例談一類不等式恒成立求參數(shù)范圍的解題策略*

廣州市鐵一中學(xué)(510600) 范選文

廣州市綠翠現(xiàn)代實驗學(xué)校(510220) 唐秋萍

已知不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,一般有兩種基本方法:一是“分離參數(shù)法”;二是“構(gòu)造函數(shù)法”.其中“構(gòu)造函數(shù)法”是通法,具有普遍性,但難點往往是由于學(xué)生沒有選對函數(shù)而導(dǎo)致解題失敗.所以本文筆者將對”指數(shù)與冪函數(shù)模型”進行整合的函數(shù)不等式求參數(shù)范圍問題進行探究分析,從而獲得解決這一類題目求參數(shù)范圍的應(yīng)該如何構(gòu)造函數(shù).

一、問題提出

題目設(shè)函數(shù).當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)＞0,求a的取值范圍.

此題是筆者在對尖子生培優(yōu)課堂中一道訓(xùn)練題,改編于2006年全國卷21題,在訓(xùn)練過程中筆者要求學(xué)生不允許用分離參數(shù)法求解,只能用構(gòu)造函數(shù)法求解.全班40個學(xué)生只有1個學(xué)生解得答案,其他學(xué)生都是直接求導(dǎo)分析函數(shù),導(dǎo)致只能解出答案的一部分.

二、問題解決

思路一直接利用函數(shù)進行分析求解.

解答

(1)當(dāng)a≤0時,f′(x)＞0恒成立,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,則f(x)＞f(0)=0,故a≤0滿足題意.

(2)當(dāng)a＞0時,令g(x)=?a(1+x)2e?ax+2,則

①當(dāng)a＞2時,g′(x)＞0恒成立,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,又因為g(0)=?a+2＜0,故在(0,1)區(qū)間上存在子區(qū)間(0,x0),使得在(0,x0)上g(x)＜0,即在 (0,x0)上f′(x)＜0,則f(x)在 (0,x0)上單調(diào)遞減,故f(x0)＜f(0)=0,與f(x)＞0矛盾,故a＞2不成立.

②當(dāng)a=2時,g′(x)＞0恒成立,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,又因為g(x)＞g(0)=0,即f′(x)＞0恒成立,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,則f(x)＞f(0)=0,故a=2滿足題意.____________

③當(dāng)1＜a＜2時,令g′(x)=0,解得,所以在上g′(x)＜0,在上g′(x)＞0,故g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以

即f′(x)＞0恒成立,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,則f(x)＞f(0)=0,故1＜a＜2滿足題意.

④當(dāng)0＜a≤1時,g′(x)＜0恒成立,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以g(x)min=g(1)=?4ae?a+2,下面證明g(x)min=?4ae?a+2＞0在a∈(0,1]上恒成立.

即f′(x)＞0恒成立,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,則f(x)＞f(0)=0,故0＜a≤1滿足題意.

綜上可得,a的取值范圍為(?∞,2].

思路二構(gòu)造函數(shù)h(x)=(1+x)e?ax?(1?x)進行分析求解.

解答

(1)當(dāng)a≤0時,h′(x)＞0恒成立,所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,則h(x)＞h(0)=0,故a≤0滿足題意.

(2)當(dāng)a＞0時,令g(x)=(?ax+1?a)e?ax+1,則

接下來的討論過程跟思路一相同,解答過程從略.

思路三構(gòu)造函數(shù)進行分析求解.

解,令g(x)=ax2+2?a.

(1)當(dāng)a≤0時,g′(x)＞0恒成立,即m′(x)＞0恒成立,所以m(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,則m(x)＞m(0)=0,故a≤0滿足題意.

(2)當(dāng)0＜a≤2時,g′(x)＞0恒成立,即m′(x)＞0恒成立,所以m(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,則m(x)＞m(0)=0,故0＜a≤2滿足題意.

(3)當(dāng)a＞2時,令g(x)=0解得,所以在上m′(x)＜0,在上m′(x)＞0,故

m(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以恒成立矛盾,故當(dāng)a＞2時不成立,舍去.

綜上(1)(2)(3)可得,a的取值范圍為(?∞,2].

評注對于這道題,采用構(gòu)造不同的函數(shù)思路,解答過程完全不一樣.思路一和思路二的解答過程非常繁瑣,只有思路三的解答過程簡單,而且容易理解.因為思路一和思路二的求導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜,很難判斷和討論導(dǎo)函數(shù)的正負,導(dǎo)致學(xué)生在解答過程只停留在第(2)步就做不下去了!思路三的求導(dǎo)函數(shù)是我們熟悉的二次函數(shù)模型,學(xué)生能比較容易去分析和討論導(dǎo)函數(shù)的正負,容易對原函數(shù)圖象作出詳細的分析.

三、解題策略

在遇到“指數(shù)與冪函數(shù)模型”進行整合的不等式恒成立求參數(shù)范圍時,則不等式則轉(zhuǎn)換成兩類函數(shù)相乘(或相除)的模型后再進行構(gòu)造函數(shù),若遇到“對數(shù)與冪函數(shù)模型”進行整合的不等式恒成立求參數(shù)范圍時,則不等式則轉(zhuǎn)換成兩類函數(shù)相加(或相減)的模型后再進行構(gòu)造函數(shù),這樣只需要一次求導(dǎo)即可得到我們熟悉的函數(shù),學(xué)生對參數(shù)進行討論就變得容易.

四、方法運用

例1(2010年全國2卷21題改編)設(shè)函數(shù).當(dāng)x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.

解顯然a≥0,因為若a＜0,則當(dāng)時,f(x)＜0,與f(x)≥0矛盾.

(3)當(dāng)a≥1時,g′(x)≤0恒成立,所以g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,則g(x)≤g(0)=0,與g(x)≥0矛盾,故a≥1舍去.

綜上(1)(2)(3)可得,a的取值范圍為.

例2(2011全國新課標卷21題改編)設(shè)函數(shù)當(dāng)x＞1時,f(x)＞0,求a的取值范圍.

解答,即設(shè),則

(1)當(dāng)a≤?1時,在(1,+∞)上,h′(x)≤0,所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(x)＜h(1)=0;

(2)當(dāng)?1＜a＜0時,令h′(x)=0解得

(3)當(dāng)a≥0時,在(1,+∞)上,h′(x)＞0,所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)＞h(1)=0恒成立,這與題意h(x)＜0恒成立矛盾.

綜上(1)(2)(3)得,a的取值范圍為(?∞,?1].