一種基于加權(quán)馬氏距離的TOPSIS改進(jìn)評(píng)價(jià)法及其應(yīng)用*

王 韋 霞

(安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽 蕪湖 241003)

TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)評(píng)價(jià)法屬多指標(biāo)、多方案的排序法，它的中心思想是：通過(guò)構(gòu)造評(píng)價(jià)體系的正、負(fù)理想解向量，計(jì)算每個(gè)評(píng)價(jià)方案到正、負(fù)理想解向量的距離，再求出每個(gè)評(píng)價(jià)方案和最優(yōu)方案的相對(duì)貼近度來(lái)對(duì)方案進(jìn)行排序，從而選出最優(yōu)方案。

1 傳統(tǒng)TOPSIS法及其局限性

設(shè)有n個(gè)評(píng)價(jià)方案Ai(i=1，2，…，n)及m個(gè)指標(biāo)Cj(j=1，2，…，m)，xij為評(píng)價(jià)方案Ai在指標(biāo)Cj下的指標(biāo)數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)的TOPSIS方法采用如下操作步驟：

步驟1 用向量歸一化法對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行預(yù)處理，即：

步驟2 構(gòu)造加權(quán)規(guī)范評(píng)價(jià)矩陣Z=(zij)n×m，其中：

zij=wjyij(i=1，2，…n；j=1，2，3，…，m)

步驟4 計(jì)算各評(píng)價(jià)方案到正、負(fù)理想解的歐氏距離。

2 傳統(tǒng)TOPSIS法及其局限性

傳統(tǒng)的TOPSIS法存在如下局限性[1-2]：

(1) 由步驟2發(fā)現(xiàn)，權(quán)重采用主觀判斷且事先作用于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)中，不僅缺乏客觀合理性，而且容易導(dǎo)致TOPSIS現(xiàn)逆序現(xiàn)象。

(2) 由步驟3發(fā)現(xiàn)，增加或減少新方案可能導(dǎo)致正、負(fù)理想解改變，也容易出現(xiàn)逆序現(xiàn)象。

(3) 由步驟4、步驟5發(fā)現(xiàn)，歐式距離測(cè)量存在問(wèn)題：當(dāng)兩不同評(píng)價(jià)方案到最優(yōu)、最劣方案的歐式距離相等時(shí)，此時(shí)無(wú)法根據(jù)貼近度比較優(yōu)劣。同時(shí)，當(dāng)評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)相關(guān)性顯著時(shí)，使用歐式距離容易出現(xiàn)誤判。

3 改進(jìn)的TOPSIS法原理及步驟

為了解決上述局限性，提出一種基于加權(quán)馬氏距離的TOPSIS法，改進(jìn)如下：

(1) 正、負(fù)理想點(diǎn)選擇的改進(jìn)方法：將評(píng)價(jià)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為效益型指標(biāo)，借助極差變換法轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化矩陣，即：

對(duì)效益型指標(biāo)：

對(duì)成本型指標(biāo)：

顯然，正、負(fù)理想解為：S+=(1，1，1，…，1)，S-=(0，0，0，…，0)，不會(huì)隨著新方案的增加或減少而改變。

(2) 將評(píng)價(jià)方案到正、負(fù)理想解的歐式距離改用加權(quán)的馬氏距離定義。

假設(shè)各方案Ai標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)指標(biāo)值Si(si1，si2，…，sim)及正、負(fù)理想解均來(lái)自于均值為μ，協(xié)方差陣為∑的總本樣本空間G，則方案Ai到正、負(fù)理想解的加權(quán)馬氏距離d+(Si，S+)、d-(Si，S-)定義為

其中W=diag(w1，w2，…，wm)為指標(biāo)Cj(j=1，2，…，m)的權(quán)重。由矩陣的知識(shí)可知，要使d+(Si，S+)，d-(Si，S-)存在，要求協(xié)方差陣非奇異，且W∑-1正定，則W∑-1首先必須為對(duì)稱矩陣，即要求w1=w2=…=wm，但實(shí)際問(wèn)題中指標(biāo)間往往存在差異性，各指標(biāo)權(quán)重取值一樣顯然不合理[5]。為使加權(quán)合理以及計(jì)算的d+(Si，S+)，d-(Si，S-)有意義，采取如下做法[3-7]：

令Λ=diag(λ1，λ2，…，λm)，其中λ1，λ2，…，λm為∑的特征值，U=(e1，e2，…em)為特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成的正交基，做變換fi=UTSi(i=1，2，…，m)，則fi=(fi1，fi2，…，fim)的協(xié)方差陣Λ滿足UT∑U=Λ，利用上述定義的評(píng)價(jià)方案到正、負(fù)理想解的距離(式(1)、式(2)) ，fi到正理想解的加權(quán)馬氏距離為

同理可得：

由tr(Λ)=tr(∑)，可知變換后的fi=(fi1，fi2，…，fim)(i=1，2，…，n)沒有改變?cè)萐i(si1，si2，…，sim)(i=1，2，…，n)之間的差異程度，故可用變換后的d+(fi，S+)、d-(fi，S+)代替方案Ai到正、負(fù)理想解的加權(quán)馬氏距離，此時(shí)WΛ-1必是正定的。

4 案例分析

評(píng)價(jià)企業(yè)綜合實(shí)力問(wèn)題：為系統(tǒng)地分析某IT類企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，選擇8個(gè)不同的利潤(rùn)指標(biāo)，對(duì)15家企業(yè)進(jìn)行了調(diào)研，得到如表1所示的數(shù)據(jù)。

表1 企業(yè)綜合實(shí)力評(píng)價(jià)Table 1 Evaluation of enterprise comprehensive strength

根據(jù)式(3)改進(jìn)的TOPSIS法計(jì)算得出方案Ai標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)指標(biāo)矩陣S如下：

顯然此時(shí)的正、負(fù)理想解為：S+=(1，1，1，…，1)，S-=(0，0，0，…，0)。計(jì)算S的協(xié)方差陣Σ及其特征向量組成的正交基U分別為

U=

-0.1946-0.14360.35770.02560.64410.43850.30280.33770.06580.1159-0.1169-0.6860-0.39320.26910.45190.25840.71030.0946-0.2839-0.11880.4221-0.2768-0.05830.3657-0.07140.68400.4730-0.0037-0.1349-0.0464-0.36130.3905-0.65600.0367-0.5371-0.14670.1862-0.2724-0.15410.35440.0442-0.69160.2970-0.2221-0.2211-0.0930-0.43600.3668-0.0412-0.09360.17860.3948-0.2412-0.53150.58730.34090.1193-0.0266-0.38140.5366-0.30400.5397-0.10680.3957

設(shè)各指標(biāo)的權(quán)重矩陣為W=diag(w1，w2，…，w8)，采用專家評(píng)判法求得各指標(biāo)的權(quán)重向量W=diag(0.25，0.2，0.15，0.1，0.1，0.1，0.05，0.05)，利用改進(jìn)后的TOPSIS評(píng)價(jià)法求得方案Ai到正、負(fù)的加權(quán)馬氏距離及到正理想解的相對(duì)貼近度如表2所示，改進(jìn)后的TOPSIS法與改進(jìn)前的TOPSIS法對(duì)各評(píng)價(jià)方案按由優(yōu)到劣的排序如表3所示。從改進(jìn)前、后的TOPSIS法的結(jié)果可見，第一名、第二名以及最后一名結(jié)果一樣，反映了兩種方法在評(píng)判方案優(yōu)劣性方面，某種程度上是一致的，而中間排名順序發(fā)生變化，主要原因是評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)重復(fù)信息較多。

表2 各評(píng)價(jià)方案相對(duì)貼近度Table 2 Relative closeness of evaluation scheme

表3 改進(jìn)前、后TOPSIS法結(jié)果對(duì)比Table 3 The TOPSIS method results before and after improvement

5 結(jié) 語(yǔ)

與傳統(tǒng)的TOPSIS方法相比，改進(jìn)后的TOPSIS方法有如下優(yōu)點(diǎn)：

(1) 將評(píng)價(jià)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為效益型指標(biāo)，將相對(duì)正、負(fù)理想解轉(zhuǎn)化為絕對(duì)正、負(fù)理想解，消除傳統(tǒng)TOPSIS方法容易產(chǎn)生的逆序現(xiàn)象。

(2) 同時(shí)，將評(píng)價(jià)方案做正交變換，利用變換后的評(píng)價(jià)方案到正、負(fù)理想解的馬氏距離代替?zhèn)鹘y(tǒng)歐式距離，不僅解決了評(píng)價(jià)指標(biāo)信息相關(guān)性影響評(píng)價(jià)結(jié)果問(wèn)題，而且也解決了協(xié)方差矩陣奇異時(shí)馬氏距離不存在問(wèn)題。

(3) 采用主觀方法對(duì)各指標(biāo)賦權(quán)與利用各評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)評(píng)價(jià)方案的方差貢獻(xiàn)率賦權(quán)相結(jié)合的方法，充分利用了評(píng)價(jià)對(duì)象信息的客觀性及專家經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的主觀性，通過(guò)宏觀及客觀調(diào)控，進(jìn)一步提高了評(píng)價(jià)結(jié)果的可靠性。

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