如何在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的反思能力

☉湖北省麻城市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué) 董勝兵

學(xué)生在教師引導(dǎo)下的認(rèn)知以及自身的發(fā)展在課堂教學(xué)過程中是同步發(fā)展的，學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)能力在這一過程中也會(huì)得到很多的鍛煉與發(fā)展，因此，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)盡量創(chuàng)設(shè)學(xué)生反思的條件與機(jī)會(huì)以促進(jìn)其反思與拓展能力的提升.高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)是學(xué)生進(jìn)行所有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與活動(dòng)的基礎(chǔ)，其重要性自然是眾所周知的，但學(xué)生將理解停留于概念理解的表層這一現(xiàn)象比比皆是.很多學(xué)生只能在一定的背景框架下進(jìn)行概念的直接應(yīng)用，一些需要分析、建模后再應(yīng)用的能力卻是很多學(xué)生不具備的.很多在實(shí)例中歸納得出的數(shù)學(xué)概念往往很容易被學(xué)生接受和理解，但一些運(yùn)用已有知識對新概念進(jìn)行理解的過程對于學(xué)生來說卻頗有難度.教師在運(yùn)用已有知識對新概念進(jìn)行數(shù)學(xué)定義的過程中應(yīng)盡量創(chuàng)設(shè)出合理的問題情境并引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行探索，使學(xué)生在不斷反思“為什么”的過程中對概念形成深刻的理解.那么，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中應(yīng)該怎樣培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣與能力呢？

一、引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)例中形成反思

例如，抽象的函數(shù)概念教學(xué)就可以首先從生活實(shí)例中引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行感受，使學(xué)生能夠在給定的兩個(gè)數(shù)集中對“一對一”的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行體會(huì)，然后引導(dǎo)學(xué)生自主舉例來思考“一對多”、“多對一”的實(shí)際含義，學(xué)生在新概念的引入以及初中函數(shù)概念的回顧中很快能夠理解函數(shù)這一特殊的對應(yīng)，函數(shù)的定義在學(xué)生的理解中也就變得水到渠成了.

函數(shù)這一非空數(shù)集之間的特殊對應(yīng)應(yīng)滿足A集合元素的任意性與B集合元素的唯一性這一本質(zhì)含義是函數(shù)概念學(xué)習(xí)中最為重要的，教師在函數(shù)定義得出之后應(yīng)適時(shí)對學(xué)生進(jìn)行設(shè)問、實(shí)例分析以促進(jìn)學(xué)生完整經(jīng)歷函數(shù)概念的形成，使學(xué)生在問題的思索與探究中對概念形成真正的掌握與理解.比如，教師在強(qiáng)調(diào)“定義域”的重要性時(shí)往往會(huì)強(qiáng)調(diào)“解析式相同、定義域不同的函數(shù)是不相同的函數(shù)”，但這樣的抽象強(qiáng)調(diào)比不上具體的例子更讓人清晰理解.例如：每支水筆4元，總價(jià)y和支數(shù)x之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？小明上學(xué)步行速度為4km/h，總距離y和時(shí)間x之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)例中列出函數(shù)關(guān)系式并思考“為什么”、“怎樣區(qū)別”等問題，然后再引導(dǎo)學(xué)生自己舉出合適的例子，這在學(xué)生自主練習(xí)之前是必不可少的.

二、引導(dǎo)學(xué)生在情境中形成反思

例如，在指數(shù)函數(shù)概念的教學(xué)中可以設(shè)置以下情境：“一張厚度約0.1mm的白紙對折28次后會(huì)有多厚呢？會(huì)不會(huì)有七八層樓房那么高呢？”在學(xué)生不得其解之時(shí)略作停頓：“對折28次后的厚度比珠穆朗瑪峰的高度8848m還要大！”在學(xué)生驚訝之余繼續(xù)指出：“今天我們就會(huì)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)，大家學(xué)習(xí)之后就能算出對折28后的厚度大約是13442m了.”學(xué)生在懸念型的問題情境中很快變得主動(dòng)而積極.

三、引導(dǎo)學(xué)生在類比中形成反思

例如，在球的概念教學(xué)中可以先對圓的定義進(jìn)行復(fù)習(xí)：圓就是同一平面內(nèi)所有到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.然后可以引導(dǎo)學(xué)生在去掉“同一平面內(nèi)”這一條件后對所有點(diǎn)的集合所形成的圖形進(jìn)行思考，最后給出球的定義：球就是空間中到定點(diǎn)的距離小于或等于定長點(diǎn)的集合.在學(xué)生感受到球是實(shí)心的這一性質(zhì)中再舉出鉛球、籃球、乒乓球等學(xué)生熟悉的物品并引導(dǎo)學(xué)生判別哪些是數(shù)學(xué)中的“球”，在引導(dǎo)學(xué)生再總結(jié)球體這一空間圖形的性質(zhì)中對球的概念形成透徹的認(rèn)知.

四、引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系中形成反思

1.在概念的橫向聯(lián)系中形成反思

同一數(shù)學(xué)概念的內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)、概念與各種等價(jià)表示，以及具體模型相聯(lián)系的外部表示之間的抽象即為此處所討論的數(shù)學(xué)概念的橫向聯(lián)系，描述的對象、性質(zhì)、思想方法、注意點(diǎn)等都是包含在其中的重要內(nèi)容.

例如，等比數(shù)列這一具備特殊性質(zhì)的數(shù)列往往給學(xué)生極其抽象的感覺，但如果能給出具體的數(shù)據(jù)并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的各項(xiàng)之比，學(xué)生便能很直觀地在這樣一個(gè)特殊化的處理方法中獲得概念本質(zhì)上的認(rèn)知.因此，教師在概念教學(xué)中可以根據(jù)需要引導(dǎo)學(xué)生對概念之間的聯(lián)系進(jìn)行反思以促成學(xué)生精確理解.

例1已知等比數(shù)列{an}，a3=3，a7=48，求a5、a6.

解析：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，由題意得

解得a1=0.75，q=±2，則a5=12，a6=±24.

學(xué)生解這一基礎(chǔ)題并沒有難度，但教師在此題解決之后應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下反思：①a6怎么會(huì)出現(xiàn)正負(fù)兩個(gè)答案？②如果存在兩個(gè)答案，你能寫出它們對應(yīng)的數(shù)列嗎？③觀察a3、a5、a7之間的關(guān)系可得a52=a3×a7，進(jìn)一步證明推理可得am×an=ap×aq（m+n=p+q）.由淺入深的三點(diǎn)反思將概念展現(xiàn)得更加具體并進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐庋?

簡單的例題展示出了反思學(xué)習(xí)在概念聯(lián)系中所能展現(xiàn)的價(jià)值，例題中所隱含的概念聯(lián)系正是此題的關(guān)鍵，教師的適時(shí)引導(dǎo)更好地加深了學(xué)生對概念的認(rèn)知與理解.

2.在概念的縱向聯(lián)系中形成反思

不同數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系即為數(shù)學(xué)概念縱向之間的聯(lián)系，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所涉及的概念始終貫穿學(xué)生高中整個(gè)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，很多概念之間都存在著息息相關(guān)的聯(lián)系，很多看似獨(dú)立的概念也都不是孤立的存在，眾多元素所構(gòu)成的節(jié)點(diǎn)將很多前后所學(xué)的概念緊密地聯(lián)系起來，不僅如此，很多看似獨(dú)立的不同概念之間在對象、結(jié)構(gòu)、思想方法上都存在著一定的相似與關(guān)聯(lián)，因此，在概念的縱向聯(lián)系之間進(jìn)行一些元素的提取是非常有必要的，這對于后續(xù)新概念的學(xué)習(xí)都是相當(dāng)重要的鋪墊，教師在實(shí)際教學(xué)中適度地引導(dǎo)學(xué)生對概念縱向聯(lián)系進(jìn)行反思能夠使學(xué)生更好地明晰概念間的相互關(guān)聯(lián).

比如求解三角形的題目就經(jīng)常在三角函數(shù)正弦定理與余弦定理的知識點(diǎn)中出現(xiàn).

例2 （1）在△ABC中，c=10，∠A=45°，∠C=30°，求b；

直接運(yùn)用正弦公式與余弦公式就能夠解決這六道基本的解三角形小題，解完之后可以發(fā)現(xiàn)（3）與（6）的解不唯一，其他四道小題的解都是唯一的，為什么會(huì)出現(xiàn)這一現(xiàn)象呢？怎樣的情況下會(huì)令解唯一呢？對題目進(jìn)行進(jìn)一步觀察不難發(fā)現(xiàn)，題中所給的條件基本都是三角形的兩邊一角、兩角一邊、三邊，從已知條件不難聯(lián)系全等三角形的相關(guān)知識，對題目與答案再觀察可以發(fā)現(xiàn)，如果已知條件符合三角形全等的判定條件，其解正是唯一的，那么我們是否可以考慮已知條件不符合三角形全等條件時(shí)，其解不唯一呢？

回頭再觀察六道小題不難發(fā)現(xiàn)，解不唯一的（3）與（6）確實(shí)不符合三角形全等的判定，其余四題中（1）、（4）、（5）的已知條件符合三角形全等的判定，因此其解唯一，值得注意的是（2）因?yàn)槠矫嫒切蝺?nèi)角和這一因素舍去了一個(gè)解.那么三角形的解唯一必須滿足怎樣的條件呢？根據(jù)以上小題可知，三角形的解唯一有兩種情況，一是題中已知條件滿足三角形全等的判定，一是已知條件不符合三角形全等的判定，后一種情況中也只能存在已知兩邊與其中一邊所對應(yīng)的角.因此可以設(shè)已知a、b、∠A，若∠A為鈍角或直角，那么三角形的解唯一；若∠A為銳角，則分情況討論可得bsinA=a時(shí)解唯一，當(dāng)a≥b時(shí)解唯一，當(dāng)bsinA＜a＜b時(shí)解不唯一.

正弦定理與余弦定理的概念在這六道小題的解決與反思中得到了進(jìn)一步的深化.

數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確認(rèn)知與理解往往能夠直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果，概念聯(lián)系基礎(chǔ)上的反思能夠引導(dǎo)學(xué)生在新舊概念之間形成更加深入而透徹的認(rèn)知.教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)概念這一“根”和“本”延展與反思，為學(xué)生盡量創(chuàng)造出更多的反思機(jī)會(huì)以促進(jìn)學(xué)生對概念的扎實(shí)理解與綜合應(yīng)用.