在數(shù)學解題教學中發(fā)展學生自主學習的能力

☉江蘇省海門市四甲中學 曹彩霞

高中數(shù)學教師要關注習題教學，并以此來提升學生的自主學習意識，發(fā)展他們相應的數(shù)學能力.

一、自主學習視角下的數(shù)學解題

當我們在數(shù)學教學中實踐新課程理念時，我們絕不能將習題練習歸于題海戰(zhàn)術的范疇，學生在認識數(shù)學理論，理解并體會其思想內(nèi)涵時，都必須借助習題的分析和研究來獲得相關效果.而且對學生的自主學習而言，解題還能為學生提供一個相對具體的目標，讓他們在閱讀并理解的基礎上，運用數(shù)學理論和方法，通過采用正確的思維方式和科學推理，最終在問題解決的過程中加深對知識的理解，同時還能為他們的數(shù)學學習積累寶貴的學習經(jīng)驗.波利亞非常看重數(shù)學解題在學生學習過程中的作用，他也明確指出學生的解題應該分成以下四個步驟：（1）審題題意；（2）初擬方案；（3）實施操作；（4）回顧和總結.

當我們引導學生以自主學習的方式來進行學習時，要引導學生有效地進行自我監(jiān)控.事實上，數(shù)學學習應該是一個漫長而枯燥的過程，因此在自主學習中，我們要想學生能夠長久地延續(xù)自己的學習熱情，自我監(jiān)控就顯得相當重要.一般來講，自我監(jiān)控可以落實在以下幾個方面：其一是對自己的學習計劃有一個合理的部署，其二是能夠?qū)ψ约旱膶W習活動有一個明確的監(jiān)察與管理機制；其三是善于對自己的學習行為進行控制和調(diào)整，重現(xiàn)體現(xiàn)學習過程的能動性.當我們將解題融入到學生的自主學習過程中時，學生一方面需要將解題納入自己的數(shù)學學習計劃，另一方面學生要根據(jù)自己在解題過程中的表現(xiàn)來實施監(jiān)控和調(diào)整，以便讓自己的自主學習更加專注和高效.

二、通過數(shù)學解題來培養(yǎng)學生自主學習能力

學生通過解題，可以培養(yǎng)自己終身學習的基本意識，也能培養(yǎng)與之適配的學習方法和基本手段，當然這一過程也離不開教師的引導和幫助.

1.指導審題，培養(yǎng)學生自主思考和反思的意識

教學中，我們發(fā)現(xiàn)很多學生總是抱怨自己在解題時摸不準思路，引發(fā)很多低級錯誤.其實細加推敲，我們發(fā)現(xiàn)發(fā)生這種情況的關鍵還是學生在審題過程中出現(xiàn)了很多的問題，他們還沒有掌握問題的訣竅和關鍵，作為問題處理的第一道關卡，學生就沒有處理好，自然也就無法順利地到達探索的重點.

指導學生進行審題，我們的關鍵任務是讓學生在接觸問題的第一時間就把握題目的含義，能夠?qū)︻}目的條件和所求設問有一個清晰而準確的把握.如果一些條件或問題沒有弄清楚，學生是很難解決問題的.

例1已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足了f（1）=2，f′（x）＜1，求解不等式f（x2）＜x2+1的解集.

在本題的解題過程中，部分能力稍弱的學生可能會搞不清楚這個函數(shù)的解析式，從而無從下手；能力稍強一點的學生發(fā)現(xiàn)條件中有導函數(shù)的介紹，為此準備對所求不等式進行變形處理構建一個新的函數(shù)f（x2）-x2-1，通過求導來處理，可是這個方法卻無法將題目中的條件整合起來，這樣問題的處理陷入僵局.

對于上述問題，教師要引導學生展開細致地分析和研究，要讓學生專心地投入情境之中，并對題意進行反復咀嚼，并且以這樣的問題來推動自己的思考和反思：這個問題的條件有哪些？這個問題的條件有什么用？通過這些條件，我能想到什么？我們能從條件中得到什么？比如f′（x）＜1，很多學生認為要使用這個條件，就需要對函數(shù)f（x2）-x2-1求導，但是他們又很快發(fā)現(xiàn)如此操作并不能完成對問題的解決.思維靈活的學生又開始想到，為什么不對f′（x）＜1進行變形處理呢？這樣可以得到f′（x）-1＜0，這一小小的調(diào)整恰好將導函數(shù)中最關鍵的一個功能也發(fā)掘出來，即它所對應的原函數(shù)（比如g（x）=f（x）-x）的單調(diào)性也就可以逐步明確下來，然后我們可以利用單調(diào)性來完成對問題的處理.而函數(shù)單調(diào)性在不等式的處理中也是一個常規(guī)而重要的方法，即只需要將不等式變換為f（x2）-x2＜1，再聯(lián)系到g（1）=1，這也就是解不等式g（x2）=g（1），由于g（x）在實數(shù)集上是一個單調(diào)減函數(shù)，有x2＞1，因此本題所求解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）.

2.注重題組訓練，讓學生在自主比較中提升認識

高中數(shù)學為什么難？筆者認為，很多學生是在問題處理時沒有把握本質(zhì)，導致他們最后的處理發(fā)生了偏差.所以，我們在教學過程中要善于組織一些在本質(zhì)上存在相似性，或形式上不同，但是可以歸類為同一方法進行求解，或問題之間具有延續(xù)性和關聯(lián)性的問題等.這些問題就組成了一個題組，學生通過比較，可以從似是而非的問題中發(fā)現(xiàn)區(qū)別，也可以從大相徑庭的問題中發(fā)現(xiàn)相似之處，這樣的處理有助于學生對問題展開更加深度的分析和研究，這對學生進行自主學習有著很大的啟發(fā)性和引導性.

例2①已知某定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=lg（ax2+2x+1），請確定a的取值；

②已知函數(shù)f（x）=lg（ax2+2x+1）的值域為R，請確定a的取值.

很多學生容易將上述兩個提問混淆在一起，問題①中使得ax2+2x+1＞0恒成立，必須要讓a＞0，且Δ＜0，可以得到a＞1；問題②中必須要讓ax2+2x+1取遍一切正數(shù)，因此a=0或者要讓a＞0，且Δ≥0，因此可以得到0≤a≤1.

上述問題的分析過程中，如果我們能夠?qū)?shù)函數(shù)、一次函數(shù)等函數(shù)的圖像用于對問題的表征，將更加有效地促進學生完成對問題的理解.通過上述實例，我們應該鼓勵學生自主思考這樣一些問題：上述文字僅僅只是在文字表述上存在差別，但是同一個問題嗎？如果不是，它們的差別在哪里？它們的本質(zhì)差別在什么地方？是否還存在什么方法可以幫助我們形成更加深入的理解？為什么我沒有準確把握這個問題的本質(zhì)題意？如果我們對基本概念的理解還不夠透徹，這和哪些數(shù)學概念與方法存在關聯(lián)呢？這些問題的分析和處理，有助于學生完成總結，獲得更大幅度的提升.

3.重視學生的反思過程，讓學生在總結中提升自主學習的能力

在解決每一個數(shù)學問題之后，教師要善于引導學生進行回顧和反思，不能將思維止步于問題答案的得出，否則這將是一種學習資源的浪費，學生也很難從中獲得進步與發(fā)展.

例3已知函數(shù)令求數(shù)列{xn}的通項公式.

我們要指導學生對上述問題展開反思，并從中進行深度的感悟與總結，學生將感悟到化歸思想的重要性.長此以往，學生展開分析和研究，他們將把這些方法和思想滲透在自主學習的過程之中，這對學生自主學習能力的提升大有裨益.

三、解題教學對學生自主學習能力發(fā)展的意義

解題教學是學生整個數(shù)學學習體系中最重要的一環(huán)，這不但有助于他們對知識的理解和認識，也對他們自學能力的提升大有意義.

首先，對學生的個性發(fā)展需要而言，他們需要通過一些習題進行磨煉，這樣的處理可以讓他們的思維更加靈活，可以讓他們以更加開闊的思路來參與問題的探索.因此可以說，解題教學是學生自主學習能力提升過程中不可或缺的一環(huán).

其次，學生將在解題教學中與問題發(fā)生更加親密的接觸，他們的自主學習能力也將因此而得到培養(yǎng)，他們的學習會更加主動而熱情，而且他們也將獲取更加深刻的感悟和體驗.解題教學還將在一定程度上推動學生自主學習的進行，他們也將更進一步地參與到學習過程之中，進而提升自己全方位的數(shù)學素養(yǎng).

總之，數(shù)學習題教學是一種學習過程，也是一種實踐過程，學生把自己所獲得的數(shù)學知識和方法應用到習題的處理之中來，是學生自主學習的主要內(nèi)容，也是他們能力提升的重要手段.