數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用策略研究

馬永禎

摘 要：數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的已有條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，對其中所包含的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行簡要分析，揭示其中所蘊(yùn)含的幾何概念，實(shí)現(xiàn)空間形式的具體展示與數(shù)量關(guān)系的精準(zhǔn)分化的有機(jī)結(jié)合。其中的“數(shù)”可以定義為數(shù)學(xué)知識的表面表示形式，如數(shù)字、數(shù)學(xué)概念、定理等概念性的命題;而“形”可以直接理解為幾何圖形的直觀表現(xiàn)形式，如實(shí)際物體、圖像、圖形或符號，將數(shù)與形從表面理解含義進(jìn)行綜合，可以幫助學(xué)生透過表面發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)含義，實(shí)現(xiàn)對于數(shù)學(xué)知識的整體認(rèn)知，并靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活問題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);線性規(guī)劃;數(shù)形結(jié)合

一、 引言

學(xué)生步入高中階段，理論知識的學(xué)習(xí)也變得更加艱深難懂，這些知識對于學(xué)生學(xué)習(xí)能力、理解能力、抽象思維能力以及學(xué)習(xí)思維的要求都較高，而且學(xué)生直接面臨著高中升大學(xué)的考試，是學(xué)生人生的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，他們需要通過有效的學(xué)習(xí)成績實(shí)現(xiàn)對自我人生軌跡的把握和學(xué)習(xí)能力的提升。

此階段的學(xué)生已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了文理分科，大部分文科生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，對于圖形敏感度不強(qiáng)，不具備基本的以代數(shù)學(xué)習(xí)提升幾何學(xué)習(xí)的能力;而理科班的學(xué)生則需要高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提升個(gè)人學(xué)習(xí)成績，并形成正確的學(xué)科思維，實(shí)現(xiàn)個(gè)人學(xué)習(xí)能力的提高。

通過對高考數(shù)學(xué)題型進(jìn)行分析整合，可以發(fā)現(xiàn)近年來高考命題逐漸向多樣性，開放性方向發(fā)展，考題中增加了應(yīng)用題和情景題的比重，注重對學(xué)生創(chuàng)造性能力的考查，通過對知識的深刻理解實(shí)現(xiàn)對學(xué)生綜合運(yùn)用知識能力、學(xué)習(xí)思維、學(xué)習(xí)方法的檢驗(yàn)。

例如，（2012·江西）高考數(shù)學(xué)就有一道要求利用線性規(guī)劃，簡單解答實(shí)際問題的題目：某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表：

為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售-總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植單位分別為多少？

該題目的設(shè)計(jì)初衷就是要求學(xué)生學(xué)會從實(shí)際問題中抽象出二元線性規(guī)劃，并通過限制條件和目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)系求解，考查的是線性規(guī)劃知識在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

所以為取得更好的學(xué)習(xí)成績，教師在高中教學(xué)時(shí)，要注意將基本的思想方法、數(shù)形結(jié)合思想和題型進(jìn)行匹配，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用該方式對圖形語言和符號語言進(jìn)行綜合應(yīng)用。

二、 數(shù)形結(jié)合教學(xué)法對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的意義

（一）有助于學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)概念

有效把握數(shù)學(xué)概念，可以幫助學(xué)生形成最基本的認(rèn)知和學(xué)科素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科思維和學(xué)科核心素質(zhì)，幫助學(xué)生準(zhǔn)確獲取理論概念知識中的重點(diǎn)，并依據(jù)已有的知識結(jié)構(gòu)對細(xì)節(jié)進(jìn)行加工和深化，通過抽象思維的概念和思考方式，系統(tǒng)完整地了解理論知識、概念知識。

（二）有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展

通過活躍的思維結(jié)構(gòu)和思維方向構(gòu)建豐富的內(nèi)容，有利于學(xué)生觀察幾何圖形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在含義，實(shí)現(xiàn)數(shù)形兩方面知識的互換和聯(lián)動，構(gòu)建更高級的思維過程。通過對曲線、方程、函數(shù)、圖像、空間、圖形等內(nèi)容的有效解析，將代數(shù)問題向幾何問題轉(zhuǎn)化，有利于學(xué)生運(yùn)用幾何有效解決高中數(shù)學(xué)問題，并探討數(shù)學(xué)學(xué)科的知識內(nèi)涵。

三、 數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法在線性規(guī)劃類問題教學(xué)中的應(yīng)用——以高考數(shù)學(xué)題為例

（一）在概念的學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想

學(xué)習(xí)任何數(shù)學(xué)知識，首先都要從概念知識的了解入手，而想要進(jìn)行深入的概念理解，必須經(jīng)過形成概念、理解概念、應(yīng)用概念三個(gè)層次，而在這一環(huán)節(jié)中，滲透數(shù)形結(jié)合的教育理念和思想方法是最正確和高效的。

如通過對鐘表的認(rèn)識和分析，可以向?qū)W生傳達(dá)角的概念和含義的知識，或者借用實(shí)際物體，如繩子、格尺進(jìn)行演示，總結(jié)其中所包含的曲線定義、圖形定義。

在學(xué)習(xí)概念理論知識時(shí)，可以引入高考真題，從命題角度，為學(xué)生分析線性規(guī)劃知識的考查重點(diǎn)，初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，在解題與分析中提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。

例如，（2017北京高考文科T4）

若x，y滿足x≤3x+y≥2y≤x，則x+2y的最大值為? ?。

本題考查的就是在線性規(guī)劃中求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，學(xué)生首先需要準(zhǔn)確掌握線性目標(biāo)函數(shù)最大值和最小值的基本含義，再利用線性約束條件，表示區(qū)域陰影部分，最終實(shí)現(xiàn)求解的目的。

教師也可以帶領(lǐng)學(xué)生共同分析線性規(guī)劃與縱截率、斜率、點(diǎn)到直線的距離等內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在解答問題時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，并強(qiáng)化需要理解和記憶的概念知識，打好學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。

（二）在解題過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)學(xué)知識的講解和學(xué)生的學(xué)習(xí)最根本的目的，是通過對學(xué)生的有效引導(dǎo)，幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，讓學(xué)生在解答時(shí)將自己已有的理論知識進(jìn)行運(yùn)用，變成個(gè)人解答問題的能力。在進(jìn)行解答時(shí)，教師通過指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行全方位的思考，可以讓學(xué)生學(xué)到不同的解題方式。

將學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和直觀想象進(jìn)行結(jié)合，貫穿數(shù)形結(jié)合思想的結(jié)題思路和方法，可以用幾何對抽象數(shù)量的描述表示，以精細(xì)化的方式形成個(gè)人思考方向和思維結(jié)構(gòu)，也可以通過數(shù)量關(guān)系為直觀圖形構(gòu)建更豐富的層次，在解題中通過兩種知識的有效結(jié)合，提升學(xué)生對知識的分析能力和解答能力，實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的最終目的。

例如，（2020高考全國Ⅲ卷，理數(shù)）

若x，y滿足約束條件x+y≥02x-y≥0x≤1，則z=3x+2y的最大值為。

本題作為一道考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維的簡單線性規(guī)劃題，解題關(guān)鍵在做出可行域，利用截距的幾何意義：

第一步，開始幾何作圖：在平面直角坐標(biāo)系中，畫出可行域和直線ax+by=0（目標(biāo)函數(shù)為z=ax+by）;第二步，平行移動直線ax+by=0，確定使z=ax+by取得最值的點(diǎn)，具體做法是把z=ax+by（b≠0）變形為y=-a bx+z b，所以求z的最值可看成是求直線y=-a bx+z b在y軸上的截距z b的最值，將直線y=-a bx+z b平移，在可行域中觀察使z b取得最值的點(diǎn)，并求出使z取得最值的點(diǎn)的坐標(biāo)。