基于屬性關(guān)聯(lián)的猶豫模糊TODIM多屬性決策方法*

劉 寧 元

(廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 財(cái)貿(mào)學(xué)院，廣州 510000)

0 引 言

自模糊集[1]提出以來(lái)，對(duì)客觀世界各領(lǐng)域的研究從精確集逐漸拓展到了模糊集.作為決策者的主體在現(xiàn)實(shí)決策過(guò)程中，由于自身的知識(shí)背景及思維差異，經(jīng)常表現(xiàn)出猶豫，認(rèn)為幾個(gè)值都有可能，而且彼此很難說(shuō)服對(duì)方，使得最終的決策結(jié)果難以達(dá)成一致.Torra[2]提出猶豫模糊集，它作為模糊集的一種重要拓展形式，允許用幾個(gè)可能的值來(lái)表示隸屬度.目前，基于猶豫模糊信息的多屬性決策問(wèn)題已引起學(xué)者們的重視[3-10].

對(duì)于多屬性決策問(wèn)題的研究，大多數(shù)方法是建立在期望效用理論之上，這些都假設(shè)決策者是完全理性的，然而在現(xiàn)實(shí)的決策過(guò)程中，常常是具有有限理性的心理特征[11].Kahneman和Tversky以“有限理性人”為基礎(chǔ)，提出前景理論[12]，在考慮決策者心理行為的情形下，對(duì)提高多屬性決策質(zhì)量具有重要現(xiàn)實(shí)意義[13-19].Gomes和Lima[15]在前景理論的基礎(chǔ)上提出TODIM決策方法，重點(diǎn)考慮了決策者的參照依賴(lài)和損失規(guī)避行為特征.與前景理論有所不同，TODIM方法不需要事先給出決策參考點(diǎn)的信息，通過(guò)計(jì)算決策者對(duì)兩兩方案比較優(yōu)勢(shì)-劣勢(shì)的感知優(yōu)勢(shì)度來(lái)解決屬性值為清晰數(shù)的多屬性決策問(wèn)題.此后，許多學(xué)者對(duì)TODIM方法進(jìn)行了深入研究.樊治平等[16]將TODIM方法推廣到區(qū)間數(shù)環(huán)境下，利用區(qū)間數(shù)距離構(gòu)建方案收益-損失決策矩陣，進(jìn)而計(jì)算方案總體感知優(yōu)勢(shì)度并對(duì)方案排序.Krohling和Souza[17]將TODIM方法推廣到梯形模糊數(shù)環(huán)境下，提出了一種新的F-TODIM多屬性決策方法.Zhang等[6]將TODIM方法推廣到猶豫模糊環(huán)境下，提出新測(cè)度函數(shù)進(jìn)行方案之間優(yōu)勢(shì)-劣勢(shì)比較，進(jìn)而計(jì)算方案的總體感知優(yōu)勢(shì)度并對(duì)方案排序.Fan等[18]將TODIM方法推廣到屬性值為清晰數(shù)、區(qū)間數(shù)、語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)的混合環(huán)境下，提出一種混合TODIM多屬性決策方法.梁霞[19]將TODIM方法推廣到屬性值為關(guān)聯(lián)的清晰數(shù)環(huán)境下，提出屬性關(guān)聯(lián)的C-TODIM多屬性決策方法.

鑒于現(xiàn)實(shí)多屬性決策問(wèn)題中，屬性間常存在關(guān)聯(lián)，屬性評(píng)價(jià)結(jié)果通常表現(xiàn)出一定程度的猶豫不決，認(rèn)為幾個(gè)值都有可能.文獻(xiàn)[19]雖然研究了基于屬性關(guān)聯(lián)的清晰數(shù)TODIM多屬性決策方法，但沒(méi)有涉及不確定的環(huán)境下；文獻(xiàn)[6]雖然研究了基于猶豫模糊TODIM多屬性決策方法，但對(duì)于屬性間存在關(guān)聯(lián)的情形也沒(méi)有進(jìn)行研究.因而研究基于屬性關(guān)聯(lián)的猶豫模糊TODIM多屬性決策方法具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義.為此，針對(duì)屬性具有關(guān)聯(lián)的猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行了探討，通過(guò)決策者參照依賴(lài)和損失規(guī)避心理行為，提出TODIM多屬性決策方法，詳細(xì)給出了該方法的決策過(guò)程，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行算例分析.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 猶豫模糊集的概念

定義1[2]定義在非空集合X={x1，x2，…，xn}上的猶豫模糊集為H={|x∈X}，其中hA(x)是區(qū)間[0，1]中幾個(gè)不同實(shí)數(shù)的集合，表示x∈X屬于集合A的幾種隸屬度，它是猶豫模糊集H的基本元素.Xia[9]稱(chēng)hA(x)為猶豫模糊數(shù)，將其記為h=hA(x).猶豫模糊數(shù)h具體地表示為h=H(γ1，γ2，…，γ#h)(γλ∈[0，1]，λ=1，2，…，#h)，其中#h表示猶豫模糊數(shù)h中元素的個(gè)數(shù).

定義2[8]設(shè)h1，h2，h為猶豫模糊數(shù)，它們的基本運(yùn)算法則定義如下：

(1)h1∪h2=H{max(γ1，γ2)|γ1∈h1，γ2∈h2}；

(2)h1∩h2=H{min(γ1，γ2)|γ1∈h1，γ2∈h2}；

(3)θh=H{(1-(1-γ)θ)|γ∈h}(θ>0)；

(4)hθ=H{γθ|γ∈h}(θ>0)；

(5)hc=H{(1-γ)|γ∈h}

定義3[6]設(shè)猶豫模糊數(shù)h=H{γ1，γ2，…，γ#h}，猶豫模糊測(cè)度函數(shù)S(h)定義：

(1)

其中，參數(shù)δ(0<δ≤1)是決策者根據(jù)實(shí)際決策需要給出的一個(gè)常數(shù).當(dāng)δ=1，則式(1)為猶豫模糊數(shù)的得分函數(shù)[9].對(duì)于兩個(gè)猶豫模糊數(shù)h1(x)和h2(x)，基于測(cè)度函數(shù)S(h)排序如下：

若Sδ(h1)>Sδ(h2)，則h1優(yōu)于h2，記h1>h2；

若Sδ(h1)=Sδ(h2)，則h1等價(jià)于h2，記h1～h2；

若Sδ(h1)

任意兩個(gè)猶豫模糊數(shù)的元素通常無(wú)序，且元素個(gè)數(shù)也不完全相同.為了進(jìn)行運(yùn)算，作如下約定[6]：設(shè)猶豫模糊數(shù)h1(x)和h2(x)中元素個(gè)數(shù)分別為#h1和#h2，將h1(x)和h2(x)中元素按照增序進(jìn)行排列，在元素較少的集合中添加元素，使其個(gè)數(shù)達(dá)到#h=max{#h1，#h2}，添加原則反映了決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度.

定義4[8]設(shè)猶豫模糊數(shù)h(x)=H(γλ|λ=1，2，…，#h)，設(shè)γ-和γ+分別表示h(x)中的最小值和最大值，按照以下方式在h(x)中添加元素：

(2)

(3)

1.2 模糊測(cè)度

定義6[20]設(shè)X為有限集，P(X)是X的冪集，gλ：P(X)→[0，1]滿(mǎn)足性質(zhì)：(1)gλ(φ)=0，gλ(X)=1；(2)若M?N?X，則gλ(M)≤gλ(N)≤gλ(X)；(3)gλ(M∪N)=gλ(M)+gλ(N)+λgλ(M)gλ(N)，其中λ∈(-1，)，則稱(chēng)gλ為P(X)上的λ模糊測(cè)度.

由定義6可知，當(dāng)λ=0時(shí)，表示gλ是可加測(cè)度，M與N間無(wú)相互作用關(guān)系；當(dāng)λ>0時(shí)，gλ(M∪N)>gλ(M)+gλ(N)，表示gλ是超可加測(cè)度，M與N間存在積極合作關(guān)系；當(dāng)λ<0時(shí)，gλ(M∪N)

如果有限集X={x1，x2，…，xn}，對(duì)任意的A∈P(X)，且gλ模糊測(cè)度滿(mǎn)足[21]：

(4)

因?yàn)镻(X)=1，根據(jù)以下公式，可確定唯一的參數(shù)λ：

1+λ=∏i∈A[1+λgλ(xi)]

(5)

定義7[22]設(shè)f為定義在P(A)上的模糊測(cè)度，離散Choquet積分定義為f：A→R+關(guān)于μ的映射：

(6)

其中(i)表示1，2，…，n的一個(gè)置換，滿(mǎn)足0≤f(a(1))≤f(a(2))≤…≤f(a(n))；X(i)={x(i)，…，x(n)}，且X(n+1)=φ.

2 屬性關(guān)聯(lián)TODIM方法

設(shè)X={x1，x2，…，xm}表示方案集，A={a1，a2，…，an}表示屬性集，μ為定義在P(A)上的模糊測(cè)度，方案xi(i=1，2，…，m)在屬性aj(j=1，2，…，n)的評(píng)價(jià)值hij為猶豫模糊數(shù).設(shè)H=(hij)m×n是猶豫模糊多屬性決策矩陣，其中hij是一個(gè)猶豫模糊數(shù)，表示方案xi滿(mǎn)足屬性aj的程度，并且0≤hij≤1.經(jīng)典TODIM方法[15，23]考慮到?jīng)Q策者損失規(guī)避的心理行為特征，計(jì)算決策者對(duì)兩兩方案比較的收益-損失值，進(jìn)而構(gòu)建在每個(gè)屬性下的感知優(yōu)勢(shì)度矩陣，最后得到各備選方案的總體感知優(yōu)勢(shì)度，并以此進(jìn)行排序擇優(yōu).

(7)

φ(xi，xk)=

(8)

進(jìn)一步地，計(jì)算方案xi相對(duì)于其他方案的總體感知優(yōu)勢(shì)度Φ(xi)，其計(jì)算公式為

Φ(xi)=

(9)

顯然，0≤Φ(xi)≤1，方案xi(i=1，2，…，m)的總體感知優(yōu)勢(shì)度Φ(xi)越大，則方案xi(i=1，2，…，m)就越優(yōu).

綜上，提出考慮屬性關(guān)聯(lián)的猶豫模糊TODIM方法的決策步驟：

(10)

F1和F2分別表示效益型和成本型屬性集.其中(hij)c表示hij補(bǔ)集，按照定義2中式(5)計(jì)算.

步驟2 對(duì)決策屬性A={a1，a2，…，an}的gλ模糊測(cè)度進(jìn)行專(zhuān)家評(píng)定，根據(jù)式(4)、式(5)確定各屬性子集的模糊測(cè)度.

步驟4 利用式(8)計(jì)算方案xi對(duì)于所有屬性aj(j=1，2，…，n)下相對(duì)于方案xk的個(gè)體感知優(yōu)勢(shì)度φ(xi，xk).

步驟5 利用式(9)計(jì)算方案xi(i=1，2，…，m)總體感知優(yōu)勢(shì)度Φ(xi)，最后利用總體感知優(yōu)勢(shì)度Φ(xi)的大小確定方案xi(i=1，2，…，m)的排序，確定最優(yōu)決策方案.

定理如果在猶豫模糊信息多屬性決策中，決策屬性相互獨(dú)立，則關(guān)聯(lián)的TODIM方法等價(jià)于經(jīng)典的TODIM方法.

證明根據(jù)猶豫模糊多屬性決策屬性關(guān)聯(lián)TODIM方法，方案xi相對(duì)于方案xk在所有屬性aj(j=1，2，…，n)下集成的感知優(yōu)勢(shì)度為φ(xi，xk)：

φ(xi，xk)=

(11)

由于決策矩陣猶豫模糊信息屬性相互獨(dú)立，則屬性權(quán)重滿(mǎn)足可加性，即

μ(Aσ(j))-μ(Aσ(j+1))=μ(a(j))

將μ(aj)=wj(1≤j≤n)代入式(11)，則

(12)

設(shè)wjr=wj/wr，其中wr=max{wj|j=1，2，…，n}，則

(13)

(14)

由式(12)—式(14)可得：

(15)

式(15)和文獻(xiàn)[6]方法中感知優(yōu)勢(shì)度的計(jì)算公式是一致的.即決策屬性猶豫模糊數(shù)相互獨(dú)立，則關(guān)聯(lián)的TODIM方法等價(jià)于經(jīng)典的TODIM方法.

3 算例分析

3.1 算 例

以文獻(xiàn)[24]為例，某企業(yè)準(zhǔn)備制定未來(lái)幾年的項(xiàng)目投資計(jì)劃.假如有4個(gè)備選項(xiàng)目需要確定投資重點(diǎn)，董事會(huì)利用平衡計(jì)分卡評(píng)價(jià)體系[25]確定了ai(i=1，2，3，4)4個(gè)效益型指標(biāo)：a1財(cái)務(wù)方向，a2顧客滿(mǎn)意方向，a3內(nèi)部業(yè)務(wù)流程方向，a4學(xué)習(xí)成長(zhǎng)方向來(lái)評(píng)估這4個(gè)項(xiàng)目的前景，評(píng)估結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 猶豫模糊評(píng)估值Table 1 Hesitating fuzzy evaluation value

利用式(7)比較在屬性aj(j=1，2，3，4)下兩兩方案評(píng)價(jià)值的大小.設(shè)δ=0.1，得到表2中所有方案在各個(gè)屬性下的比較結(jié)果.其中“A”表示方案xi/xk比較優(yōu)勢(shì)，“D”表示xi/xk比較劣勢(shì).例如，在a1財(cái)務(wù)方向的屬性下，決策者認(rèn)為方案x1要劣于方案x2，因?yàn)榉桨竫1在屬性a1下的評(píng)估值h11為{0.2，0.4，0.7}，而方案x2在屬性a1下的評(píng)估值h12為{0.2，0.4，0.7，0.9}.利用式(1)比較(取δ=0.1)可知，S0.1(h11)=0.387 6

表2 在aj(j=1，2，3，4)屬性下方案的優(yōu)勢(shì)-劣勢(shì)比較分析Table 2 Comparative analysis of advantage anddisadvantage under aj(j=1，2，3，4)attribute

由于屬性aj(j=1，2，3，4)均為效益型指標(biāo)，規(guī)范化矩陣就是猶豫模糊決策矩陣，見(jiàn)表3.

表3 猶豫模糊決策矩陣D=(hij)4×4Table 3 Hesitation fuzzy decision matrix D=(hij)4×4

步驟2 由專(zhuān)家評(píng)定各屬性測(cè)度gλ值：gλ(a1)=gλ(a3)=0.15，gλ(a2)=gλ(a4)=0.2.利用式(4)、式(5)，得到λ=1.4以及所有屬性子集的模糊測(cè)度，如表4所示：

表4 屬性子集的模糊測(cè)度Table 4 Fuzzy measure of attribute subset

步驟4 利用式(8)計(jì)算方案xi(i=1，2，3，4)在所有屬性aj(j=1，2，3，4)下相對(duì)于方案xk(k=1，2，3，4)的個(gè)體感知優(yōu)勢(shì)度φ(xi，xk)取(θ=1)，如表5所示.

表5 方案xi(i=1，2，3，4)相對(duì)其他方案的個(gè)體感知優(yōu)勢(shì)度Table 5 The individual perceived advantage of schemexi(i=1，2，3，4) relative to other programs

步驟5 利用式(9)計(jì)算方案xi(i=1，2，3，4)總體感知優(yōu)勢(shì)度：Φ(x1)=0.000 0，Φ(x2)=0.464 5，Φ(x3)=0.928 3，Φ(x4)=1.000 0.

最后，根據(jù)總體感知優(yōu)勢(shì)度，得到方案的排序結(jié)果為x4>x3>x2>x1.

文獻(xiàn)[24]的排序結(jié)果為x4>x2>x1>x3，與本文排序有所不同.文獻(xiàn)[24]通過(guò)猶豫模糊廣義λ-Shapley Choquet平均集成算子集成決策信息得到排序結(jié)果.信息集成算子是決策者基于完全理性地處理多屬性決策的方法，但是在現(xiàn)實(shí)生活中決策者往往是有限理性的，因此，提出的方法更加符合現(xiàn)實(shí)情況.

3.2 參數(shù)的敏感性分析

由于基于關(guān)聯(lián)的TODIM猶豫模糊多屬性決策方法是帶有參數(shù)η(決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好)、參數(shù)δ(測(cè)度函數(shù)S(h))以及參數(shù)θ(損失規(guī)避系數(shù))的決策方法.

針對(duì)決策者不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好，參數(shù)η取值不同，對(duì)原始決策信息中添加的猶豫模糊信息(即屬性值)就會(huì)發(fā)生改變，從而引起猶豫模糊決策矩陣的變化.該敏感分析主要通過(guò)改變參數(shù)值的大小，分別計(jì)算方案最終排序結(jié)果的變化情況.參數(shù)η分別取0、0.5、1，計(jì)算基于η的不同取值下方案排序結(jié)果，見(jiàn)表6.

表6 基于η的不同取值下方案排序結(jié)果Table 6 The ranking results based on different valuesunder η scheme

從表6中的敏感性分析結(jié)果看出，參數(shù)η(決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好)的值從0變化到1，方案的最終排序結(jié)果是一致的.即方案的最終排序結(jié)果對(duì)參數(shù)η的取值不敏感.

針對(duì)猶豫模糊測(cè)度函數(shù)S(h)，參數(shù)δ取值不同，確定在各屬性下方案的優(yōu)勢(shì)-劣勢(shì)比較分析就會(huì)發(fā)生變化，從而影響方案最終排序.參數(shù)δ分別取0.1、0.01、0.001，先進(jìn)行基于δ不同取值下方案的優(yōu)勢(shì)-劣勢(shì)比較分析，最后計(jì)算δ的不同取值下方案排序結(jié)果，見(jiàn)表7.這說(shuō)明參數(shù)δ取值對(duì)方案排序結(jié)果不敏感.

表7 基于δ的不同取值下方案排序結(jié)果Table 7 Ranking results based on different values underδ scheme

針對(duì)方案感知優(yōu)勢(shì)度φ(xi，xk)，損失規(guī)避參數(shù)θ分別為0.2、0.4、0.6、0.8、1，計(jì)算基于θ的不同取值下方案排序結(jié)果(η=0，σ=0.1)，見(jiàn)表8.

表8 基于θ的不同取值下方案排序結(jié)果Table 8 Ranking results based on different values underθ scheme

從表8中的敏感性分析結(jié)果看出，參數(shù)θ的值雖然變化，但方案的最終排序是一致的，這說(shuō)明參數(shù)θ取值對(duì)方案排序結(jié)果不敏感.

4 結(jié) 論

在決策過(guò)程中，考慮到?jīng)Q策者行為是有限理性的，這更加符合現(xiàn)實(shí)情況.因此，研究考慮決策者“有限理性”的決策問(wèn)題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.針對(duì)決策者的屬性偏好是猶豫模糊信息，且已知屬性關(guān)聯(lián)測(cè)度的多屬性決策問(wèn)題，考慮到?jīng)Q策者參照依賴(lài)和損失規(guī)避心理行為的情形下，提出一種基于TODIM思想的多屬性決策方法.該方法通過(guò)將其他方案作為參照，引入測(cè)度函數(shù)對(duì)每個(gè)屬性下方案之間的優(yōu)勢(shì)-劣勢(shì)進(jìn)行比較，結(jié)合TODIM方法和Choquet積分思想，得到方案總體感知優(yōu)勢(shì)度，進(jìn)而對(duì)方案進(jìn)行排序.與已有僅考慮決策者行為且屬性關(guān)聯(lián)清晰數(shù)的決策方法相比，或與僅考慮決策者行為且屬性值為猶豫模糊信息的決策方法相比，所提方法可以有效地處理這兩種方法的不足之處.它既考慮到了決策者行為，又考慮到了在不確定的環(huán)境下屬性間存在著關(guān)聯(lián)的情形，因而具有較強(qiáng)的可操作性和實(shí)用性.

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