關于2-扭自由σ-素環(huán)上的左-(θ,θ)導子的一個研究①

(吉林師范大學研究生院，吉林 長春130000)

0 引 言

環(huán)上導子是微分的一種代數(shù)形態(tài)的推廣,有久遠及豐富的研究內容與背景.

從1957年Posner提出了素環(huán)上導子的性質,至今該方向被后人不斷進行推廣.1989年,Bell和Kappe,提出若素環(huán)R上的導子d在R的非零右理想I上同態(tài)或者反同態(tài),則d=0.2003年Asharf等人提出了2-扭自由素環(huán)上平方封閉的Lie 理想上相關的性質.2004年Zaidi和Asharf提出了素環(huán)上Jordan理想和左(θ,θ)-導子的性質.2007年Oukhtite提出在σ-素環(huán)上Lie理想的相關性質.2010年又提出σ-素環(huán)Jordan理想的相關性質.作者主要將Aydin和Oukhtite的相關結果進行推廣到2-扭自由σ-素環(huán)上.

1 預備知識

設R是環(huán),若aRb=0,有a=0或b=0,則R為素環(huán).設R是一個帶對合(R,σ)的環(huán),如果對于aRb=aRσ(b)=0,有a=0或者b=0并且2x=0,這里任意x∈R,有x=0,則稱R為2-扭自由σ-素環(huán).設R為環(huán),若對于任意x,y∈R,d為R上可加映射,滿足d(xy)=d(x)y+xd(y),則稱d為導子.設R為環(huán),θ為R上的自同構,若對于任意的x,y∈R,d為R上可加映射,有d(xy)=θ(x)d(y)+θ(y)d(x),稱d為左(θ,θ)-導子.定義R的加性子環(huán)J,當對任意u∈J,r∈R時,有u°r∈J,則稱J是R的Jordan理想,若滿足σ(J)=J,則稱J是σ-Jordan理想.

以下通篇提到的R都是2-扭自由σ-素環(huán),且R上有中心Z(R).在R上的任意x,y定義Lie乘和Jordan乘，[x,y]=xy-yx;x°y=xy+yx.

2 研究方法及結果

引理1[1]:R為2-扭自由素環(huán),J為R上非零Jordan理想,θ,φ為R上自同構,d為R上的(θ,φ)-導子,若d(J)=0,則d=0或者J?Z(R).

引理2[2]:R為2-扭自由σ-素環(huán),J為R上非零σ-Jordan理想,d為R上導子,若d(J)=0,則d=0或者J?Z(R).

定理R為2-扭自由σ-素環(huán),J為R上非零σ-Jordan理想,θ為R上的自同構,d為R上左(θ,θ)-導子,若d(J)=0,則d=0或J?Z(R).

證明: 取任意j∈J,r∈R,

知j°r∈J，由d(J)=0,有d(j°r)=0

d(j°r)=d(jr+rj)=θ(j)d(r)+θ(r)d(j)+θ(r)d(j)+θ(j)d(r)=2θ(j)d(r)=0,

因為R是2-扭自由的，有θ(j)d(r)=0

(1)

在上式(1)中用j°s換j，這里任意的s∈R

有

θ(j°s)d(r)=θ(j)θ(s)d(r)+θ(s)θ(j)d(r)=

θ(j)θ(s)d(r)=0,

由于θ為R上的自同構,s為R上的任意一個元素，固有θ(j)Rd(r)=0

(2)

又因為J為非零σ-Jordan理想,有J=σ(J),結合(2)有

θ(σ(j))Rd(r)=0=σ(θ(j))Rd(r)=

θ(j)Rd(r)

由R為σ-素環(huán)的定義可知，θ(j)=0或者d(r)=0.

由于j和r都分別是J和R的任意元素,即可知θ(j)=0或者d=0.

又因為θ為R上的自同構,即J=0,矛盾.

最后d=0在R上.

綜上得出結論，d=0或J?Z(R).

3 結 語

全文研究了在2-扭自由σ-素環(huán)Jordan理想上左(θ,θ)-導子的性質.若d(J)=0,則d=0或J?Z(R).把Oukhtite和Aydin的研究推廣到左(θ,θ)-導子.這對進一步研究是有幫助的.