非常困難。許多數(shù)論學(xué)家都害怕合成，具有恐懼癥，這種狀況直到采用理想、連分?jǐn)?shù)等形式研究時(shí)才得以改觀?！盵11]而在此方面首先做出貢獻(xiàn)的是戴德金（Dedekind J W R，1831—1916），他將理想的概念與思想引入數(shù)論，考慮二次域，用抽象的代數(shù)方法對(duì)高斯的二元二次型工作加以改造。通過對(duì)高斯二次域的一般化，二次型的理想論成為了用來研究二元二次型整數(shù)表示的強(qiáng)有力的語言。除此，庫默爾（Kummer E E，1810—1893）在研究費(fèi)馬大定理的過程中，不得不考慮環(huán)，p為奇素?cái)?shù)），進(jìn)而得到了的一系列深刻性質(zhì)，開創(chuàng)了對(duì)分圓域理論研究的先河。

高斯、戴德金和庫默爾在二次域與分圓域方面的貢獻(xiàn)為數(shù)論的研究提供了新的工具，引導(dǎo)著后人用代數(shù)方法來研究數(shù)論問題，并由此促進(jìn)了代數(shù)數(shù)論的產(chǎn)生。此后經(jīng)狄利克雷（Dirichlet P G L，1805—1859）、希爾伯特（Hilbert D，1862—1943）等人的完善與系統(tǒng)化，代數(shù)數(shù)論理論不斷發(fā)展。事實(shí)證明，隨著理想論和代數(shù)數(shù)論的發(fā)展，高斯的依靠強(qiáng)有力的計(jì)算所得到的二元二次型理論僅為一種更抽象理論的冰山一角，他在二維空間的證明逐漸被n維空間的論證所取代。

3.2 一般二次型理論的研究

自高斯在二元二次型理論方面的先驅(qū)性工作之后，人們開始把目光轉(zhuǎn)向?qū)Χ嘣涡偷难芯?，如西伯（Seeber LA，1793—1855）對(duì)三元二次型的等價(jià)問題進(jìn)行了廣泛考察，其后他的工作由愛森斯坦（Eisenstein F G M，1823—1852）進(jìn)一步深化。狄利克雷研究了二次型的一般理論，總結(jié)了高斯之前所有人在二次型方面所做的重要工作，收錄到其名著《數(shù)論講義》中。不僅如此，他還得到了許多全新的結(jié)論與思想方法，事實(shí)證明，它們與很多數(shù)學(xué)分支（如積分學(xué)、不定方程和三角和）都存在密切聯(lián)系，成為其研究工作的出發(fā)點(diǎn)。另外在二次型領(lǐng)域做出卓越貢獻(xiàn)的還包括埃爾米特（Hermite C，1822—1901）、史密斯（Smith H J S，1826—1883）、若爾當(dāng)（Jordan C，1838—1922）和龐加萊（Poincaré J H ，1854—1921）等。

許多俄國(guó)數(shù)學(xué)家也投入到二次型的研究工作中。[12]布尼亞柯夫斯基（Bunyakovskiǐ V Ya，1804—1889）不僅為高斯理論的傳播做出了積極貢獻(xiàn)，還處理了如何用特殊的二次型表示數(shù)。大約同時(shí)，切比雪夫（Chebyshev P L，1821—1894）及其學(xué)生另辟蹊徑，遵循拉格朗日的路線對(duì)二次型進(jìn)行了深入研究。對(duì)于n元二次型，這是著名數(shù)學(xué)家閔可夫斯基（Minkowski H，1864—1909）在學(xué)生時(shí)代就考慮的問題，他推廣了高斯的方法，探討如何用變?cè)嗟男蛠肀硎咀冊(cè)俚男偷膯栴}，得到了整系數(shù)n元二次型的理論體系，并最終完成閔科夫斯基約化理論。

在這些工作的基礎(chǔ)上，西格爾（Siegel C L，1896—1981）、哈賽（Hasse H，1898—1979）等人創(chuàng)立了二次型的算術(shù)理論。與之平行發(fā)展的是戴德金、佛羅貝尼烏斯（Frobenius G，1849—1917）、諾特（Noether E，1882—1935）、阿廷（Artin E，1898—1962）發(fā)展起來的抽象代數(shù)思想，這些思想最終導(dǎo)致對(duì)20世紀(jì)主流——結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的研究。之后，二元二次型的豐富理論成果不斷得以延伸與應(yīng)用。

4 結(jié)論

二元二次型理論在數(shù)論，甚至在整個(gè)數(shù)學(xué)中具有特殊的地位，它不僅是對(duì)古希臘數(shù)論知識(shí)的繼承和發(fā)展，也為數(shù)論進(jìn)入現(xiàn)代數(shù)學(xué)大門奠定了基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)內(nèi)容上，它發(fā)展了古希臘時(shí)代型數(shù)問題的研究，使它成為一個(gè)專門的數(shù)論分支，并具有向更多變量、更高次數(shù)推廣的一般形式；在數(shù)學(xué)方法上，它是一般到特殊的研究方法的體現(xiàn)；在數(shù)學(xué)思想上，二次型理論更是蘊(yùn)藏著近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的許多重要數(shù)學(xué)思想，比如：運(yùn)算封閉性思想、代數(shù)結(jié)構(gòu)思想、代數(shù)分解思想、幾何分類思想、不變式思想等。實(shí)際上，二元二次型理論連接著代數(shù)數(shù)論、抽象代數(shù)、線性代數(shù)、高維幾何等多個(gè)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支。