利用“構(gòu)造法”巧解高中數(shù)學題

摘 要：隨著高中數(shù)學的不斷深入學習，學生的解題能力也不斷地提高，構(gòu)造法解題也是近幾年高考解題中得到廣泛應(yīng)用的方法之一。作為一種數(shù)學思想方法，構(gòu)造法的含義很廣，通常認為，根據(jù)待解問題的特殊性，設(shè)計并構(gòu)造一個新的關(guān)系系統(tǒng)，即構(gòu)造一個數(shù)學模式，通過對這個數(shù)學模式的研究實現(xiàn)原問題的解決。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；解題；方程；函數(shù)；數(shù)列

數(shù)學構(gòu)造的思想方法具有很大的靈活性.根據(jù)待解問題的特征，既可以構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造數(shù)列等方式，利于“數(shù)”的模式解決數(shù)和形的問題；也可以通過構(gòu)造圖形、圖象的方式，利用“形”的模式解決關(guān)于數(shù)或形的問題。因此，構(gòu)造法在數(shù)學問題中有著廣泛的應(yīng)用。

一、 構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式

1. 形如an+1=santan+s的遞推關(guān)系，可采用取倒數(shù)的方法，將遞推式變形為1an+1-1an=ts，從而構(gòu)造出數(shù)列1an，其首項為1a1，公差為ts。

例1 已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1=an2an+1，求其通項公式。

分析：對已知等式兩邊取倒數(shù)得1an+1=2an+1an=2+1an，從而構(gòu)造等差數(shù)列予以解決。

解：對已知等式兩邊取倒數(shù)得1an+1=2an+1an=2+1an，即1an+1-1an=2，故數(shù)列1an是首項為1a1=13，公差為2的等差數(shù)列，所以1an=1a1+2（n-1）=13+2n-2=6n-53，故an=36n-5，所以數(shù)列{an}的通項公式為an=36n-5。

2. 對于遞推式an+1=pan+q（p， q為常數(shù)）①當p=1時，{an}為等差數(shù)列；②當p≠0，q=0時，{an}為等比數(shù)列；③當p≠0，q≠0時，可利用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。具體方法是將遞推式轉(zhuǎn)化為：an+1+qp-1=p（an+qp-1），此時數(shù)列an+qp-1為等比數(shù)列，且其首項為a1+qp-1（不等于0），公比為p。

例2 數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求其通項公式。

分析：由已知可得an+1+1=3（an+1），從而構(gòu)造等比數(shù)列{an+1}，其公比為3，首項為a1+1=2.

解：設(shè)an+1+λ=3（an+λ），從而解得λ=1，所以數(shù)列{a1+1}是首項為a1+1=2，公比為3的等比數(shù)列，所以an+1=2×3n-1，所以，an=2×3n-1-1。

二、 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性使問題簡化。

例3 求證： f（x）=x2+10x2+9≥103。

證明：設(shè)t=x2+9（t≥3），則f（t）=t2+1t，用定義法可證：f （t）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，令3≤t10，

∴y=x2+10x2+9≥f（3）=32+13=103。

三、 構(gòu)造方程

例4 設(shè)x，y為實數(shù)，且滿足關(guān)系式：

（x-1）3+1997（x-1）=-1，（y-1）3+1997（y-1）=1

則x+y= 。

分析：此題用常規(guī)方法，分別求出x和y的值后再求x+y則既繁又難，三次方程畢竟不熟悉。若將兩方程聯(lián)立構(gòu)造出方程（x-1）3+1997（x-1）=（1-y）3+1997（1-y）=-1，利用函數(shù)f（t）=t3+1997t的單調(diào)性，易得x-1=1-y，所以x+y=2。

除此之外，還可以構(gòu)造恒等式和圖形。

總之，利用構(gòu)造法解題，一定要注意題目的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學模型，這樣使得問題求解簡潔，自然，這需要多觀察、猜想、嘗試，這樣才能起到異曲同工之妙。

作者簡介：

申明竹，寧夏回族自治區(qū)中衛(wèi)市，寧夏中衛(wèi)中學。