淺談數(shù)學(xué)中的反證法

李陽??

摘要：反證法是對題目中給出的已知條件予以肯定而否定的需證明結(jié)論，再利用否定后的結(jié)論和命題中的已知條件進(jìn)行推理證明矛盾，進(jìn)而來肯定原命題結(jié)論的正確性.本文的主要內(nèi)容是先對反證法的原理、反證法的研究對象、反證法的例題級應(yīng)用反證法應(yīng)該注意的問題等作一簡單闡述。

關(guān)鍵詞：反證法；推理；數(shù)學(xué)

一、 反正法的原理闡釋

從問題出發(fā)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個根本。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是不斷訓(xùn)練學(xué)生解決問題的能力。不論是從問題理解、問題說明和問題解決，數(shù)學(xué)教學(xué)都是圍繞學(xué)生處理問題的方法展開的。反證法就是其中的一個案例。從原理上說，反證法從問題出發(fā)，找出問題的不相容命題，并不斷推理不相容命題的等價(jià)命題，從等價(jià)命題之中找出與公理矛盾的地方，反證問題成立或者不成立。

二、 明確問題的對立面

應(yīng)用反證法要明確問題的對立面：反證法所圍繞的核心是問題，然而問題在哪里，是什么樣的，必須準(zhǔn)確給予劃定。一般來說，問題往往十分清晰，只要看到結(jié)尾處即可明確問題的范圍。然而，在實(shí)際教學(xué)甚至實(shí)際生活中，學(xué)生并不能清楚問題是什么。因此，在運(yùn)用反證法這一原理時(shí)，首先需要為問題劃定范圍，將問題的邏輯明確化。對于反證法也是一樣。反證法的基本原理是證明問題的對立命題是矛盾的。因此，在運(yùn)用反證法時(shí)，必須要把握住問題的對立命題，為之劃定范圍，這樣才能解決問題。

三、 反證法的應(yīng)用

（一） 反證法的步驟

應(yīng)用反證法時(shí)要正確假設(shè)，分清原命題的結(jié)論是什么。要正確推理，導(dǎo)出矛盾，肯定否命題正確，從而確定原命題。

可以總結(jié)出用反證法證題一般分為三個步驟：

1. 假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

2. 從這個結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

3. 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

即提出假設(shè)——推出矛盾——肯定結(jié)論。

（二） 關(guān)于反證法的例題

下面將反證法應(yīng)用到數(shù)學(xué)例子中。

例1過平面內(nèi)一點(diǎn)并且過平面外一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過這一點(diǎn)的直線是異面直線。

由已知：直線AB，點(diǎn)A平面α，點(diǎn)B∈α，直線a∈α不過點(diǎn)B。

求證：直線AB和a是異面直線。

證明：

[提出假設(shè)]直線AB和a不是異面直線。

[推出矛盾]它們同在經(jīng)過點(diǎn)B和直線a的平面內(nèi)，因?yàn)锽a，經(jīng)過點(diǎn)B與直線a只有一個平面α，直線AB與a在平面α內(nèi)，∴A∈α，這與Aα矛盾。

[肯定結(jié)論]∴直線AB和a是異面直線。

例2已知p3+q3=2，求證：p+q≤2。

分析：此題對結(jié)論的否定只有一種情況，p+q>2，應(yīng)用反證法證明時(shí)只要針對這種情況給予否定，就可肯定p+q≤2成立。

證明：假設(shè)p+q>2，則q>2-p，

∴q3>8-12p+6p2-p3，

∴p3+q3>643-2p+p2=6（p-1）2+13，

∴p3+q3>2+6（p-1）2。

由此可知p3+q3≠2，這與已知矛盾，

∴p+q≤2。

四、 應(yīng)用反證法應(yīng)該注意什么

建立起下面幾個概念：第一，兩個命題互相矛盾的概念；第二，如果從前提出發(fā)，邏輯地推出矛盾，而且除了一個前提不是真的外，其他前提已知為真，那么必然是剩下不知真假的前提的假設(shè)不真；第三，如果一個論斷的反面不成立，那么原論題成立。

應(yīng)用反證法要明確哪些問題需要用反證法，哪些問題不必用到反證法。如果用到反證法要正確了解結(jié)論是什么，結(jié)論的否定命題是什么，從而對否定命題加以證明，得到與已知矛盾，進(jìn)而得證。

五、 總結(jié)

反證法在教學(xué)中應(yīng)用極為廣泛，對思路引導(dǎo)作用也非常之大。如果能夠在實(shí)際教學(xué)中多用反證法，用好反證法，對教學(xué)質(zhì)量的提高必將產(chǎn)生實(shí)質(zhì)影響。總之，反證法因其在數(shù)學(xué)問題解決過程中所具備的特殊地位，在具體的教學(xué)活動中，一定要引起學(xué)者的足夠重視。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：李陽，吉林省長春市，吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院。endprint