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      探究換元法 解決三角函數(shù)問題

      2018-01-31 06:38:56夏仁權(quán)
      考試周刊 2017年103期
      關(guān)鍵詞:換元三角函數(shù)極值

      摘 要:換元法的形式多種多樣,在解決三角函數(shù)問題時(shí),需要根據(jù)實(shí)際情況決定應(yīng)該采用怎樣的換元方法,有時(shí)直接換元就可以解決問題,有時(shí)需要采用整體換元法,在某些難題中,也需要采用特殊換元法,這需要做到具體情況具體分析。

      關(guān)鍵詞:換元;三角函數(shù);極值

      換元法在高中數(shù)學(xué)中有著重要的應(yīng)用,三角函數(shù)問題的解決離不開換元法。對于求三角函數(shù)的極值問題,通過換元法可以將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為單純的代數(shù)問題,將問題進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化之后,可以化繁為簡的解決問題。

      一、 直接換元

      直接換元法簡單直接,就是將題目中的某一個(gè)三角函數(shù)直接用t或者x表示,將三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,得到相應(yīng)的冪函數(shù)。對于冪函數(shù),求極值的方法就比較簡單,通過對冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),可以較為容易的得到函數(shù)的極值。

      例1 已知函數(shù)y=7sinθ+2sinθcosθ,其中0≤θ≤π2,求函數(shù)y的最大值。

      解析:令t=cosθ,那么0≤t≤1,則y=1-t2(7+2t),兩邊同時(shí)平方,可以得到新的函數(shù)式,為y2=(1-t2)(7+2t)2,可以記f(t)=(1-t2)(7+2t)2,求導(dǎo)得f′(t)=-2(4t-1)(2t+7)(t+2),令導(dǎo)數(shù)為0,又由于0≤t≤1,所以t=14。通過判斷函數(shù)單調(diào)性,可知f(t)在t=14處取得最大值,[f(t)]max=f(14)=15364,所以當(dāng)cosθ=14時(shí),函數(shù)y=7sinθ+2sinθcosθ取得最大值為15158。

      點(diǎn)撥:本題通過換元法求出函數(shù)最值,計(jì)算比較復(fù)雜,但是掌握一些小技巧,可以大大簡化計(jì)算,比如對于y=1-t2(7+2t),兩邊同時(shí)平方,可以很好的避免對含有二次根式的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),簡化了計(jì)算過程,達(dá)到了事半功倍的效果。

      二、 整體換元

      整體換元法注重所求問題的整體,是將一個(gè)式子進(jìn)行整體換元,整體換元的優(yōu)點(diǎn)在于從全局考慮問題,抓住問題中的關(guān)鍵性條件,通過整體換元,可以大大簡化計(jì)算過程,提高解題效率,通過以下的例題可以更好的理解整體換元。

      例2 已知sinα+sinβ=22,求cosα+cosβ的最大值。

      解析:令cosα+cosβ=t,則(sinα+sinβ)=t,則(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=12+t2,化簡之后,可以得到(sin2α+cos2α)+(sin2β+cos2β)+2(sinαsinβ+cosαcosβ),整理之后可以得到2+2cos(α-β)=12+t2,所以2cos(α-β)=t2-32,由于-1≤cosθ≤1,所以-2≤t2-32≤2,即-12≤t2≤72,化簡可得-142≤t≤142,所以cosα+cosβ的最大值為142。

      點(diǎn)撥:本題中將所求的問題進(jìn)行整體代換,接著通過三角函數(shù)的恒等變形,將三角函數(shù)的極值問題進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)化,簡化計(jì)算的同時(shí)提高了解題效率。

      三、 特殊換元

      特殊換元是根據(jù)題目中的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行換元,這類問題一般具有一定的難度,需要對題目中的條件有一個(gè)細(xì)致的觀察,找到各個(gè)條件之間的內(nèi)在關(guān)系,同時(shí)還需要對題意有較深入的理解,對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有較高的要求。

      例3 若α+β+γ=π2,求sinα+sinβ+sinγ的最大值。

      解析:因?yàn)棣?π2-(α+β),所以sinγ=cos(α+β),設(shè)sinα+β2=x,則sinα+sinβ+sinγ=sinα+sinβ+cos(α+β)=2sinα+β2·cosα-β2+1-2sin2α+β2=2xcosα-β2+1-2x2,構(gòu)造方程y=2xcosα-β2+1-2x2,即2x2-2xcosα-β2+y-1=0,因?yàn)閤=sinα+β2∈R,所以Δ=4cos2α-β2-8(y-1)≥0,于是又2y≤2+cosα-β2≤3,所以(sinα+sinβ+sinγ)max=ymax=32(此時(shí)α=β=γ=π6)。

      點(diǎn)撥:本題的形式雖然比較簡單,但是解決問題卻很有難度,因?yàn)楹瘮?shù)三個(gè)未知參數(shù),所以采用換元法勢在必行,通過換元法構(gòu)造出所需要的方程,利用一元二次方程的判別式可以很好的解決問題。

      綜上所述,換元法的最重要作用在于將三角函數(shù)的極值問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將繁瑣的三角函數(shù)極值問題轉(zhuǎn)化為單純的代數(shù)問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)換元法時(shí),需要做到舉一反三,試著通過換元法解決不同的問題,只有不斷的練習(xí)才能取得優(yōu)異的成績。

      作者簡介:

      夏仁權(quán),云南省曲靖市,云南省富源縣勝境中學(xué)。endprint

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