一道2017年高考三角試題的“深度解析”

李俊嶺

2017年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科17題是一道中檔解三角題，考查了考生對正、余弦定理及面積公式的綜合運用以及運算能力，屬于常規(guī)的題型。但該題要求考生能對相關(guān)公式和定理靈活運用，能從整體上把握已知條件和要求解目標之間的關(guān)系。若考生不能對問題的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)學本質(zhì)有著深刻的理解，就會面對眾多的定理、公式而難以進行正確的選擇和變形運用。筆者希望對題目的條件與結(jié)論作一番探究，對問題的深層結(jié)構(gòu)進行揭示，提出新的解法，總結(jié)解題思路和解題規(guī)律。若有不當之處，還請同行們批評指正。首先給出題目：

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為.

（Ⅰ）求sinBsinC;

（II）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.

一、解題思路分析

（1）第（I）問的思路分析。

題目的條件，是關(guān)于三角形邊角的等式，結(jié)論是sinBsinC=，也可以看成一個三角等式。因而此題的求解方向就是從等式到等式的三角恒等變形。

我們要想進行有效的恒等變形，先從已知條件和結(jié)論之間的差異入手，條件中是含有邊角的等式，結(jié)論中只有兩角，要想消除之間的差異，就要進行邊角的互化。這里因該有兩個方向，一個是把條件中的邊化成角，與結(jié)論相統(tǒng)一;另外一個思路是把角條件和結(jié)論中的角都轉(zhuǎn)化成邊。

（2）第（II）問的思路分析。

下面先對條件和結(jié)論進行一下梳理和變形。