信度函數(shù)在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要性評(píng)價(jià)中的應(yīng)用*

莫 泓 銘

(四川民族學(xué)院 圖書館，四川 康定 626001)

0 引 言

近年來，涌現(xiàn)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)這一新興學(xué)科，來自數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)、生物等領(lǐng)域的研究者掀起了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究高潮[1-2]。與生活緊密相關(guān)的許多應(yīng)用系統(tǒng)都可以被抽象建模并運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論來分析研究，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]、鐵路網(wǎng)[4]、電力網(wǎng)[5]、人腦網(wǎng)絡(luò)[6]、社交網(wǎng)絡(luò)[7]等。運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論知識(shí)來研究這些現(xiàn)實(shí)生活中的復(fù)雜系統(tǒng)，可以實(shí)現(xiàn)高效率地管理、維護(hù)系統(tǒng)，提高系統(tǒng)可靠性與運(yùn)行效率。節(jié)點(diǎn)重要度研究作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)眾多研究?jī)?nèi)容的熱點(diǎn)之一[8-14]，有利于進(jìn)一步理清系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，對(duì)重要節(jié)點(diǎn)加以重點(diǎn)保護(hù)與維護(hù)，提升管理效率，增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性。由于節(jié)點(diǎn)是具有多屬性的，因而如何合理地利用各節(jié)點(diǎn)的相關(guān)屬性更加快速準(zhǔn)確地識(shí)別出重要的節(jié)點(diǎn)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

證據(jù)理論Dempster-Shafer Theory of Evidence是Dempster于1967年首次提出[15]的，其學(xué)生Shafer于1976年對(duì)該理論進(jìn)行了進(jìn)一步推廣[16]，目前已成為一種重要的不確定信息表達(dá)與處理工具。證據(jù)理論是傳統(tǒng)貝葉斯概率論的推廣，不僅可以表達(dá)單子集上的概率，并且可以表達(dá)多子集上的概率，不需要任何先驗(yàn)信息。證據(jù)理論還能準(zhǔn)確地表達(dá)“不確定”與“不知道”等信息，這些在傳統(tǒng)的概論率中是無法表達(dá)的。由于其能靈活地表達(dá)與處理不確定信息，已被廣泛運(yùn)用于信息融合、模式識(shí)別、圖像分析、目標(biāo)識(shí)別和決策分析等領(lǐng)域[17-21]。信度函數(shù)是證據(jù)理論的一種特殊表現(xiàn)形式[22-23]。信度函數(shù)已被廣泛地運(yùn)用于作戰(zhàn)效能分析[24]、決策分析[25-26]等領(lǐng)域。節(jié)點(diǎn)是具有多屬性的，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的重要性評(píng)價(jià)可以視做多目標(biāo)決策問題。為了更準(zhǔn)確、更合理地探討評(píng)價(jià)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的重要性問題，提出了一種基于信度函數(shù)的評(píng)價(jià)方法，應(yīng)用于無權(quán)無向的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，探討復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)重要度，將節(jié)點(diǎn)的相關(guān)屬性構(gòu)建為同一框架下的多個(gè)信度函數(shù)，并運(yùn)用信度函數(shù)的融合工具進(jìn)行融合，得到節(jié)點(diǎn)的綜合重要度評(píng)價(jià)，并通過實(shí)例仿真分析說明了方法的有效性和優(yōu)越性。

1 信度函數(shù)理論

證據(jù)理論[15-16]是一種新的、更靈活的信息，特別是不確定信息表達(dá)工具。證據(jù)理論不同于傳統(tǒng)的貝葉斯概率論，它不需要先驗(yàn)信息，并且將傳統(tǒng)概率的單子集賦值拓展到了單子集的冪集空間。

定義1 假設(shè)Θ={θ1，θ2，θ3，…，θn}是一個(gè)有限的非空互斥集合，證據(jù)理論中的辨識(shí)框架由該集合的所有子集構(gòu)成，即Ω={?，θ1，θ2…θi…θn，{θ1，θ2}，{θ1，θ3}…Θ}。該框架上的基本概率指派函數(shù)(Basic Probability Assignment，BPA)m(A)滿足以下條件：

其中，?是空集，A是集合Ω的任意子集。

信度函數(shù)作為證據(jù)理論中的一種特殊的BPA表現(xiàn)形式，其定義如下：

定義2 信度函數(shù)(Belief Function)Bel(A)表示所有明確支持命題A的BPA之和，即：

定義3 似然函數(shù)(Plausibility function)Pl(A)表示不否定命題A的BPA之和，即：

很明顯，信度函數(shù)與似然函數(shù)有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

定義4 信任度區(qū)間Bel(A)，pl(A)表示命題A的信任區(qū)間，Bel(A)表示信任函數(shù)為下限，pl(A)表示似然函數(shù)為上限。Pl(A)與Bel(A)之差反映了命題A的不確定程度，數(shù)值越大，命題A的不確定程度就越大，數(shù)值越小，命題A的不確定程度就越小。

定義5 Dempster組合規(guī)則是證據(jù)理論的核心，它能夠?qū)蓚€(gè)原始的相互獨(dú)立的BPA融合并生成一個(gè)新的BPA。Dempster組合規(guī)則或稱為兩個(gè)BPA的正交和。Dempster組合規(guī)則如下：

(1)

其中，k是沖突系數(shù)，反映兩個(gè)BPA的差異化程度。當(dāng)k=0時(shí)，意味著兩個(gè)BPA是完全一樣的。當(dāng)k=1時(shí)，代表兩個(gè)BPA是完全不一樣的，即彼此互相矛盾，Dempster組合規(guī)則不能應(yīng)用于此情形。Dempster組合規(guī)則具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，滿足交換律和結(jié)合律，即

m1⊕m2=m2⊕m1

(m1⊕m2)⊕m3=m1⊕(m2⊕m3)

因此，當(dāng)多個(gè)BPA需要融合時(shí)，可以不用考慮其先后順序而一對(duì)一對(duì)地進(jìn)行融合。

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及相關(guān)節(jié)點(diǎn)重要度算法

現(xiàn)實(shí)生活中的許多系統(tǒng)都可以抽象建模為網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)由節(jié)點(diǎn)和邊的關(guān)系構(gòu)成。假如一個(gè)網(wǎng)絡(luò)G=(V，E)，是由|V|=n個(gè)節(jié)點(diǎn)和|E|=m條邊組成[27]。在無向無權(quán)圖中，vij=1表示節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間有一條連邊，vij=0代表節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j不相連。

2.1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基本特征

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標(biāo)度等特性[1-2]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之“復(fù)雜”特性主要體現(xiàn)在：

(1) 復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、錯(cuò)綜復(fù)雜的節(jié)點(diǎn)間關(guān)系。節(jié)點(diǎn)數(shù)量眾多，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間或存在多樣化的有關(guān)系，比如在有向有權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)間的權(quán)重差異，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的方向性關(guān)系等。

(2) 對(duì)于時(shí)域或空域網(wǎng)絡(luò)，點(diǎn)、邊的狀態(tài)隨時(shí)間或空間的變化而變化。

(3) 多屬性關(guān)系。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)、邊都不是孤立存在的，都具有多重屬性，因而很難簡(jiǎn)單的概括、描述其結(jié)構(gòu)。

2.2 常見的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要度算法

衡量節(jié)點(diǎn)的重要度的標(biāo)準(zhǔn)有很多，相應(yīng)的識(shí)別算法也有很多，這些算法都從不同的角度出發(fā)來探討節(jié)點(diǎn)的重要度問題。如何識(shí)別節(jié)點(diǎn)的重要度一直是當(dāng)前的研究熱門問題，近年來研究者們提出了許多的識(shí)別復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中重要節(jié)點(diǎn)的算法，典型的中心型算法如下。

以上這些算法都是從某個(gè)特定的角度出發(fā)來衡量節(jié)點(diǎn)的能力，每種算法都有其適用性與局限性。Du等基于TOPSIS法來綜合考慮了節(jié)點(diǎn)的DC、BC、CC等屬性指標(biāo)，并據(jù)此得到節(jié)點(diǎn)的重要性排序結(jié)果等[30]。相關(guān)研究表明：節(jié)點(diǎn)重要性程度除了與其自身影響力有關(guān)之外，還與其所處的位置也有密切相關(guān)，即使某個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居非常少，但它處在網(wǎng)絡(luò)的核心位置，非常重要。相反，某些處在網(wǎng)絡(luò)邊緣的節(jié)點(diǎn)，雖然其度很大，但其影響力卻很小。Kitsak等提出了K核分解算法，通過將網(wǎng)絡(luò)剝離分層的方式來評(píng)價(jià)節(jié)點(diǎn)的重要能力[31]。K核分解法在分析大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的層次結(jié)構(gòu)等方面有較好的適用性，然而也存在一定的局限性，研究者們不斷地改進(jìn)K核算法，并取得了一定成果。此外，還有PageRank 算法[32]、LeaderRank算法[33]、Efficiency Centrality[34]、AHP方法[35]等。

3 信度函數(shù)的節(jié)點(diǎn)重要度識(shí)別模型

基于信度函數(shù)構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)識(shí)別模型，其具體步驟如下。

步驟1 構(gòu)建統(tǒng)一的辨識(shí)框架，將節(jié)點(diǎn)的相關(guān)屬性值在統(tǒng)一的辨識(shí)框架下進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

步驟2 結(jié)合網(wǎng)絡(luò)實(shí)際情況，選擇合適的節(jié)點(diǎn)屬性指標(biāo)，并測(cè)得各屬性指標(biāo)數(shù)值。

步驟3 構(gòu)造信度函數(shù)，將節(jié)點(diǎn)的各屬性指標(biāo)值轉(zhuǎn)換為信度函數(shù)的表現(xiàn)形式。

步驟4 融合信度函數(shù)，運(yùn)用Dempster組合規(guī)則依次融合各信度函數(shù)，結(jié)果為一個(gè)信度函數(shù)。

步驟5 數(shù)值轉(zhuǎn)換，將最終信度函數(shù)值轉(zhuǎn)換成單一數(shù)值，并據(jù)此排序。

4 實(shí)例應(yīng)用

以Football網(wǎng)絡(luò)[36]為例來驗(yàn)證提出的基于信度函數(shù)評(píng)價(jià)方法的有效性和可行性。其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示，該網(wǎng)絡(luò)由35個(gè)節(jié)點(diǎn)和118條邊組成，該網(wǎng)絡(luò)是無向無權(quán)的。

圖1 Football網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The network structure of Football

步驟1 構(gòu)建信度函數(shù)的統(tǒng)一的辨識(shí)框架。在例中，節(jié)點(diǎn)重要與否簡(jiǎn)單劃分為2類，即重要與不重要，分別用b和u表示，構(gòu)建辨識(shí)框架θ={b，u}。

步驟2 選擇測(cè)算指標(biāo)。結(jié)合網(wǎng)絡(luò)情況，節(jié)點(diǎn)的度、緊密度中心值、介數(shù)中心值等屬性指標(biāo)被選擇來用于構(gòu)建信度函數(shù)，通過相應(yīng)的算法獲得其對(duì)應(yīng)值分別如表1中的第2、4、6列所示，第1列為節(jié)點(diǎn)編號(hào)。

步驟3 基于屬性值的極值構(gòu)造信度函數(shù)。以節(jié)點(diǎn)的度屬性為例，選擇節(jié)點(diǎn)度的最大值Degmax與最小值Degmin作為參考值，即有

Degmax=max{Deg1，Deg2…Degi…Degn}

Degmin=min{Deg1，Deg2…Degi…Degn}

其中，Degi為節(jié)點(diǎn)i的度屬性值，Degmax為所有節(jié)點(diǎn)度屬性值中的最大值，Degmin為所有節(jié)點(diǎn)度屬性值中的最小值。

則，

Degi(θ)=1-Degi(b)-Degi(u)

其中，Degi(b)表示節(jié)點(diǎn)i重要性程度的大小，Degi(u)表示節(jié)點(diǎn)i不重要性程度的大小，Degi(θ)表示節(jié)點(diǎn)i的重要性與否未知。ε為調(diào)節(jié)性參數(shù)，ε∈(0，1]，其作用為防止出現(xiàn)當(dāng)最大值與最小值相同時(shí)出現(xiàn)分母為0的非法情況，其值不影響最終結(jié)果，在例中，為簡(jiǎn)便，取ε=0.5。

以節(jié)點(diǎn)1的度屬性為例，在Football網(wǎng)絡(luò)中，由表1第2列可知，節(jié)點(diǎn)的度最大值與最小值分別為Degmax=19，Degmin=1，則有

Deg1(θ) =1-Deg1(b)-Deg1(u)=1-0.162 2-0.810 8=0.027 0

則節(jié)點(diǎn)1的度信度函數(shù)表示為

Deg(1)=(0.162 2，0.810 8，0.027 0)

(2)

同理可得，節(jié)點(diǎn)1的緊密度信度函數(shù)和介數(shù)信度函數(shù)表示分別為

Clo(1)=(0.168 3，0.585 7，0.246 0)

(3)

Bet(1)=(0.004 8，0.266 3，0.728 9)

(4)

相似地，可以得到余下節(jié)點(diǎn)的度信度函數(shù)、緊密度信度函數(shù)和介數(shù)函數(shù)，限于篇幅，本部分略。

步驟4 融合各節(jié)點(diǎn)的屬性信度函數(shù)值。由于Dempster組合規(guī)則具有交換性與結(jié)合性，以節(jié)點(diǎn)1為例，可以不分先后地融合節(jié)點(diǎn)1的度中心信度函數(shù)、緊密度中心信度函數(shù)和介數(shù)中心信度函數(shù)值。首先融合節(jié)點(diǎn)的度與緊密度，結(jié)合式(1)，由式(2)、式(3)有

即

m1DegClo=(0.093 3，0.898 0，0.008 7 )

(5)

相應(yīng)地，基于式(1)，結(jié)合式(4)、式(5)，可得到節(jié)點(diǎn)1的最終的綜合信度函數(shù)為

m1=(0.070 6，0.922 9，0.006 5)

(6)

步驟5 綜合信度函數(shù)轉(zhuǎn)換。在獲得節(jié)點(diǎn)的綜合信度函數(shù)后，需將該組數(shù)值轉(zhuǎn)換為單一數(shù)值，以便進(jìn)一步比較其數(shù)值大小，其轉(zhuǎn)換公式如下：

m(i)=mi(b)-mi(u)

(7)

其中，mi(b)為節(jié)點(diǎn)i關(guān)于參數(shù)b的信度函數(shù)，mi(u)為節(jié)點(diǎn)i關(guān)于參數(shù)u的信度函數(shù)。對(duì)于未知部分mi(θ)可以忽略不計(jì)或平均分配給參數(shù)b和u，在例中，采用平均分配的方法。

以節(jié)點(diǎn)1為例，有

類似地，可以得到其他節(jié)點(diǎn)的屬性最終值，如表1第8列所示。

表1 Football網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)相關(guān)屬性值Table 1 Values of attributes of nodes of Football network

5 實(shí)驗(yàn)討論

表1的第3、5、7、9列分別代表度中心算法、緊密度中心算法和鄰近度中心算法的排序結(jié)果。由表1可知，不同的算法所得到的排序結(jié)果是不一樣的。在度中心算法中，35個(gè)節(jié)點(diǎn)，一共識(shí)別出了15個(gè)不同的度，有許多節(jié)點(diǎn)擁有相同的度，因而度算法無法區(qū)分這些具有相同度的節(jié)點(diǎn)的重要性。緊密度中心算法主要從節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)全局中的位置出發(fā)，較度中心算法能更好地識(shí)別節(jié)點(diǎn)的重要程序，然而仍然存在無法識(shí)別的情況，如節(jié)點(diǎn)8、25、35。同時(shí)，某些度較大的節(jié)點(diǎn)在緊密度算法中卻呈現(xiàn)排名較后的情況，如節(jié)點(diǎn)14的度為12，在緊密度中心算法中排名第10，而節(jié)點(diǎn)2的度為8，在緊密度中心算法中排名第5。因而緊密度中心算法與度中心算法無明確關(guān)聯(lián)性。介數(shù)中心算法相對(duì)于度中心算法與緊密度中心算法而言，能更加細(xì)化地識(shí)別不同節(jié)點(diǎn)的重要程序，然而仍然存在無法進(jìn)一步細(xì)分的情況，如節(jié)點(diǎn)6、17、19、23、31。介數(shù)中心算法更多地是考慮節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)全局最短路徑中的地位，即使節(jié)點(diǎn)存在相同的度，但由于其并非處于網(wǎng)絡(luò)最短路徑的主干線路中，其重要程度也是不一樣的，如節(jié)點(diǎn)7、15、28、31，因而介數(shù)中心算法與度中心算法無明確關(guān)聯(lián)性。介數(shù)中心算法與緊密度中心算法所識(shí)別的最重要節(jié)點(diǎn)分別是節(jié)點(diǎn)12與節(jié)點(diǎn)18。節(jié)點(diǎn)2在緊密度中心算法中排名第5而在介數(shù)中心算法中卻排名第19，以上表明介數(shù)中心算法與緊密度中心算法亦無明確關(guān)聯(lián)。由上述分析可知，度中心算法、緊密度中心算法和介數(shù)中心算法彼此無明確關(guān)聯(lián)性，彼此獨(dú)立，滿足Dempster組合規(guī)則的先決條件，可以被運(yùn)用于融合節(jié)點(diǎn)的這3種屬性，進(jìn)而本文構(gòu)建的模型具有合理性。

Football網(wǎng)絡(luò)中的35個(gè)節(jié)點(diǎn)經(jīng)本文提出的算法融合后產(chǎn)生了35個(gè)不同的結(jié)果，如表1第8列所示，充分地識(shí)別了每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的重要性程序，解決了度中心算法、緊密度中心算法和介數(shù)中心算法無法識(shí)別某些節(jié)點(diǎn)重要性的問題。此外，這4種算法所識(shí)別的網(wǎng)絡(luò)中前4個(gè)重要的節(jié)點(diǎn)是一樣的，盡管由于各中心算法的側(cè)重點(diǎn)不同導(dǎo)致排序上有少許差異，以上仍表明了模型的有效性。

6 結(jié) 語

基于信度函數(shù)構(gòu)建了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)重要度評(píng)價(jià)模型，并結(jié)合Football網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證了模型的有效性。模型主要是采用節(jié)點(diǎn)的相關(guān)屬性并將其轉(zhuǎn)換為信度函數(shù)，然后運(yùn)用Dempster組合規(guī)則來融合節(jié)點(diǎn)的相關(guān)屬性，得到節(jié)點(diǎn)的一組綜合信度函數(shù)值，然后將其轉(zhuǎn)換為一個(gè)單一的數(shù)值，并依此對(duì)節(jié)點(diǎn)的影響力進(jìn)行排序，克服了單一屬性方法有時(shí)無法區(qū)別具有相同屬性值的節(jié)點(diǎn)的影響力的情況。實(shí)例驗(yàn)證表明：模型具有合理性和有效性。研究有一定的理論意義與現(xiàn)實(shí)意義，可進(jìn)一步推廣到其他網(wǎng)絡(luò)及更多的節(jié)點(diǎn)屬性。如何根據(jù)網(wǎng)絡(luò)特征合理選擇節(jié)點(diǎn)的屬性算法是下一步的研究方向。

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