核心素養(yǎng)下函數(shù)零點(diǎn)校本作業(yè)的歸類(lèi)探析

蔡振樹(shù)

[摘 要] 文章主要對(duì)“函數(shù)零點(diǎn)”的校本作業(yè)進(jìn)行歸類(lèi)，剖析了函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的靈活轉(zhuǎn)換，旨在幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育的載體.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)零點(diǎn)；高考題；解方程；數(shù)形結(jié)合；導(dǎo)數(shù)；取值范圍

函數(shù)零點(diǎn)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈D），把使得f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn). 零點(diǎn)與方程的解及函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等有緊密的關(guān)系. “函數(shù)零點(diǎn)”這知識(shí)點(diǎn)的校本作業(yè)設(shè)計(jì)也是圍繞這三個(gè)關(guān)系展開(kāi)的，校本就是基于學(xué)生實(shí)際來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題和解決問(wèn)題，進(jìn)而培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

題目設(shè)計(jì)可以體現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的靈活轉(zhuǎn)換，重在函數(shù)圖像與性質(zhì)等基本知識(shí)的領(lǐng)悟及深化，滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，并從函數(shù)零點(diǎn)的分布、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的探究以及構(gòu)建不等式解決參數(shù)取值范圍等切入，旨在通過(guò)題目的處理來(lái)幫助學(xué)生從多角度、多視點(diǎn)、多層次地訓(xùn)練數(shù)學(xué)理性思維能力，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的有力載體，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的培養(yǎng)具有十分重要的意義. 以下從幾個(gè)方面來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題及對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)解析.

運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)和基本定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的分布

函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題，即對(duì)應(yīng)方程根的取值范圍，解決的策略主要是利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，或者結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)，或者一些特殊點(diǎn)來(lái)解決，培育學(xué)生最基本的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

例1：已知函數(shù)f（x）=-logx，在下列區(qū)間中，包含f（x）零點(diǎn)的區(qū)間是（ ）

A. （1，2） B. （2，3）

C. （2，4） D. （1，3）

解法一：（零點(diǎn)的存在性定理）依題意得f（1）=-log21=6>0，f（2）=-log22=3-2=1>0，f（3）=-log23=2-log23>2-log24=0，f（4）=-log24=-2=-<0，故有f（2）·f（4）<0，從而由零點(diǎn)的存在性定理可知，包含f（x）零點(diǎn)的區(qū)間為（2，4），故選C.

解法二：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)：y=與y=log2x，則圖像的交點(diǎn)所在區(qū)間即為y=f（x）零點(diǎn)所在區(qū)間，如圖1所示：

因?yàn)?log22，

若函數(shù)圖像易畫(huà)出，則易解決；若圖像不易畫(huà)出，則考慮零點(diǎn)的存在性定理，但需注意，該定理運(yùn)用的前提條件是該函數(shù)在區(qū)間上無(wú)間斷點(diǎn)，而且對(duì)于（a，b），f（a）·f（b）<0只是f（x）在（a，b）上存在零點(diǎn)的充分條件而已.

通性通法來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)、方程根的個(gè)數(shù)

函數(shù)零點(diǎn)、方程根的個(gè)數(shù)的判斷屬于定性判斷，其解決的主要思路有通過(guò)解方程判斷解的個(gè)數(shù)以及數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用函數(shù)及方程思想等來(lái)解決問(wèn)題，這些方法屬于通性通法，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展具有十分重要的意義.

1. 解方程法

若函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)的方程f（x）=0較好求解，可通過(guò)定義法把函數(shù)f（x）零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程f（x）=0的解，方程解的個(gè)數(shù)即為對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例2：函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：求方程xcosx2=0在區(qū)間[0，4]上解的個(gè)數(shù)，易知x=0為一個(gè)解；而當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，x2∈[0，16]，由cosx2=0得x2=+kπ，k∈Z，則k只能取0，1，2，3，4，即此時(shí)可得到5個(gè)不同的解，從而知方程xcosx2=0的根共有6個(gè)，即函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6個(gè)，故選C.

2. 數(shù)形結(jié)合法

若函數(shù)結(jié)構(gòu)為F（x）=f（x）-g（x），其中f（x）及g（x）為兩個(gè)不同類(lèi)型的基本初等函數(shù)，則可通過(guò)數(shù)形結(jié)合法解決，即根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與函數(shù)圖像的關(guān)系知，函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有零點(diǎn)？圳方程f（x）-g（x）=0有實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y=f（x）與y=g（x）有交點(diǎn)，從而可把函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的交點(diǎn)問(wèn)題，而有時(shí)又需要把方程f（x）-g（x）=0根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)圖像反映與軸的交點(diǎn)的情況.

例3：函數(shù)f（x）=2sinxsinx+-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)____.

解析：f（x）=2sinxsinx+-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2，所以，求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是求函數(shù)y=sin2x與y=x2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖2所示：答案為2個(gè).

注意：通過(guò)研究可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)具有“數(shù)”和“形”兩方面含義的概念，因此，在研究時(shí)常常應(yīng)把兩者結(jié)合起來(lái)考慮，并掌握基本函數(shù)的圖像及其圖像變換，考慮數(shù)形結(jié)合法解題.

關(guān)注學(xué)習(xí)差異研究參數(shù)的取值情況

由函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的存在情況求參數(shù)的取值問(wèn)題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解. 常用的方法有直接法、數(shù)形結(jié)合法及導(dǎo)數(shù)法等.對(duì)含參問(wèn)題的求解，體現(xiàn)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)差異，是對(duì)學(xué)生更高層次的素養(yǎng)形成的培育.

1. 直接法

直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍.

例4：若函數(shù)f（x）=x2+2ax+4a2-3的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a=________.

解析：易知函數(shù)f（x）=x2+2ax+4a2-3是偶函數(shù)，所以要使其零點(diǎn)只有一個(gè)，這個(gè)零點(diǎn)只能是0. 令f（0）=0得，a= ±，而當(dāng)a=時(shí)，f（x）=x2+x，它只有一個(gè)零點(diǎn)0，符合題意；當(dāng)a=-時(shí)，f（x）=x2-x，它有三個(gè)零點(diǎn)，分別為0，及-，不符合題意，綜上，a=.

2. 數(shù)形結(jié)合法

例5：已知函數(shù)f（x）=log2（x+1），x>0，-x2-2x，x≤0， 若函數(shù)g（x）=f（x）-m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.

分析：遇到此類(lèi)問(wèn)題，首先要通過(guò)運(yùn)用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)更簡(jiǎn)單的函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍.

解析：函數(shù)g（x）=f（x）-m有3個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為f（x）-m=0的根有3個(gè)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=m的交點(diǎn)有3個(gè).畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的圖像，則直線(xiàn)y=m與其有3個(gè)公共點(diǎn). 又拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為（-1，1），從而由圖像可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）.

3. 導(dǎo)數(shù)法

例6：已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A. （2，+∞） B. （1，+∞）

C. （-∞，-2） D. （-∞，-1）

思路一：由于參數(shù)a是函數(shù)f（x）的最高次項(xiàng)的系數(shù)，可以對(duì)參數(shù)a分a=0，a>0，a<0三類(lèi)進(jìn)行討論，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求極值的思路，分別研究出各種情況下函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而明確函數(shù)f（x）的大致圖像分布，從而結(jié)合題目條件“存在唯一正零點(diǎn)”得出結(jié)論.

思路二：用分離參數(shù)法，運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，把函數(shù)f（x）等價(jià)轉(zhuǎn)換成函數(shù)y=a與y=3·-的唯一的交點(diǎn)在y軸右側(cè)，從而再結(jié)合導(dǎo)數(shù)思維突破，得出參數(shù)a的取值范圍.

本文通過(guò)對(duì)“函數(shù)零點(diǎn)”這相關(guān)知識(shí)點(diǎn)校本作業(yè)的選取和設(shè)計(jì)進(jìn)行歸類(lèi)探析，著重從基本問(wèn)題處入手，讓學(xué)生在探索解題方法及思路形成中不斷培育數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，體會(huì)蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)習(xí)實(shí)踐中加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，并體現(xiàn)學(xué)習(xí)差異，不斷增強(qiáng)函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)，在學(xué)習(xí)中得到不同程度的發(fā)展.