聚焦不等式解題中的換元法

安徽省無為縣牛埠中學(xué)(238351) 朱小扣

1.換元法的引入

例1(2016年遼寧預(yù)賽11題)已知lga+lgb+lgc=0,證明

證明 因為lga+lgb+lgc=0,故a,b,c＞0,且abc=1.當(dāng)a=b=c=1時,有

當(dāng)a,b,c不全相等時,則a,b,c中至少有一個小于1的.不妨設(shè)0＜c＜1.令

則

故g(b)為增函數(shù).由于

因此,1＜f(a)＜2.故命題得證.

上述解法是命題組提供的答案,筆者按此答案在班級講授時,發(fā)現(xiàn)學(xué)生看起來耗時耗力,不好理解.那么有沒有做和理解起來都更簡單的解法可以繞過求導(dǎo)呢?筆者經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)換元法可以替代求導(dǎo)法,原題可以通過換元法完美的解決,過程如下:

證明 因為lga+lgb+lgc=0,故a,b,c＞0,且abc=1.

綜合(1),(2)得知原不等式成立.

故命題得證.

以上是條件換元,做代換:

除此之外還有:

點評 述例題中通過將條件不等式即在abc=1的條件下,通過換元轉(zhuǎn)化成非條件不等式問題,也將不等式的分子,分母齊次化,從而有利于問題的解決.這種解法相比命題組所給的答案更簡單,只用了簡單的不等式放縮,且更容易理解,更能體現(xiàn)“大道至簡”的思想.

有時候也會利用換元法將非條件不等式問題轉(zhuǎn)化成條件不等式,如:

例3設(shè)a,b,c∈R+,求證:

簡證 不妨設(shè)a+b+c=1,則原不等式化為

再由切線法證

即可.

點評 只需考慮a+b+c=1,因為假設(shè)a+b+c=s,則可設(shè) a=sa′,b=sb′,c=sc′,代入原不等式,即和 a+b+c=1的情形一樣.也就是利用換元法將非條件不等式問題轉(zhuǎn)化成條件不等式.

2.其他換元方法

2.1 拉維換元

例4 已知△ABC三邊分別是a,b,c,求證:

a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0.

證明 拉維換元

令a=x+y,b=y+z,c=z+x(x,y,z∈R+),則原不等式可化為:

例5已知△ABC三邊分別是a,b,c,求證:a2+b2+

點評 拉維換元:在△ABC中,令

a=x+y,b=y+z,c=z+x(x,y,z∈R+),

這樣換元,就可以消去在三角形中的兩邊之和大于第三邊的約束,使約束的條件得到釋放,為進一步的解決問題打好了基礎(chǔ).

2.2 分母換元法

解 (分母換元法)令

a=y+3z,b=4x+8z,c=3x+2y,

則

于是

當(dāng)且僅當(dāng)x:y:z=10:21:1時取等號.

分母換元法還可以解決很多類似題,又如:

點評 利用分母換元法,可以將復(fù)雜的分母簡化,進而運用均值不等式使得問題能簡單的解決.分母換元法在解決此類問題中均達到了“釜底抽薪”的效果.

2.3 乘積換元法

例8(2017年清華大學(xué)能力測試題改編)已知x,y∈R,且5x2-4xy-y2=5,則2x2+y2的最小值是.

故

乘積換元法可以拓展,又如例7:

例9 已知x2+xy+y2=1,求x2+3xy+2y2的范圍.

提示 注意到

x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y),

點評 例8中利用設(shè)其中一個因式為t,得到一個方程組,解出x,y用t表示,以達到化二元為一元的效果,使得問題得以解決.而例9是乘積換元法的逆向運用,是對乘積換元法能力的要求進一步的提升.

2.4 增量換元法

證明 設(shè)

因為

所以

例11 設(shè)a,b,c是△ABC三邊的長,求證:a2(b+ca)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc

提示 不妨設(shè)a≥b≥c,令a=c+m,b=c+n(m≥n≥0)即可.

點評 增量換元法通俗易懂,是一種很實用的方法,通過增量換元的化歸可以讓題目變得更簡單,同時也進一步延拓了這類不等式的解題方法.增量換元法解類似的題有很多,在此不再一一例舉.

3.換元升級:常數(shù)變元法

例12 已知a,b∈R+,且3a+4b=1,求的最小值.

解

例13 (2016年河北預(yù)賽13題)設(shè)正數(shù) x,y滿足x3+y3=x-y,求使x2+λy2≤1恒成立的實數(shù)λ的最大值.

解 由正數(shù)x,y滿足x3+y3=x-y知x＞y＞0,

點評 通過易常為變,可以將不等式變?yōu)辇R次,進一步變成求一元函數(shù)的最值問題使問題得到完美的解決,但像例13難度較大,不易想到.所以我們在做題時,應(yīng)不斷采用變化的思維去考慮問題,最終達到對常數(shù)變元法的掌握.

總結(jié) 通過對一道預(yù)賽題的另解,讓我們認識到換元法功能的強大.實際上,換元法的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化,通過元之間的轉(zhuǎn)化過渡,使問題能由繁變簡,由難變易,通過換元能讓學(xué)生更加體會數(shù)學(xué)中的千變?nèi)f化的美.道法自然,解法也應(yīng)自然.學(xué)生應(yīng)在不斷做題中,在方法的不停的交匯中,達到自身水平的提高,這樣才會在解題時,找到渾然天成的解題方法.