有限群的PF-可補(bǔ)充子群

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(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

0 引 言

本文所有的群都是有限群。群論研究者利用子群的各種性質(zhì)(置換性質(zhì)、可補(bǔ)充性質(zhì)、嵌入性質(zhì)等)，已經(jīng)得到了有限群結(jié)構(gòu)的一系列結(jié)果。Buckley[1]證明：如果奇數(shù)階群G的每一個(gè)極小子群在G中正規(guī)，則G為超可解群。Ballester-Bolinches等[2]證明：如果群G的每一個(gè)極小子群在G中可補(bǔ)或者G的每一個(gè)素?cái)?shù)階(或者4階子群)在G中c-可補(bǔ)，則G為超可解群。有限群G的一個(gè)子群H稱為在G中擬正規(guī)的[3]或者置換的[4]，如果對(duì)G的所有子群E都有HE=EH。Ore[3]證明：有限群的任一擬正規(guī)子群為次正規(guī)子群。若A是G的子群，且K≤H≤G，如果AH=AK，則稱A覆蓋(K,H)；如果A∩H=A∩K，則稱A避開(kāi)(K,H)。由此Guo等[5]引入子群嵌入的概念：有限群G的子群A稱為在G中是幾乎m-嵌入的，如果存在G的子群T和C≤A使得G=AT且T∩A=T∩C，其中C在G中是N-擬置換的。Guo等[5]利用該概念證明：如果G的每一個(gè)極小子群在G中是幾乎m-嵌入的，則G為2’-超可解群。

本文考慮F-擬置換子群的一些應(yīng)用，由F-擬置換子群獲得PF-可補(bǔ)充子群的定義，并進(jìn)一步研究PF-可補(bǔ)充子群與有限群冪零性、超可解性的關(guān)系，得到有限群2-冪零性等一些充分條件。運(yùn)用本文定理的結(jié)論，可以推廣和統(tǒng)一Buckley[1]和Ballester-Bolinches等[2]提出的有限群結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的部分結(jié)論。

1 預(yù)備知識(shí)

本文中G表示一個(gè)有限群，p表示一個(gè)素?cái)?shù)，Gp表示群G的西洛p-子群，F(xiàn)表示一個(gè)群類。如果1∈F，則用GF表示G的所有使G/N∈F的正規(guī)子群N的交；群類F稱為群系，如果1∈F，并且對(duì)所有的群G，G/GF的同態(tài)像總是屬于F或者F=?。群系F稱為飽和的，如果當(dāng)G/Φ(G)∈F時(shí)總有G∈F；群系F稱為繼承的，如果對(duì)于G的每一個(gè)子群H，當(dāng)G∈F時(shí)總有H∈F。本文用N表示冪零群系，用U表示超可解群系。群G的極大子群M稱為F-偽正規(guī)的，如果G/MG?F。設(shè)K

本文所用符號(hào)和概念皆為標(biāo)準(zhǔn)的，未說(shuō)明的概念與符號(hào)參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。

定義1設(shè)A是G的子群，如果A覆蓋或者避開(kāi)G的每一個(gè)F-偽正規(guī)對(duì)(K,H)，則稱A在G中是F-擬置換的。

例1設(shè)A是G的擬正規(guī)子群，(K,H)是G的一個(gè)極大對(duì)，則AK=KA是G的一個(gè)子群，H∩KA=K(H∩A)=(H∩A)K是H的一個(gè)子群。因?yàn)镵是H的極大子群，所以H∩A≤K或者H=(H∩A)K，因此G的每一個(gè)擬正規(guī)子群覆蓋或者避開(kāi)G的每一個(gè)極大子群對(duì)。

例2群G的子群A稱為在G中{1≤G}-嵌入的[5]，如果A覆蓋或者避開(kāi)G的每一個(gè)極大子群對(duì)。因?yàn)閮缌闳旱臉O大子群都是正規(guī)的，所以G的所有{1≤G}-嵌入子群的集合就是G的所有N-擬置換子群的集合。

如果群類F?M，則每一個(gè)F-擬置換子群也是M-擬置換子群，因此N-擬置換子群是包含所有冪零群的群類F的F-擬置換子群。

定義2設(shè)H是G的一個(gè)子群，如果H=G或者存在一個(gè)子群鏈:

H=H0

對(duì)于i=1,…,t，要么Hi-1在Hi中正規(guī)，要么Hi/(Hi-1)Hi∈F，則H在G中是K-F-次正規(guī)的[6]或者是F-次正規(guī)的[7]。

定義3設(shè)A是G的子群，稱A在G中是PF-可補(bǔ)充的，如果存在G的子群T和C≤A，使得G=AT且T∩A=T∩C，其中C在G中是F-擬置換的。

顯然，每一個(gè)F-擬置換子群是PF-可補(bǔ)充的。

定義4如果G不屬于F，但是它的所有真子群屬于F，則稱G為F-臨界的。一個(gè)N-臨界群被稱為斯米特群。

引理1[5]設(shè)M≤G，N是G的正規(guī)子群，(K,H)是G的一個(gè)極大對(duì)，其中M覆蓋或者避開(kāi)(K,H)。則下列結(jié)論成立：

a) 如果N避開(kāi)(K,H),則(KN,HN)是G的一個(gè)極大對(duì),且|HN∶KN|=|H∶K|；

b) 如果M覆蓋(避開(kāi))(KN,HN)，則MN覆蓋(避開(kāi))(K,H)；

c) 如果H≤V，且M覆蓋(避開(kāi))(K,H)，則M∩V覆蓋(避開(kāi))(K,H)；

d) 如果M覆蓋(避開(kāi))(K,H)，且N≤K，則MN覆蓋(避開(kāi))(K,H)；

e) 如果A≤B≤C≤D，且M覆蓋(避開(kāi))(A,D),則M覆蓋(避開(kāi))(B,C)。

引理2設(shè)M，V是G的子群，N是G的正規(guī)子群，如果M在G中是PF-可補(bǔ)充的。則下述斷言成立：

a)M∩V在V中是F-擬置換的；

b)NM/N在G/N中是F-擬置換的。

證明：a) 由假設(shè)知，M覆蓋或者避開(kāi)(K,H)，令(K,H)是V的F-偽正規(guī)對(duì)，則M∩V覆蓋(避開(kāi))(K,H)，因此(M∩V)在V中是F-擬置換的。

b) 令(K/N,H/N)是G/N的F-偽正規(guī)對(duì)，則由(K/N)H/N=KH/N和(H/N)/(K/N)H/N=(H/N)/(KH/N)?H/KH知，(K,H)是G的一個(gè)F-偽正規(guī)對(duì)。由假設(shè)知，M覆蓋或者避開(kāi)(K,H)，如果M覆蓋(K,H)，則NMH=NMK，于是NM/N覆蓋(K/N,H/N)；如果M避開(kāi)(K,H)，則(MN/N)∩(H/N)=(MN∩H)/N=N(M∩H)/N≤NK/N=K/N，于是NM/N避開(kāi)(K/N,H/N)，因此NM/N在G/N中是F-擬置換的。

引理3[5]設(shè)F是一個(gè)群系，H和E是G的子群，其中H在G中是K-F-次正規(guī)的。則：

a) 如果F是繼承的，則H∩E在E中是K-F-次正規(guī)的；

b) 如果E是G的正規(guī)子群，則HE/E在G/E中是K-F-次正規(guī)的。

引理4設(shè)N=N1×…×Nt是G的正規(guī)子群，其中Ni是非交換單群，i=1,…,t。如果F是一個(gè)包含所有可解群的繼承群系且C是G的K-F-次正規(guī)子群，若CG(N)=1，則C在CN中是次正規(guī)的。

證明：假設(shè)引理不真，并設(shè)G為極小階反例，則C≠1。因?yàn)镃是G的K-F-次正規(guī)子群，所以存在G的子群M≠1，使得C≤M，且要么M在G中正規(guī)，要么G/MG∈F。由引理3，C在M中是K-F-次正規(guī)的。由G的選擇知，當(dāng)N≤M時(shí)，C在CN中次正規(guī)，因此NM。由于N的每一個(gè)合成因子都是非交換的，所以G/MG是非可解群，因此M在G中正規(guī)。

由假設(shè)知，CG(N)=1，D=M∩N≠1。令C0=CG(D)，則N=D×(C0∩N)，其中C0∩N在G中正規(guī)，因此C0∩N∩M=C0∩D=1且C0∩N≤CG(M)。這表明CD在CN中正規(guī)，且M≤CG(C0∩N)，于是CM(D)≤CG(D)∩CG(C0∩N)=CG(N)=1。因?yàn)榧僭O(shè)的條件對(duì)(M,D,C)成立，所以由G的選擇知，C在CN中次正規(guī)，矛盾。

引理5設(shè)K，H是G的子群，假設(shè)K在G中是PF-可補(bǔ)充的，而H正規(guī)于G。則下列結(jié)論成立：

a) 若K≤E≤G，則K在E中是PF-可補(bǔ)充的；

b) 若H≤K，則K/H在G/H中是PF-可補(bǔ)充的；

c) 若(|H|),|K|)=1，則HK/H在G/H中是PF-可補(bǔ)充的。

證明：令T和C≤K是G的子群，滿足KT=G，T∩K=T∩C，且C在G中是F-擬置換的。

a) 顯然E=E∩KT=K(E∩T),由引理2a)知，C在E中是F-擬置換的。因?yàn)?E∩T)∩K=T∩K≤C，所以K在E中是PF-可補(bǔ)充的。

b) 顯然(HT/H)(K/H)=G/H，由引理2b)知，(HT/H)∩(K/H)=(HT∩K)/H=H(T∩K)/H≤HC/H≤K/H，其中HC/H在G/H中是F-擬置換的，所以K/H在G/H中是PF-可補(bǔ)充的。

c) 因?yàn)镵T=G，且(|H|,|K|)=1，H≤T，所以T∩HK=H(T∩K)≤HC≤HK，于是由引理2b)知，HK/H在G/H中是PF-可補(bǔ)充的。

引理6[8]設(shè)E是G的一個(gè)非單位的正規(guī)擬冪零子群，若Φ(G)∩E=1，則E是G的一些極小正規(guī)子群的直積。

引理7設(shè)P是G的一個(gè)非單位的正規(guī)p-子群,且P∩Φ(G)=1，如果P的每一個(gè)極大子群或者極小子群在G中是PU-可補(bǔ)充的，則P的某個(gè)極大子群在G中是正規(guī)的。

證明：假設(shè)引理不真，并設(shè)G為極小階反例。因?yàn)镻∩Φ(G)=1，由引理6，P=N1×…×Nt，其中Ni是G的極小正規(guī)子群，i=1,…,t。

引理8[9]設(shè)F是一個(gè)飽和群系，G是一個(gè)有限群，假設(shè)G的F-上根GF是可解的，且G的每一個(gè)不包含GF的極大子群都屬于F。則下列結(jié)論成立：

a) 對(duì)某個(gè)素?cái)?shù)p,P=GF是一個(gè)p-群且P的指數(shù)為p或者4(P為非交換2-群)；

b)P/Φ(P)是G的F-離中心的主因子；

c) 若P是交換的，則Φ(P)=1。

引理9設(shè)F是一個(gè)包含所有冪零群的飽和群系，G是一個(gè)F-臨界群[10]且F-剩余群P=GF≤OP(G)。如果P的每一個(gè)素?cái)?shù)階或者4階(p=2且P非交換)循環(huán)子群在G中是PU-可補(bǔ)充的，則|P|=p且(|G|,p-1)≠1。

證明：由引理8知，P/Φ(P)是G的F-離中心的主因子；對(duì)某個(gè)素?cái)?shù)p,P是指數(shù)為p或者4(p=2且P非交換)的群。

首先證明|P|=p。假設(shè)結(jié)論不成立，由引理7,存在P/Φ(P)的極小子群X/Φ(P)，滿足X/Φ(P)在G/Φ(P)中不是PU-可補(bǔ)充的。令x∈;FounderNodenameΦ(P)，L=,則|L|=p或者L=|4|。由假設(shè)，L在G中是PF-可補(bǔ)充的。令T和C≤L是G的子群，滿足LT=G，L∩T=C∩T，其中C在G中是U-擬置換的。若T=G，則L=C在G中是U-擬置換的。由引理2，X/Φ(P)=LΦ(P)/Φ(P)在G/Φ(P)中是U-擬置換的，因此X/Φ(P)在G/Φ(P)中是PF-可補(bǔ)充的，矛盾表明T≠G，因此|G：Φ(P)T|=p且PΦ(P)T=PT=G，于是|G：Φ(P)T|=|P|=p。

命題1G的每一個(gè)F-擬置換子群是K-F-次正規(guī)的。

證明：假設(shè)命題1不成立，并設(shè)G為極小階反例。令E是G的F-擬置換子群，則對(duì)G的某個(gè)極大子群M，有E≤M。由引理2a)，E在M中是F-擬置換的，又由G的選擇知，E在M中是K-F-次正規(guī)的。若G/MG∈F，則E在G中是K-F-次正規(guī)的，這與G的選擇矛盾，因此對(duì)任意的x∈G，都有G/MG?F，于是E覆蓋或者避開(kāi)極大對(duì)(Mx,G)。假設(shè)對(duì)某個(gè)x∈G，有EMx=G，則MMx=G且G=MM=M，矛盾。這表明對(duì)任一x∈G，都有EMx≠G且E≤Mx，因此E≤MG。顯然，E在MG中是F-擬置換的，由G的選擇知，E在MG中是K-F-次正規(guī)的，因此E在G中也是K-F-次正規(guī)的，矛盾。

2 主要定理

定理1設(shè)p是一個(gè)整除|G|的奇數(shù)，如果Gp的每一個(gè)極小子群在G中是PU-可補(bǔ)充的，則G是2’-超可解的。

證明：假設(shè)定理1不成立，并設(shè)G為極小階反例。令F為包含所有2’-超可解群的群類，顯然F中的每一個(gè)群都是可解的。由引理5知，假設(shè)的條件對(duì)G的每一個(gè)子群成立，因此G的每一個(gè)真子群是2’-超可解的。

首先證明G是可解的。假設(shè)G是不可解的，則有：

a)G的每一個(gè)正規(guī)真子群N都包含于Φ(G)中，于是G′=G，F(xiàn)(G)=Φ(G)，且G/F(G)是非交換單群。

顯然N是可解群。假設(shè)NΦ(G)，令M為G的極大子群使得NM，易知M是可解的，于是G/N?M/M∩N是可解的，因此G是可解的且N≤Φ(G)，所以F(G)=Φ(G)且G/F(G)是非交換單群。

b) 如果L是G的K-U-次正規(guī)真子群，則L≤F(G)。

由定義2知，存在G的真子群M使得L≤M，且要么M在G中正規(guī)，要么G/MG是超可解群。由a)知，M≤Φ(G)=F(G)，于是L≤F(G)。假設(shè)M不正規(guī)于G，則M≠M(fèi)G且G/MG是超可解的。但是MG≤F(G)，因此G/F(G)是交換的，矛盾。

設(shè)p是整除|G/F(G)|的最大素?cái)?shù)，Gp是G的西洛p-子群。令π=π(G/F(G))，由Burnside’spaqb-定理知，|π|>2且存在一個(gè)素?cái)?shù)q∈π{2,p}。設(shè)Gq是G的西洛q-子群，Q=Gq∩F(G)是F(G)的西洛q-子群，則有：

c)Q≠1.

假設(shè)Q=1，令L為Gq的極小子群。由a)知，L在G中是PF-可補(bǔ)充的。首先假設(shè)L在G中是U-擬置換的，由命題1知，L在G中是K-U-次正規(guī)的，因此L≤F(G)，所以L≤Gq∩F(G)=Q，這表明L在G中不是U-擬置換的，故對(duì)G的某個(gè)極大子群M，有G=LM?？紤]G/MG在M/MG的右陪集上的置換表示可知，G/MG同構(gòu)于對(duì)稱群Sq的某個(gè)階為q的子群，因此q為整除|G/MG|的最大素?cái)?shù)。又因?yàn)镸G≤F(G)，p整除|G/MG|，所以p

d)E=QGp是冪零群。

e)Q≤Z∞(G).

令C=CG(Q)，因?yàn)镼是F(G)的特征子群，所以Q和C都在G中正規(guī)。設(shè)H/K為G的包含于Q的主因子，由d)知，Gp≤C≤CG(H/K)，又由文獻(xiàn)[10]第A章10.6(b)知，F(xiàn)(G)≤CG(H/K)。因?yàn)閜整除|G/F(G)|，所以F(G)

最后證明G是2’-超可解群。

顯然G為可解的F-臨界群。假設(shè)G不是2’-超可解群，則由引理8，對(duì)某個(gè)素?cái)?shù)r>2，GF是一個(gè)r-群。又由引理9知，|GF|=r，所以G是2’-超可解群。

定理2如果G2的每一個(gè)極小子群在G中是PU-可補(bǔ)充的，且G′∩G2是交換的或者G2的每一個(gè)4階循環(huán)子群在G中是PU-可補(bǔ)充的，則G是2-冪零群。

證明：假設(shè)定理2不成立，并設(shè)G為極小階反例。由引理5a)，假設(shè)的條件對(duì)G的每一個(gè)子群成立，因此G的每一個(gè)真子群是2-冪零群。又由文獻(xiàn)[11]第Ⅳ章5.3知，G是一個(gè)2-閉的斯米特群，于是由斯米特定理[9]，G2=GN=G′是G的西洛2-子群，因此G2的每一個(gè)階為素?cái)?shù)或者階為4(G′∩G2=G2是非交換的)的循環(huán)子群在G中是PU-可補(bǔ)充的。由引理9，|G2|=2，因此G為冪零群，矛盾。

定理3設(shè)X≤E是G的正規(guī)子群，p是整除|X|的素?cái)?shù)且(|X|，p-1)=1，令P為X的西洛p-子群。如果P的每一個(gè)極大子群在G中是PU-可補(bǔ)充的，則X是p-冪零的，且X/Op′(X)≤ZΦU(G/Op′(X))。

證明：假設(shè)定理3不成立，令(G,X)是滿足|G|+|X|最小的極小階反例。則有：

a)Op′(X)=1.

假設(shè)Op′(X)≠1，因?yàn)镺p′(X)為X的特征子群，所以O(shè)p′(X)正規(guī)于G。令N為包含于Op′(X)的G的極小正規(guī)子群，則由引理5c)知，假設(shè)的條件對(duì)(G/N,X/N)成立。因?yàn)閄/Op′(X)?(X/N)/(Op′(X)/N)=(X/N)/Op′(X/N)是p-冪零的，且(X/N)/Op′(X/N)≤ZΦU((G/N)/Op′(X/N))，所以X是p-冪零的，且X/Op′(X)≤ZΦU(G/Op′(X))，矛盾。

b)X≠P.

假設(shè)X=P，令N為包含于X的G的極小正規(guī)子群，則由引理5b)知，假設(shè)的條件對(duì)(G/N,X/N)成立。于是由(G,X)的選擇知，X/N≤ZΦU(G/N)，所以NΦ(G)且|N|>p，因此Φ(G)∩X=1。由引理6知，對(duì)G的某些非循環(huán)的極小正規(guī)子群N1,…,Nt，有X=N1×…×Nt，但是X的某個(gè)極大子群在N中正規(guī)，因此由文獻(xiàn)[10]A章3.2知，對(duì)某個(gè)整數(shù)i,有|Ni|=p，矛盾表明b)成立。

c) 由a)和b)直接可知，X不是p-冪零群。

d)Op(X)=1.

假設(shè)Op(X)≠1，令N為G的包含于Op(X)的極小正規(guī)子群，則N≤P。

Ⅰ)X/N是p-冪零的，因此X為p-可解群，NΦ(G)且對(duì)X的某個(gè)包含于N的主因子H/K，有|H/K|>p。

若N=P，則X/N為p′-群，所以X/N為p-冪零群。若N≠P，則假設(shè)的條件對(duì)(G/N,X/N)成立，由(G,X)的選擇知，X/N為p-冪零群。假設(shè)N≤Φ(G)，由文獻(xiàn)[8]推論1.6知，X為p-冪零群，這與c)矛盾，因此N≤Φ(G)不成立。如果對(duì)X的每一個(gè)包含于N的主因子H/K，有|H/K|=p，則由(|X|,p-1)=1知，CX(H/K)=X，所以N≤Z∞(X)，這說(shuō)明X是一個(gè)p-冪零群，矛盾。

Ⅱ)N=N1×…×Nt，這里N1,…,Nt是X的極小正規(guī)子群，且對(duì)所有的i,j，|Ni|=|Nj|>p(文獻(xiàn)[10]A章命題4.13)。

由Ⅰ)和a)知，對(duì)G的包含于X的極小正規(guī)子群R，有R≤Op(X)且X/R是p-冪零群。因?yàn)樗衟-冪零群組成的群類是飽和的群系[8]，所以N為G的包含于X的唯一的極小正規(guī)子群，且由I)知，NΦ(G)，于是存在G的極大子群M使得G=NM，MG∩X=1。從而：

CX(N)=X∩CG(N)=X∩N(CG(N)∩M)

=N(X∩CG(N)∩M),

這里X∩CG(N)∩M正規(guī)于M，且N≤CG(X∩CG(N)∩M)。因此X∩CG(N)∩M正規(guī)于G，這說(shuō)明X∩CG(N)∩M≤X∩MG=1，于是由文獻(xiàn)[10]A章10.6知，N=CX(N)=Op(X)。又由I)知，|N|>p，所以G/MG為非超可解的。

令B=M∩X，V為P的極大子群，且對(duì)B的某個(gè)西洛p-子群Bp，有Bp≤V。設(shè)W和C≤V是G的子群，滿足VW=G，V∩W=C∩W，其中C在G中是U-擬置換的。令T=W∩X，則有：

Ⅳ)V∩T≠1。

假設(shè)V∩T=1，則對(duì)T的某個(gè)西洛p-子群Tp，有|Tp|=p。因?yàn)?|X|,p-1)=1=(|T|,p-1)，所以T是p-冪零的，因此T≤NG(Tp′)，其中Tp′是T的霍爾p′-子群。由I)知，X/N?B是p-冪零的，且對(duì)B的某個(gè)霍爾p′-子群Bp′，有B≤NG(Bp′)，顯然Bp′和Tp′都是X的霍爾p′-子群。因?yàn)閄是p-可解的，所以由文獻(xiàn)[11]第六章1.7知，Bp′和Tp′在X中共軛。令x∈X且Bp′=(Tp′)x，如果Tx≤B，則X=VT=VTx=VB。但是因?yàn)锽p≤V，所以這是不可能的。因此TxB，B≤NG(Bp′)，從而N0=Y∩N≠1，顯然N0正規(guī)于Y且Bp′≤CG(N0)，于是對(duì)N0的某個(gè)極小子群L，有B≤NX(L)，所以L正規(guī)于X，由文獻(xiàn)[10]A章3.2知，|Ni|=p=|L|，i=1,…,t，這與Ⅱ)矛盾。

e) 由a)和d)直接可得G是非p-可解群。

f)X=G，如果N是G的極小正規(guī)子群，則N是非交換的，且G=NP，N是G唯一的極小正規(guī)子群，因此CG(N)=1。

由引理5a)知，假設(shè)的條件對(duì)(X,X)仍然成立，所以當(dāng)X≠G時(shí)，由(G,X)的選擇知，X是p-冪零的，這與c)矛盾，所以X=G。類似的，當(dāng)NP≠G時(shí)，NP是p-冪零的，因此N≤Op(G)或者N≤Op′(G)，由a)和d)可知這是不可能的，因此G=NP，故G/N是p-群，于是N是G唯一的極小正規(guī)子群，顯然N是非交換的，所以CG(N)=1。

g) 最后的矛盾。假設(shè)X=G有非單位的K-U-次正規(guī)p-子群C，則由f)和引理4知，C在CN中次正規(guī)，因此C≤Op(CN)，這表明C∩N=1。由文獻(xiàn)[10]A章14.3知，N≤NCN(C)，NC=N×C，于是C≤CG(N)，這與f)矛盾，所以G沒(méi)有非單位的K-U-次正規(guī)p-子群，因此P的每一個(gè)極大子群V在G中有補(bǔ)充T，且對(duì)T的西洛p-子群Tp，總有|Tp|=p。因?yàn)?|T|,p-1)=1，所以T是p-冪零的，因此P的每一個(gè)極大子群在G中都有一個(gè)p-冪零的補(bǔ)充，由引理9知，G是p-冪零的，矛盾完成了定理3的證明。

定理4設(shè)X≤E是G的正規(guī)子群，p為整除|X|的素?cái)?shù)且(|X|，p-1)=1，令P為X的西洛p-子群。如果X的每一個(gè)西洛子群的極大子群在G中是PU-可補(bǔ)充的，且X=E或者X=F*(E)，則E≤ZΦU(G)，其中F*(E)是E的所有正規(guī)擬冪零子群的直積[12]。

證明：假設(shè)定理4不成立，設(shè)G為滿足|G|+|E|最小的極小階反例。令F=F(E)，F(xiàn)*=F*(E)，p為整除|F|的素?cái)?shù)，P為F的西洛p-子群。則有：

a) 如果L是G的極小正規(guī)子群且L≤F，則L是非循環(huán)的。

假設(shè)|L|=q為一個(gè)素?cái)?shù)，則G/CG(L)是循環(huán)的，令C0=CE(L)=CG(L)∩E，則假設(shè)的條件對(duì)(G/L，C0/L)成立。事實(shí)上，由文獻(xiàn)[13]引理2.11知，L≤Z(C0)且L≤F*≤C0，又由文獻(xiàn)[12]第十章13.6知，F(xiàn)*(C0/L)=F*(C0)/L=F*/L，因此由引理5b)和c)知假設(shè)的條件對(duì)(G/L，C0/L)仍然成立，這表明C0/L≤ZΦU(G/L)。另一方面，由G-同構(gòu)E/C0=E/E∩CG(L)?CG(L)E/CG(L)，可得E/C0≤ZΦU(G/C0)，從而E≤ZΦU(G)，矛盾。

b) 若X≤ZΦU(G)，則X=F*。

假設(shè)XZΦU(G)，令q為整除|X|的最小素?cái)?shù)，則由定理3知，X是q-冪零的。設(shè)W=Oq′(X)是X的霍爾q′-子群，由引理5a)和c)知，假設(shè)的條件對(duì)(W,W)和(G/W,X/W)都成立。當(dāng)W≠1時(shí)，W≤ZΦU(G)且X/W≤ZΦU(G/W)，因此由文獻(xiàn)[10]A章9.13知，X≤ZΦU(G)，矛盾。因此W=1，易知X是q-群，又由定理3，X≤ZΦU(G)，所以由G的選擇知，X=F*。

c)F*=F且CG(F)=CG(F*)≤F。

由b)知，F(xiàn)*是可解的，且F*=F，從而CG(F)=CG(F*)≤F。

d)E不可解且E=G。

假設(shè)E是可解的，則由b)和文獻(xiàn)[8]定理A知，E≤ZΦU(G)，這與(G,E)的選擇矛盾，因此E不可解。若E≠G，則由(G,E)的選擇知，E≤ZΦU(E)且E是可解的，矛盾。

e)G的每一個(gè)包含F(xiàn)的正規(guī)真子群K都是可解的。

由文獻(xiàn)[12]第十章知，F(xiàn)*=F≤F*(K)≤F*(E)，這說(shuō)明F*(K)=F*。由引理5，假設(shè)的條件對(duì)(K,K)成立，因此(G,G)=(G,E)的極小選擇說(shuō)明K≤ZΦU(G)，從而K是可解的。

f)Φ(G)∩P≠1且對(duì)于G的每一個(gè)包含于Φ(G)∩P的極小正規(guī)子群L，F(xiàn)*(E/L)≠F*/L。

假設(shè)Φ(G)∩P=1。由引理6知，P是G的一些極小正規(guī)子群的直積，因此由引理7，P有一個(gè)正規(guī)于G的極大子群M。又由文獻(xiàn)[10]A章9.13知，G有一個(gè)包含于P的p階極小正規(guī)子群L，這與a)矛盾，因此Φ(G)∩P≠1。令L≤Φ(G)∩P，這里L(fēng)是G的極小正規(guī)子群。假定F*(E/L)=F*/L，則假設(shè)的條件對(duì)G/L成立，由G的選擇知，E/L≤ZΦU(G/L)，這表明L≤Φ(G)，所以E≤ZΦU(G)，矛盾表明F*(E/L)≠F*/L。

g) 由d)和e)知，G有唯一的包含F(xiàn)的極大子群M，且M是可解的，G/M為非交換單群。

h)G/F為非交換單群，且對(duì)于G的某個(gè)包含于Φ(G)∩P的極小正規(guī)子群L，G/L為擬冪零群。

由f)知，F(xiàn)*(G/L)=F*(E/L)≠F*/L，于是F/L=F*/L是F*(G/L)的真子群，且F*(G/L)=F(G/L)E(G/L)，這里E(G/L)是G/L的layer。又由g)知，G的每一個(gè)主序列都只有一個(gè)非交換的因子，但是因?yàn)镋(G/L)/Z(E(G/L))是一些非交換單群的直積，所以F*(G/L)=G/L是一個(gè)擬冪零群。因?yàn)镕(G/L)∩E(G/L)=Z(E(G/L))，所以G/F?(G/L)/(F/L)是非交換單群。

i)F*=P.

假設(shè)P≠F，令Q為F的西洛q-子群，其中q≠p，則由G-同構(gòu)PQ/P?Q和斷言h)知，Q≤Z∞(G)，這與a)矛盾。

j) 設(shè)p是|G|的極大素因子，則G的每一個(gè)西洛q-子群Q(q≠p)是交換的。

令D=PQ，由d)知，Dq且F(D)=P，所以p是|G|的極大素因子且D/F(D)?Q是交換的。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文利用有限群的PF-可補(bǔ)充子群的性質(zhì)證明幾個(gè)定理，即定理1和定理2等，得到有限群G的2’-超可解的、2-冪零性的一些充分條件。在后續(xù)研究中，將定理中的某些條件加以改進(jìn)，觀察能否得到有限群G的冪零性的一些結(jié)論，如考慮將定理3中的條件改為有限群G的正規(guī)子群的Sylow-子群的極大子群在G中的是PF-可補(bǔ)充的，在此條件下研究子群的PF-可補(bǔ)充性與有限群冪零性的關(guān)系。

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