如何提高數(shù)列解題能力

摘要：如果遇到數(shù)列和函數(shù)，一般利用函數(shù)的性質(zhì)，圖像研究數(shù)列問題，利用數(shù)列的范圍，公式，求和方法對相關(guān)式子化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于數(shù)列綜合問題的解決。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；數(shù)列；解題

2017年高考已經(jīng)過去幾個月了，數(shù)學(xué)的硝煙漸漸散去，卻讓我們看到了高考的方向，加強理性思維考察，突出選拔性，對于數(shù)列，我認(rèn)為體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，綜合性，應(yīng)用性和創(chuàng)新性。考察數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和理性價值。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故數(shù)列有著許多函數(shù)的性質(zhì)。等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本，最常見的數(shù)列，它們是研究數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)，與函數(shù)，方程，三角，不等式內(nèi)容有著廣泛的聯(lián)系，在實際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，隨著高考對能力要求的進一步提高，這部分內(nèi)容將會是重頭戲，特別是數(shù)列和不等式，這幾年高考中的數(shù)列難題總是和不等式有關(guān)，而這恰好就是一個特別的難點，下面我用一個例題來說：

【例】已知各項均為正整數(shù)的數(shù)列{an}滿足 an1），使得a1+a2+…+ak=a1·a2…ak，an+k=k+an（n∈N*）。

（1）當(dāng)k=3，a1a2a3=6時，求數(shù)列{an}的前36項的和S36；

（2）求數(shù)列{an}的通項公式an；

（3）若數(shù)列{bn}滿足bnbn+1=-21·12an-8，且b1=192，其前n項積為Tn，試問n為何值時，Tn取得最大值？

分析：（1）設(shè)cn=a3n-2+a3n-1+a3n，由an+3=3+an，得cn+1=cn+9，所以數(shù)列{cn}是公差為9的等差數(shù)列，由此可求數(shù)列{an}的前36項的和S36；

（2）確定a1=1，a2=2，a3=3，且an+3=3+an，從而可求數(shù)列的通項公式；

（3）根據(jù)bn·bn+1=-21·12an-8，可得bn+1·bn+2=-21·12an+1-8，從而可得{b2n}，{b2n-1}都是以12為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{bn}的通項，進一步確定n≥13，n為奇數(shù)時，|T2|<|T4|<…<|T12|，|T12|>|T14|>…；n為偶數(shù)時，|T1|<|T3|<…<|T13|，|T13|>|T15|>…，由此可得結(jié)論。

解答：解：（1）當(dāng)k=3，a1a2a3=6，則a1+a2+a3=6.

設(shè)cn=a3n-2+a3n-1+a3n，由an+3=3+an，得cn+1=cn+9，所以數(shù)列{cn}是公差為9的等差數(shù)列，

故S36=c1+c2+…+c12=12×6+12×112×9=666.（4分）

（2）若k=2時，a1+a2=a1·a2，又a1

所以a1·a2<2a2，所以a1=1，此時1+a2=a2，矛盾。（6分）

若k=3時，a1+a2+a3=a1·a2·a3，所以a1·a2·a3<3a3，a1·a2<3，

所以a1=1，a2=2，a3=3，滿足題意。（8分）

若k≥4時，a1+a2+…+ak=a1·a2·…·ak，所以a1·a2·…·ak

又因為a1·a2·…·ak-1>1×2×…×（k-1）≥2k-2>k，所以k≥4不滿足題意。（10分）

所以，a1=1，a2=2，a3=3，且an+3=3+an，

所以a3n-2=a1+3（n-1）=3n-2，a3n-1=a2+3（n-1）=3n-1，a3n=a3+3（n-1）=3n，

故an=n.（12分）

（3）因為bn·bn+1=-21·12an-8，所以bn+1·bn+2=-21·12an+1-8

所以bn+2bn=12，所以{b2n}，{b2n-1}都是以12為公比的等比數(shù)列，

所以bn=3·26·12n-12，n>1，n為奇數(shù)-14×12n2-1，n>2n為偶數(shù)。（14分）

令|bn·bn+1|<1，即-21·12n-8<1，∴12n-8<121，

所以n≥13，n為奇數(shù)時，有|b1·b2|>1，|b3·b4|>1，…，|b11·b12|>1，|b13b14|<1，|b15·b16|<1，

從而|T2|<|T4|<…<|T12|，|T12|>|T14|>…，

n為偶數(shù)時，有|b2·b3|>1，|b4·b5|>1，…，|b12·b13|>1，|b14·b15|<1，|b16·b17|<1，

從而|T1|<|T3|<…<|T13|，|T13|>|T15|>…，

注意到T12>0，T13>0，且T13=b13·T12=3T12>T12，

所以數(shù)列{bn}的前n項積Tn最大時n的值為13。

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定數(shù)列的性質(zhì)是關(guān)鍵.利用不等關(guān)系去唯一確定數(shù)列。

四、 總結(jié)

解等差數(shù)列，等比數(shù)列時，首先要認(rèn)真審題，深刻理解問題題型，理清蘊含在題目中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把實際問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差等比數(shù)列問題，然后求解。如果遇到數(shù)列和函數(shù)，一般利用函數(shù)的性質(zhì)，圖像研究數(shù)列問題，利用數(shù)列的范圍，公式，求和方法對相關(guān)式子化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于數(shù)列綜合問題的解決。解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略。

作者簡介：

顏瑞生，江蘇省常州市北郊高級中學(xué)。