由一道高考題引發(fā)的思維風暴

陜西省靖邊中學(718500) 趙世念

“問題是數學的心臟.”一個好的問題可以點燃學生的思維火焰,猶如一塊石頭投入平靜的思維海洋,激起層層思維波瀾,問題不止,思考不斷.一道好的試題可以激發(fā)教師的探究欲望,一旦教師的思維被激活,奇思妙想仿佛“千樹萬樹梨花開”,種種問題源源不絕.2014年高考廣東省理科試卷第20題就是這樣的好題.解完此題,讓筆者浮想聯(lián)翩,神游古今,學語前輩,草就此文.

一.試題再現與推廣

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)若動點P(x0,y0)為橢圓外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.

9,4,13這組數是偶然,還是必然?可否形成一般結論?

則動點P的軌跡為圓x2+y2=a2+b2.

證明 設兩切線為l1,l2,點P的坐標(x0,y0).

(1)當l1⊥x軸或l1//x軸時,對應l2//x軸或l2⊥x軸,可知P(±a,±b).

(2)當l1與x軸不垂直且不平行時,x0/=±a.設l1的斜率為k,則k/=0,l2的斜率為

由上可得l1的方程為y-y0=k(x-x0),其與橢圓方程=1聯(lián)立,消去y得

因為直線l1與橢圓C相切,所以?=0,即

所以k是方程

二.思維風暴

愛因斯坦曾說過:“解決問題好比在草堆中尋針.別人往往尋找到一根針時即停止不再費力去做了,但我自己卻會遍尋干草堆中的所有藏針,不達目的決不罷手.”題干中涉及曲線的形狀—橢圓,兩條直線的夾角—,動點的位置—橢圓外,倘若我們變換曲線形狀、改換夾角范圍、更換動點位置,所求軌跡會發(fā)生什么變化呢?

風暴1 變換曲線形狀

二次曲線的性質往往具有遺傳,類比到圓、雙曲線和拋物線中考慮問題.

結論2 在平面直角坐標系中,過點P作圓x2+y2=r2(r＞0)的兩條切線,切點分別為A、B,若∠APB=,則動點P的軌跡為圓x2+y2=2r2.

結論4 在平面直角坐標系中,過點P作拋物線y2=2px(p＞ 0)的兩條切線,切點分別為 A、B,若

風暴2 改換夾角大小

結論5 在平面直角坐標系中,過點P作圓x2+y2=r2(r＞ 0)的兩條切線,切點分別為A、B,若∠APB= θ(0＜θ＜π),則動點P的軌跡方程為(x2+y2)(1-cosθ)=2r2(r＞0).

若兩切線中有一條無斜率,則點P的坐標為

結論8 在平面直角坐標系中,過點P作拋物線y2=2px(p＞ 0)的兩條切線,切點分別為 A、B,若∠APB= θ(0＜ θ＜ π),則動點 P的軌跡方程為(2x+p)2sin2θ =4(y2-2px)cos2θ.

風暴3 更換動點位置

我們發(fā)現上述八個結論中所涉及動點P的位置均在曲線外部,若將動點P的位置移在曲線內部,當然作不出曲線的切線,但是我們可以利用曲線的中心O做文章.一般孕育在特殊之中,我們先研究垂直情況,再推廣到一般.

為了得到結論10的簡捷證法,我們先介紹一個引理.

證明 以原點為極點,Ox軸為極軸建立極坐標系,則橢圓方程可化為:

12A、B 均在橢圓上,所以

利用引理證明上述結論就很簡單了.

由等面積法得,

結論12 在平面直角坐標系中,過點P作以O為頂點的拋物線y2=2px(p＞0)的一條弦,交拋物線于A、則動點P的軌跡為圓(x-p)2+y2=p2.

結論13 在平面直角坐標系中,過點P作以O為圓心的圓x2+y2=r2(r＞0)的一條弦,交圓于A、B兩點,若OP⊥AB,∠AOB=θ(0＜θ＜π),則動點P的軌跡方程為2(x2+y2)=(1+cosθ)r2.

故k1、k2是(**)方程的兩根.所以

則

即

若兩直線中有一條無斜率,則可驗證點P的坐標仍適合方程○2;時也適合方程○2.故以x、y代換○2中的x0、y0,即動點P的軌跡方程為

筆者只對部分結論給出了證明,其它結論的證明,要么簡單,要么可以模仿,請讀者自行推理.下面再給出兩個猜想:

[-a2b2x2-a2b2y2-(x2+y2)2a2+(x2+y2)2b2]2sin2θ=4[a2b4y2(x2+y2)2-a4b2x2(x2+y2)2+a2b2(x2+y2)4]cos2θ.

猜想2 在平面直角坐標系中,過點P作以O為頂點的拋物線y2=2px(p＞0)的一條弦,交拋物線于A、B兩點,若OP⊥AB,∠AOB=θ(0＜θ＜π),則動點P的軌跡方程為(x2+y2-2px)2sin2θ=4(p2y2+2p2x3+2pxy2)cos2θ.