淺談數(shù)學(xué)高考中的變形思想

周炳

摘 要：變形思想在數(shù)學(xué)高考解題中是一種很常見(jiàn)的方法，高考數(shù)學(xué)解題中，為了能在有效的時(shí)間里得到正確的答案，需要對(duì)已知條件進(jìn)行有效的變形或者替代。在一般情況下，一個(gè)高考題的已知條件有多種變形思想，因題型而異，具有很強(qiáng)的技巧性。主要介紹了數(shù)學(xué)高考中不等式、三角函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用等的變形思想。

關(guān)鍵詞：變形思想；解題技巧；三角函數(shù)；單調(diào)函數(shù)

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，解題的過(guò)程能讓高中數(shù)學(xué)的枯燥、乏味變得更加生動(dòng)精彩，通過(guò)解題過(guò)程可以使高中生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)也掌握一些生活所必需的基本技能，近幾年來(lái)，在全國(guó)卷的數(shù)學(xué)高考考試中，不僅注重考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，而且還越來(lái)越重視學(xué)生知識(shí)的靈活運(yùn)用，在解題的過(guò)程對(duì)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危梢允菇忸}過(guò)程充滿樂(lè)趣，也可以提高解題效率。

一、基本不等式中的變形技巧

在利用基本不等式的過(guò)程中，要保證“一正、二定、三相等”的條件，所以在解題過(guò)程中常常需要對(duì)已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问怪畣?wèn)題簡(jiǎn)化符合條件。

例1：求y=x+（x>1）的最小值。

[分析]：因?yàn)閤·不為定值，所以需要對(duì)x變形，當(dāng)把x變成x-1時(shí)，（x-1）·即為定值。

解：由y=x+=x-1++1≥2+1=3（當(dāng)且僅當(dāng)x-1=時(shí)取等號(hào)），所以y=x+（x>1）的最小值

為3。

例2：已知a>0，b>0且a+b=2，求+的最小值。

[分析]：因?yàn)樵?的式子中無(wú)法變現(xiàn)，所以只能在式子中乘以“1”，其中“1=（a+b）”，所以+就可以變?yōu)?·1=+·（a+b）=+++2=++，從而就可以使用基本不等式了。

解：∵+=+·1=+·（a+b）=+++2=++≥+2=

∴+的最小值為。

二、三角函數(shù)的變形技巧

三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，往往有關(guān)于求值、化簡(jiǎn)、證明以及解三角形等問(wèn)題，都會(huì)涉及三角恒等變換以及“1”的靈活運(yùn)用。能快速掌握三角恒等變換的技巧，不僅能針對(duì)三角函數(shù)公式的記憶加以幫助，而且還能提高數(shù)學(xué)的邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)的綜合能力。下面通過(guò)例題來(lái)加以說(shuō)明三角函數(shù)的變形技巧。

例1：已知tanθ=2，求下列等式的值；

（1）

（2）

（3）sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ

[分析]：因?yàn)橐阎猼anθ的值，故只需要把在（1）（2）中分子分母同時(shí)除以cosθ和cos2θ即可，（3）中是整式?jīng)]有分母，利用三角函數(shù)中“1”的靈活應(yīng)用，即。

解：（1）====1.

（2）==

==.

（3）sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ=

==

===.

三、函數(shù)中的變形技巧

在學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)中，往往一些條件不滿足，需要我們進(jìn)一步變形才能夠滿足函數(shù)的基本性質(zhì)：

例題1.已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)任意x1，x2都有<0，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)p，f（p-1）+f（p2+m）<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。

[分析]<0，可以變形理解為f（x）為在R上單調(diào)減函數(shù)，f（p-1）+f（p2+m）<0可以變形成為抽象函數(shù)不等式的

形式。

解：∵f（p-1）+f（p2+m）<0∴f（p-1）<-f（p2+m）。又∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（p-1）-p2-m恒成立，∴m>-p2-p+1=-p+2+恒成立，∴m>.

例題2.已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f（x）+f（y）-1=

f（x+y），且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1.求證：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)。

[分析]：因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)不知道解析式，所以不能代入求f（x1）-f（x2），但可以借助題目提供的函數(shù)性質(zhì)來(lái)確定f（x1）-f（x2）的大小，這時(shí)就需要根據(jù)解題需要對(duì)抽象函數(shù)進(jìn)行賦值。

證明：方法一 設(shè)x1，x2是實(shí)數(shù)集上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1>x2。令x+y=x1，y=x2則x=x1-x2>0.f（x1）-f（x2）=f（x+y）-f（y）=f（x）+f（y）-1-f（y）=f（x）-1.

∵x>0，∴f（x）>1，∴f（x）-1>0，∴f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）

函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)。

方法二 設(shè)x1>x2，則x1-x2>0，從而f（x1-x2）>1，即f（x1-x2）-1>0。f（x1）=f [x2+（x1-x2）]=f（x2）+f（x1-x2）-1>f（x2）∴f（x）在R上是增

函數(shù)。

通過(guò)以上幾種題型的變形技巧，我們可以看出數(shù)學(xué)變形思想是高中數(shù)學(xué)解題的一種重要的思想方法，如果能巧妙地利用變形技巧，可以使許多難題迎刃而解，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，變形能力的強(qiáng)與弱，直接影響到考試解題能力的高低，同時(shí)也需要學(xué)生在實(shí)踐中反復(fù)練習(xí)，以至于能靈活運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

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