曲徑通幽 別有洞天

周文燦

摘 要：函數(shù)與解三角形的綜合問(wèn)題是三角形問(wèn)題的一部分。正、余弦定理和函數(shù)兩者的綜合考查屢見(jiàn)不鮮。本文通過(guò)分析一道解三角形題目，以三角形為背景，考查了解三角形中的正弦定理、余弦定理、基本不等式以及最值問(wèn)題，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，知識(shí)的融合性比較強(qiáng)，屬中檔題。此類問(wèn)題的解決方法是：其一，要靈活地把所求問(wèn)題化歸成我們熟悉的問(wèn)題；其二要準(zhǔn)確熟練地活用三角公式及其變形；最后，要注意題目中的限制條件，如角的范圍等。

關(guān)鍵詞：解三角形；函數(shù)；一題多解；多變量

一、試題再現(xiàn)

在△ABC中，已知AB=2，AC2-BC2=6，則tanC的最大值是__________。

二、試題賞析

學(xué)科內(nèi)綜合問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。新課標(biāo)高考要求，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查要注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題。函數(shù)與解三角形的綜合問(wèn)題是三角問(wèn)題的一部分。正、余弦定理是三角形邊與角的等量關(guān)系，而函數(shù)主要體現(xiàn)在變量（如角度、長(zhǎng)度）的變化，所以兩者的交匯是自然的，兩個(gè)方面的知識(shí)綜合考查屢見(jiàn)不鮮。此類交匯問(wèn)題的解決關(guān)鍵是：其一，要準(zhǔn)確熟練地活用三角形公式及其變形；其二，要注意角的隱含信息，如角的范圍等。

筆者是一位高三數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)在我們一輪復(fù)習(xí)正在復(fù)習(xí)三角函數(shù)、解三角形。近期作業(yè)中出現(xiàn)了上述這道填空題，班級(jí)里面只有個(gè)別學(xué)生會(huì)做這道題。下面我們一起來(lái)分析一下這道題目。

本題以三角形為背景，考查了解三角形的正弦定理、余弦定理、基本不等式以及最值問(wèn)題，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，知識(shí)的融合性比較強(qiáng)，屬中檔題，是不可多得的好題。

在解題過(guò)程中，我們需要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與三角形中正弦定理、余弦定理，結(jié)合題目特點(diǎn)從側(cè)面出發(fā)可以得出多種解法，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

三、思路分析

審題發(fā)現(xiàn)，本題的條件有：①△ABC中；②AB=2；③AC2-BC2=6。

條件①說(shuō)明本題給出的條件在三角形中，條件②說(shuō)明三角形中有一條邊是定值，條件③說(shuō)明兩條長(zhǎng)度不確定的邊之間，有一種等量關(guān)系。

所求的是∠C的正切的最大值，需要求得∠C的正切的表達(dá)式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)法或基本不等式法等方法來(lái)求解。

四、多維剖析

思路1：分析可知，要求得∠C的正切的表達(dá)式，可以先求∠C的余弦值，亦即當(dāng)∠C的余弦值取得最小值時(shí)，∠C的正切值取得最大值。因此根據(jù)余弦定理，解得∠C的余弦值，借助邊AB和BC的等量關(guān)系，消去AC，表示出∠C的余弦值，通過(guò)基本不等式求解最小值。

解析1：在△ABC中，由余弦定理得

到這兒把表達(dá)式化成關(guān)于BC的函數(shù)式，下面用基本不等式來(lái)解決它，就需要將表達(dá)式變形，此時(shí)BC=，tanC

取得最大值。

本題中答案要求的是tanC的最大值，然而tanC的求解公式比較少，所以問(wèn)題可以化歸成求∠C的相關(guān)三角函數(shù)值。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，求余弦值比較容易，所以運(yùn)用余弦定理。在計(jì)算過(guò)程中，AB?AC的處理也是一個(gè)難關(guān)。已知條件AC2-BC2=6是一個(gè)方程，在平時(shí)復(fù)習(xí)的時(shí)候我們經(jīng)常強(qiáng)調(diào)：方程的本質(zhì)是為了消元，所以可以利用已知條件把AC消去，得到?BC，得到一個(gè)只關(guān)于BC的式子，接下來(lái)可以運(yùn)用基本不等式求解最值。若學(xué)生在此處遇到障礙，可以告訴學(xué)生分析多變量是解題的關(guān)鍵，尋找它們的內(nèi)在聯(lián)系，也往往暗示著解決問(wèn)題的目標(biāo)和方向，運(yùn)用課堂上學(xué)到的知識(shí)來(lái)分析、解決，“不畏浮云遮望眼”，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，為解決問(wèn)題提供有效的途徑。

思路2：解法1中，由余弦定理的方程，化成關(guān)于的二次方程，用△≥0求得cosC的范圍，再由tanC的單調(diào)性求得，當(dāng)cosC取得最小值時(shí)，tanC取得最大值。

解析2：由余弦定理可得：

4=a2+b2-2abcosC，

，

∵△≥0，∴可得cosC≥，

∵b>c，可得C為銳角，tanC取得最大值。

當(dāng)然本題應(yīng)用解析幾何的方法也可以，以AB為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)AC2-BC2=6解得點(diǎn)C的軌跡方程，把∠C轉(zhuǎn)化成兩條直線BC、AC的傾斜角之差，利用斜率來(lái)求解。因?yàn)橐惠啅?fù)習(xí)還沒(méi)有復(fù)習(xí)到解析幾何，這兒就不詳細(xì)介紹了。

上述的方法1和2充分應(yīng)用了現(xiàn)階段復(fù)習(xí)的函數(shù)知識(shí)、余弦定理、基本不等式等相關(guān)知識(shí)，而函數(shù)、三角問(wèn)題又是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，也是高三復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，這道題目很好地把這些內(nèi)容融合到一起，是一道不錯(cuò)的題目。endprint