分離lnx法解一類函數(shù)問題

安徽省碭山中學(xué)(235300) 蓋傳敏

函數(shù)模型“f(x)=p(x)lnx+q(x)+r”在高考試題中頻繁出現(xiàn),涉及恒成立、不等式證明、求參數(shù)取值范圍等問題,如果直接借助導(dǎo)數(shù)求解,往往四處碰壁,無功而返,下面結(jié)合實(shí)例談?wù)勄蠼獯祟悊栴}的一種有效方法—分離函數(shù)lnx法.

例1(2010年新課標(biāo)I理科第20題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-x+1.

(1)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范圍;

(2)證明:(x-1)f(x)≥0.

解析 (1)a≥-1.

(2)當(dāng)x≥1時(shí),x-1≥0.要證(x-1)f(x)≥0,只需證f(x)≥0,即證

所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(1)=0,即(x-1)f(x)≥0;

同理可證:當(dāng)0＜x＜1時(shí),(x-1)f(x)≥0.

綜上所述(x-1)f(x)≥0.

例2(2011年新課標(biāo)I文科第21題)已知函數(shù)

曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0.

(1)求a,b的值;

解析 (1)a=1,b=1.

所以g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)＜g(1)=0,即

例3(2016年全國卷II文科第21題)已知函數(shù)

f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(2)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)＞0,求a的取值范圍.

解析(1)2x+y-2=0.

構(gòu)造函數(shù)

則

當(dāng)a＜0時(shí),

g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)＞g(1)=0,結(jié)論成立;

當(dāng)0≤ a≤ 2時(shí),? =4a(a-2)≤ 0,g′(x)＞ 0,則g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)＞g(1)=0,結(jié)論成立;

當(dāng) a ＞ 2 時(shí),令 g′(x)=0,得

所以g(x)在(1,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增,即存在x0∈(1,x2)使得g(x0)＜g(1)=0,不滿足題意.

綜上所述a≤2.

評注 通過以上實(shí)例可以看出對于函數(shù)模型“f(x)=p(x)lnx+q(x)+r”,通過分離函數(shù)lnx,使lnx前的系數(shù)變?yōu)槌?shù)不再含有變量x,然后構(gòu)造函數(shù)對其求導(dǎo),可使導(dǎo)函數(shù)簡潔有效,從而輕松得到其單調(diào)區(qū)間、最值、極值等性質(zhì),達(dá)到求解目的.

(1)a=1,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若對任意x∈(0,1),f(x)＜-2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.