數(shù)形結(jié)合比翼雙飛

倪阿亮??

摘要：解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要一章，在本章中主要以正弦定理和余弦定理為主，公式靈活多變，同時(shí)又緊密聯(lián)系三角函數(shù)、平面向量等章節(jié)，學(xué)生在學(xué)此章節(jié)內(nèi)容中不能將公式靈活運(yùn)用，方法比較呆板。

關(guān)鍵詞：解三角形；數(shù)形結(jié)合；正弦定理；余弦定理

本文通過(guò)以數(shù)形結(jié)合的思想為主體，對(duì)2011年卓越聯(lián)盟的試題進(jìn)行多角度的分析，既系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了解三角形這一章節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)，又拓展了解題思路和激發(fā)了思維火花，同時(shí)提煉出最佳解法，優(yōu)化解題思路。從而達(dá)到減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，提高整體復(fù)習(xí)效果的目的。

在△ABC中，AB=2AC，AD是∠A的角平分線，AD=kAC。

（1）求k的取值范圍；

（2）若S△ABC=1，問(wèn)k為何值時(shí)，BC最短。

解法一：正余弦定理應(yīng)用

（1）∵S△ABD+S△ADC=S△ABC，

∴12|AB||AD|sinθ+12|AC||AD|sinθ=12|AB||AC|sin2θ，∴k=43cosθ

∴k∈0，43

（2）∵S△ABC=12·2·|AC|2sin2θ，∴|AC|2=1sin2θ，以下三角形各邊用三角函數(shù)表示。∴|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos2θ=5sin2θ-4cos2θsin2θ=5-4cos2θsin2θ

令t=5-4cos2θsin2θ，∴5-4cos2θ=tsin2θ，∴t2+16≥5，∴|BC|≥3

cos2θ=45=2cos2θ-1，∴k=2510

在解三角形中，運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決問(wèn)題是一種典型方法。通常解題到此已經(jīng)結(jié)束，不過(guò)深入研究此題，發(fā)掘其背后的幾何特性，更符合新課改的要求。因?yàn)橹挥薪處熣驹诟哂^點(diǎn)下看待高中問(wèn)題，才能讓學(xué)生更深刻的理解數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)，從而舉一反三，提高復(fù)習(xí)效率。

解法二：數(shù)形結(jié)合（補(bǔ)形）

延長(zhǎng)AC至E，使得AC=CE，連接BE，過(guò)C作CF//BE，過(guò)B作BG⊥CF，AH⊥BE，α=∠CAF，α∈0，π2

（1）由題意知D為等腰△ABE的重心，

AF=12AH=12·32AD=34AD=34kAC，cosα=AFAC

，∴cosα=34k，k∈0，43

（2）設(shè)AC=x，由三角形相似可知，BG=AF=xcosα，GC=3FC=3xsinα

∴BC=BG2+GC2=x2（cos2α+9sin2α），∵2S△AFC=12=12x2sin2αx2=1sin2α，∴BC=cos2α+9sin2αsin2α=cosα2sinα+9sinα2cosα，當(dāng)且僅當(dāng)3sinα=cosα?xí)r，BC取到最小值。此時(shí)k=43cosα=2510

在解三角形中，其實(shí)質(zhì)上是對(duì)于幾何問(wèn)題的求解，在解題時(shí)試著回歸到幾何的性質(zhì)上，對(duì)于題目的解決將會(huì)有很大的幫助，同時(shí)可以拓展學(xué)生思維，更好地理解題目的本質(zhì)。

華羅庚先生曾經(jīng)指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非?！睌?shù)和形在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，互相轉(zhuǎn)化，它們是高中數(shù)學(xué)的兩塊基石。同時(shí)數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)的一種重要思想方法。上述解法借助平面圖形坐標(biāo)化，實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化，為該問(wèn)題的解決又提供了新的解題思路，同時(shí)也開拓了思維，對(duì)于問(wèn)題的理解更加深入。

對(duì)于這道題，還可以試著做如下推廣：

在△ABC中，AB=αAC，AD是角A的角平分線，AD=kAC，問(wèn)：

（1）α為何值時(shí)，k有最小值；

（2）若S△ABC=1，問(wèn)k為何值時(shí)，BC最短。（用α表示）。

作者簡(jiǎn)介：倪阿亮，浙江省溫州市永嘉中學(xué)。endprint