摘要:如果遇到數(shù)列和函數(shù),一般利用函數(shù)的性質(zhì),圖像研究數(shù)列問題,利用數(shù)列的范圍,公式,求和方法對相關(guān)式子化簡變形,注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,靈活運用函數(shù)的思想方法求解,在問題的求解過程中往往會遇到遞推數(shù)列,因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于數(shù)列綜合問題的解決。
關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng);數(shù)列;解題
2017年高考已經(jīng)過去幾個月了,數(shù)學(xué)的硝煙漸漸散去,卻讓我們看到了高考的方向,加強理性思維考察,突出選拔性,對于數(shù)列,我認(rèn)為體現(xiàn)了基礎(chǔ)性,綜合性,應(yīng)用性和創(chuàng)新性。考察數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和理性價值。數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故數(shù)列有著許多函數(shù)的性質(zhì)。等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本,最常見的數(shù)列,它們是研究數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ),與函數(shù),方程,三角,不等式內(nèi)容有著廣泛的聯(lián)系,在實際生活中也有著廣泛的應(yīng)用,隨著高考對能力要求的進一步提高,這部分內(nèi)容將會是重頭戲,特別是數(shù)列和不等式,這幾年高考中的數(shù)列難題總是和不等式有關(guān),而這恰好就是一個特別的難點,下面我用一個例題來說:
【例】已知各項均為正整數(shù)的數(shù)列{an}滿足 an
(1)當(dāng)k=3,a1a2a3=6時,求數(shù)列{an}的前36項的和S36;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(3)若數(shù)列{bn}滿足bnbn+1=-21·12an-8,且b1=192,其前n項積為Tn,試問n為何值時,Tn取得最大值?
分析:(1)設(shè)cn=a3n-2+a3n-1+a3n,由an+3=3+an,得cn+1=cn+9,所以數(shù)列{cn}是公差為9的等差數(shù)列,由此可求數(shù)列{an}的前36項的和S36;
(2)確定a1=1,a2=2,a3=3,且an+3=3+an,從而可求數(shù)列的通項公式;
(3)根據(jù)bn·bn+1=-21·12an-8,可得bn+1·bn+2=-21·12an+1-8,從而可得{b2n},{b2n-1}都是以12為公比的等比數(shù)列,由此可求數(shù)列{bn}的通項,進一步確定n≥13,n為奇數(shù)時,|T2|<|T4|<…<|T12|,|T12|>|T14|>…;n為偶數(shù)時,|T1|<|T3|<…<|T13|,|T13|>|T15|>…,由此可得結(jié)論。
解答:解:(1)當(dāng)k=3,a1a2a3=6,則a1+a2+a3=6.
設(shè)cn=a3n-2+a3n-1+a3n,由an+3=3+an,得cn+1=cn+9,所以數(shù)列{cn}是公差為9的等差數(shù)列,
故S36=c1+c2+…+c12=12×6+12×112×9=666.(4分)
(2)若k=2時,a1+a2=a1·a2,又a1 所以a1·a2<2a2,所以a1=1,此時1+a2=a2,矛盾。(6分) 若k=3時,a1+a2+a3=a1·a2·a3,所以a1·a2·a3<3a3,a1·a2<3, 所以a1=1,a2=2,a3=3,滿足題意。(8分) 若k≥4時,a1+a2+…+ak=a1·a2·…·ak,所以a1·a2·…·ak 又因為a1·a2·…·ak-1>1×2×…×(k-1)≥2k-2>k,所以k≥4不滿足題意。(10分) 所以,a1=1,a2=2,a3=3,且an+3=3+an, 所以a3n-2=a1+3(n-1)=3n-2,a3n-1=a2+3(n-1)=3n-1,a3n=a3+3(n-1)=3n, 故an=n.(12分) (3)因為bn·bn+1=-21·12an-8,所以bn+1·bn+2=-21·12an+1-8 所以bn+2bn=12,所以{b2n},{b2n-1}都是以12為公比的等比數(shù)列, 所以bn=3·26·12n-12,n>1,n為奇數(shù)-14×12n2-1,n>2n為偶數(shù)。(14分) 令|bn·bn+1|<1,即-21·12n-8<1,∴12n-8<121, 所以n≥13,n為奇數(shù)時,有|b1·b2|>1,|b3·b4|>1,…,|b11·b12|>1,|b13b14|<1,|b15·b16|<1, 從而|T2|<|T4|<…<|T12|,|T12|>|T14|>…, n為偶數(shù)時,有|b2·b3|>1,|b4·b5|>1,…,|b12·b13|>1,|b14·b15|<1,|b16·b17|<1, 從而|T1|<|T3|<…<|T13|,|T13|>|T15|>…, 注意到T12>0,T13>0,且T13=b13·T12=3T12>T12, 所以數(shù)列{bn}的前n項積Tn最大時n的值為13。 點評:本題考查數(shù)列的通項與求和,考查學(xué)生分析解決問題的能力,確定數(shù)列的性質(zhì)是關(guān)鍵.利用不等關(guān)系去唯一確定數(shù)列。 四、 總結(jié) 解等差數(shù)列,等比數(shù)列時,首先要認(rèn)真審題,深刻理解問題題型,理清蘊含在題目中的數(shù)學(xué)關(guān)系,把實際問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差等比數(shù)列問題,然后求解。如果遇到數(shù)列和函數(shù),一般利用函數(shù)的性質(zhì),圖像研究數(shù)列問題,利用數(shù)列的范圍,公式,求和方法對相關(guān)式子化簡變形,注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,靈活運用函數(shù)的思想方法求解,在問題的求解過程中往往會遇到遞推數(shù)列,因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于數(shù)列綜合問題的解決。解綜合題的成敗在于審清題目,弄懂來龍去脈,透過給定信息的表象,抓住問題的本質(zhì),揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件,明確解題方向,形成解題策略。 作者簡介: 顏瑞生,江蘇省常州市北郊高級中學(xué)。