巧用坐標(biāo)法 妙解外接球

廣東省鶴山市紀(jì)元中學(xué)(529721) 李光喜

在有關(guān)多面體三視圖的試題中,有一類求解多面體外接球體積或表面積的綜合性問題,常常放在高考選擇題壓軸題的位置,難度較大,令許多學(xué)生尤其是文科學(xué)生十分頭痛.

解決此類問題的常規(guī)辦法是幾何法,即先將三視圖還原成多面體,再找到多面體外接球的球心,計算出半徑,從而求出體積或表面積.但用幾何法確定外接球球心的位置和半徑,需要較強的空間想象、邏輯思維和計算能力,許多學(xué)生往往望而卻步,一籌莫展.下面筆者結(jié)合實例,介紹一種簡便實用的代數(shù)方法—坐標(biāo)法.用它來求解多面體的外接球問題,只要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,通過簡單的代數(shù)計算,就可方便地確定球心和半徑,免除幾何法直接找球心的煩惱.

例1(汕頭市金山中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)第11題)如圖是某幾何體的三視圖,正視圖和側(cè)視圖均為直角三角形,俯視圖是等邊三角形,則該幾何體外接球的表面積為( )

圖1

分析將三視圖還原成一個三棱錐后,常規(guī)思路是用幾何法先確定外接球的球心,再求出半徑.若利用正三角形的對稱性建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,可以更輕松地確定球心的位置,算出半徑,從而確定外接球的表面積.

圖2

解由三視圖可以得出原幾何體為如圖所示的一個三棱錐A?BCD,底面BCD為一個邊長為2的正三角形,側(cè)棱AB⊥底面BCD,AB=1.取BC的中點O,連接OD,以O(shè)為坐標(biāo)原點,直線OD、BC所在直線分別為x軸、y軸,建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz,則,設(shè)外接球的球心為H(x,y,z),

例2(廣東省實驗中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第三次月考理科數(shù)學(xué)第11題)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體外接球的表面積為( )

圖3

分析此題是一個有關(guān)三視圖的外接球綜合性問題,難度較大.用幾何法解決的第一個難點是將三視圖準(zhǔn)確還原成一個四棱錐,第二個難點是確定外接球的球心和半徑.若將四棱錐放到正方體中去考慮,利用正方體來建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,確定球心和半徑就非常方便.

圖4

例3(2017年廣州市高中畢業(yè)班模擬考試文科第11題)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某三棱錐的三視圖,則該三棱錐外接球的表面積為( )

圖5

分析解決此題的難點是將三視圖準(zhǔn)確還原成一個三棱錐,用幾何法確定外接球的球心不太容易,若將三棱錐放到長方體中去考慮,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,可以輕松地確定球心的位置和半徑.

圖6

評注1、求解有關(guān)多面體三視圖的外接球問題的第一個難點是將三視圖準(zhǔn)確還原成幾何體.在將三視圖還原成幾何體時,有時將多面體放入長方體或正方體中去考慮,可以化難為易,且方便建立空間直角坐標(biāo)系.

2、用幾何法解決外接球問題的關(guān)鍵是確定球心的位置和半徑,很多學(xué)生往往對此束手無策,但用坐標(biāo)法有時比較方便,可以免除幾何法直接找球心的煩惱.

3、用坐標(biāo)法求解外接球問題,關(guān)鍵是利用圖形特征,先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,再運用方程組的思想進行代數(shù)計算,將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題,從而確定球心和半徑.