齊次化思想在解題中的應(yīng)用*

廣東省興寧市第一中學(514500) 藍云波 鄔海輝 劉宇峰

在數(shù)學中,我們把一個多項式或分式中各個單項式的次數(shù)都相同的式子,稱之為齊次式.由于齊次式各項的次數(shù)相同,因而具有對稱美和結(jié)構(gòu)美的特征,這使得問題的處理往往會更容易、更簡潔、更有規(guī)律.同時,對于一些涉及非齊次式的數(shù)學問題,如果我們能夠結(jié)合題設(shè)條件,將非齊次式問題轉(zhuǎn)化為齊次式問題來處理,則往往能化難為易、化繁為簡,并達到優(yōu)化解題的過程,起到事半功倍的效果.我們把這種非齊次式問題轉(zhuǎn)化為齊次式問題的思想叫做齊次化思想.齊次化思想是數(shù)學中的重要思想方法,在解題中具有舉足輕重的地位,在各類考試中有較為廣泛的應(yīng)用.下面筆者以近年來的各類試題為例,從多個視角談?wù)匌R次化思想在解題中的應(yīng)用.現(xiàn)分析如下,供大家參考并斧正.

1.三角函數(shù)問題

在高中數(shù)學中,在教材中明顯體現(xiàn)出齊次化思想的是人教A版必修4第一章《三角函數(shù)》中的第22頁B組習題里的一道習題:已知tanα=2,求的值.此題所求的分式中的分子和分母是一個關(guān)于sinα,cosα的一次齊次式.結(jié)合已知條件,我們可以在分子和分母中同除以cosα,轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于tanα的式子,通過這樣的處理,問題便迎刃而解.這說明,齊次化思想是源于課本的一種重要的思想方法.在高考中,這種思想也時?？疾?如下面這一道高考試題.

例1(2015年高考廣東卷) 已知tanα=2,

點評 本題的第二問表面上不是齊次式,但在通過化簡和變形后,可化為一個關(guān)于sinα,cosα的二次齊次式.所用到的思想方法和課本上的習題如出一轍.這體現(xiàn)出高考源于課本而高于課本的原則.也讓我們感受到了齊次化思想的在處理這類問題中的優(yōu)越性.

通過對例1的分析,我們發(fā)現(xiàn),在使用齊次化思想把非齊次式轉(zhuǎn)化為齊次式后,終極的目標是化多變量為單變量問題.如例1本來同時含有sinα,cosα,但在通過分子和分母同除以cosα之后,便轉(zhuǎn)化成只含有tanα的式子.因此,齊次化以后的處理方法本質(zhì)上其實是數(shù)學中的消參思想.

2.求取值范圍

在一些代數(shù)問題中,我們常常要求解在某個條件下代數(shù)式的取值范圍或最值.此時我們?nèi)裟馨阉蟮拇鷶?shù)式設(shè)為一個變量,并把它看作參數(shù),通過適當?shù)姆椒ù胍阎獥l件中,并設(shè)法實現(xiàn)齊次化,問題便能實現(xiàn)較為快捷的解決.

例2(2016年河北省高中數(shù)學競賽)實數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=3,則x2+y2的取值范圍是.

整理得(S-3)y2+Sxy+(S-3)x2=0.

①當x=0時,由x2+y2+xy=3得y2=3,此時S=x2+y2=3.

②當x/=0時,則S/=3時,方程(S-3)y2+Sxy+

(S-3)x2=0,可化為式為關(guān)于的一元二次方程,則有?=S2-4(S-3)2≥0,即S2-8S+12≤0.結(jié)合S/=3,可解得2≤S≤6且S/=3.

由○①2知2≤S≤6,故x2+y2的取值范圍是[2,6].

點評 本題的常見解法是利用基本不等式進行求解,解題的技巧性較強.而本題的關(guān)鍵是通過把已知條件并實現(xiàn)齊次化,然后利用整體思想,通過化雙變量為單變量轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題,使問題的難度降低,并可快速求出答案.

3.解析幾何問題

離心率問題是解析幾何中的核心考點,由橢圓與雙曲線的離心率公式e=可知,若能在解n題中,設(shè)法構(gòu)建出關(guān)于a,c的n次齊次式,然后再同除以a,離心率問題便能快速實現(xiàn)解決.

因為點(-1,0)到直線l的距離

所以

點評 本題是經(jīng)典的可構(gòu)造齊次式解決離心率的問題,通過消去b,并構(gòu)建不等式,得到一個關(guān)于a,c的四次齊次式,然后同除以a4,轉(zhuǎn)化為單變量問題,問題便迎刃而解.

眾所周知,在各類考試中,解析幾何解答題通常以運算量大著稱,解題的最核心的思想方法是設(shè)而不求,在涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題中,常見的做法是聯(lián)立直線與曲線的方程組,進行消元,以達到設(shè)而不求的目的.若我們在聯(lián)立方程組時,不實施消元,而是通過實施齊次化思想,化為齊次方程實施設(shè)而不求,往往會達到意想不到的效果.

例4(2015年廣東省高中數(shù)學聯(lián)賽)設(shè)拋物線y2=2px(p＞0)上有兩個動點A(x1,y1)(y1＞0),B(x2,y2)(y2＜0).

(1)設(shè)直線AB的連線與x軸交于C,拋物線在A、B的切線的交點坐標D(x3,y3),證明:|OD|+x3=0,其中O為坐標原點;

(2)若OA⊥OB,求線段AB的中點的軌跡方程.

解析 (1)略; (2)設(shè)AB中點為M(x0,y0),直線AB方程為mx+ny=1,聯(lián)立齊次化可得韋達定理可得-2mp=-1,即m=所以直線AB恒過定點(2p,0).以下對直線的斜率分兩種情形討論:

②若直線AB斜率不存在,此時M的坐標為(2p,0),它顯然滿足y20=p(x0-2p).

綜上所述,AB中點軌跡方程為y2=p(x-2p).

點評 本題通過使用齊次化思想,可以大幅減低運算量,提高解題效率.筆者發(fā)現(xiàn),構(gòu)造齊次式是解答解析幾何題的一大利器,具有一定的通性通法,這使我們再次感受到齊次化思想在解題中的獨特魅力,與獨特視角,能殺敵于無形之中,令人耳目一新！

4.證明不等式

不等式的證明是高中數(shù)學競賽的重要考點,具有舉足輕重的地位.由于其方法繁多,技巧性極強,因此通常難度較大.在不等式的證明方法中,齊次化思想是一種較為重要的方法,通過齊次化處理,使得不等式更完美,更對稱,使得問題的難度降低,從而有利于問題的求解.

例5(2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽二試)設(shè)實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,abc＞0.求證:ab+bc+ca

證明 不妨設(shè)a≥b≥c.(1)若c＞0,因為a+b+c=1,故(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,原不等式等價于即等價于的齊次式:

若2(ab+bc+ca)≤(a2+b2+c2),原不等式顯然成立;若2(ab+bc+ca)＞(a2+b2+c2),兩邊平方后等價于

注意到故有

故原不等式成立.

(2)若c＜0,則b＜0,a＞0,

綜上,原不等式得證.

點評 本題的難點在于c＞0時的證明,本文給出的解法的關(guān)鍵是通過a+b+c=1這個條件,并通過平方之后,從而使得所要證明的不等式化為一個四次齊次式,從而使問題的方向更明確.并最終實現(xiàn)問題的圓滿解決.

5.證明數(shù)列不等式

前面所舉的例題都是都過化為完全齊次式使問題得到巧妙的解決的.事實上,對于某些不能完全化為齊次式的問題,我們也可以利用相關(guān)的思想方法使問題得到完美的解決.這類問題,由于式子中只是部分齊次的,故我們可以稱之為部分齊次問題.這樣,我們可以把齊次化思想得到更為廣泛的應(yīng)用,下面我們看這道經(jīng)典考題的獨特的處理方法.

例6(2011年高考廣東卷理科)設(shè)b＞0,數(shù)列an滿足

(1)求數(shù)列an的通項公式;

若x＞1,不等式可化為

f(x)=x2n+1-(2n+1)xn+1+(2n+1)xn-1≥0(*)注意到f(1)=0,而

令g(x)=(2n+1)xn+1-(2n+1)(n+1)x+n(2n+1),且g(1)=0,g′(x)=(2n+1)(n+1)xn-(2n+1)(n+1)＞ 0,故g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)＞ g(1)=0,故f′(x)＞ 0,故 f(x)在 (1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)＞f(1)=0,所以(*)得證;若0＜x＜1,同理可證.

點評 本題官方給出的答案是利用試卷中給出的參考公式進行解答的,事實上,不用這個參考公式同樣可以使問題得到解決.本題中,雖然不能化為完全的齊次式,但是通過觀卻是齊次式,故可將計就計,轉(zhuǎn)化為用表示,從而實現(xiàn)問題維度的降低,最后再通過導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為一個簡單的不等式的證明.

6.函數(shù)綜合問題

近幾年,隨著高考的深入開展,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問題興起了雙變量問題.對于這類問題,我們雖然也不能化為完全齊次式,但是卻可化為部分齊次問題,下面我們來看下面這道典型的例題,讓我們在例5的基礎(chǔ)上,再次體會齊次化思想在不完全齊次式問題中的精彩應(yīng)用.

(1)當m=-2時,求函數(shù)f(x)的所有零點;

(2)若f(x)有兩個極值點x1,x2,且x1＜ x2,求證x1x2＞e2.

綜上知,x1x2＞e2得證.

點評 本題以重要不等式—對數(shù)平均不等式為背景,考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合運用,解題的關(guān)鍵在于對通過等價轉(zhuǎn)化后,雙變量的處理,解答過程使用了消元思想,解題的關(guān)鍵把右邊局部是一個一次齊次式,在通過化為用表示的不等式后,要構(gòu)造的函數(shù)便呼之欲出.需要注意的是,在近幾年的各類考試中,以對數(shù)平均不等式為背景的試題屢見不鮮,且常考常新,應(yīng)引起足夠的重視.

通過以上的探索,我們可以發(fā)現(xiàn),齊次化是源于課本的一種非常重要的數(shù)學思想方法.齊次化的本質(zhì)其實就是通過代數(shù)變形,將二元化為一元,通過整體處理,從而達到減少字母量的效果,以此降低解題的維度與難度,從某種意義上也可以說是消參思想的延續(xù).同時,我們還發(fā)現(xiàn),齊次化不僅僅是一種解題策略,而且還能上升為一種解題思想,并指導(dǎo)我們更為高效地解決數(shù)學問題.并且在三角函數(shù)、代數(shù)式求取值范圍(最值)、解析幾何、證明代數(shù)不等式、證明數(shù)列不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等方面具有著非常廣泛的應(yīng)用.

這說明,教師在平時的教學中,要重視對課本的理解和挖掘,并從中找出體現(xiàn)數(shù)學思想方法的據(jù)點,并傳授給學生.對重要的數(shù)學思想,還應(yīng)從不同角度呈現(xiàn)出來,以達到提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目的,并提高教師的課堂教學的高效性.齊次化思想正是體現(xiàn)數(shù)學美、數(shù)學本質(zhì)的重要載體,應(yīng)引起足夠的重視.