古為今用:等周定理的幾個(gè)推論及應(yīng)用

廣東省廣州市花都區(qū)秀全中學(xué)(510800) 李桃

在周長(zhǎng)給定并滿足某些條件的所有區(qū)域中,找出面積最大的區(qū)域,這類最值問題稱之為等周問題.早在17世紀(jì),笛卡爾就注意到了這個(gè)問題,并以數(shù)據(jù)驗(yàn)證法給出著名的等周定理.

等周定理在具有給定周長(zhǎng)的所有平面圖形中,圓有最大的面積.

經(jīng)過數(shù)學(xué)家?guī)讉€(gè)世紀(jì)的研究,等周定理衍生出一系列成果.本文將列出有助于解決中學(xué)階段等周問題的幾個(gè)推論與大家分享.

由等周定理,可以用幾何法論證以下結(jié)論:

推論1內(nèi)接于圓的n邊形面積大于其他任何有相同邊(各條邊的長(zhǎng)度與排列順序都相同)的n邊形面積(其中n≥4).

題目1(2015屆河北省石家莊市高三畢業(yè)班第一次模擬測(cè)試)已知平面圖形ABCD為凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在的直線,其余各邊均在此直線的同側(cè)),且AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,則四邊形ABCD面積S的最大值為___.

圖1

點(diǎn)評(píng)用海倫公式和柯西不等式,學(xué)生難以掌握.

點(diǎn)評(píng)計(jì)算的技巧太強(qiáng),學(xué)生難以完整解答.

解法3由推論1知,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)共圓時(shí),其面積最大.此時(shí)A+C=π,C=π?A.由余弦定理得,

點(diǎn)評(píng)利用推論1,這題就是一個(gè)解三角形的簡(jiǎn)單題,學(xué)生容易入手.

由推論1容易得出以下的結(jié)論:

推論2在周長(zhǎng)為定值的所有平面n邊形中,以正n邊形面積最大.(其中n≥3)

題目2用長(zhǎng)度為2的繩圍一個(gè)四邊形區(qū)域,請(qǐng)問圍成的區(qū)域面積最大為____.

解由推論2知,當(dāng)且僅當(dāng)所圍成的四邊形是正方形時(shí),其面積最大,此時(shí)的邊長(zhǎng)為,其最大面積為.

三角形是平面多邊形中最基本的圖形,也是高考考察的熱點(diǎn).所以,我們要重視以下結(jié)論:

推論3在具有公共底邊和周長(zhǎng)的所有三角形中,等腰三角形有最大面積.

該結(jié)論可以借助橢圓來進(jìn)行直觀的幾何證明,此處不再贅述.

題目3(2016屆廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(二)16)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,,則△ABC的面積的最大值為____.

點(diǎn)評(píng)學(xué)生不熟悉海倫公式,難想到此方法.

點(diǎn)評(píng)此法是常規(guī)的解三角形,但是計(jì)算較為繁瑣.

解法3同上,a+c=4,b=2,符合推論3的條件.可知,當(dāng)且僅當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),其面積最大,此時(shí)是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,其面積為.

在知道相關(guān)結(jié)論的情況下,解以上的等周問題會(huì)簡(jiǎn)潔很多.這幾個(gè)結(jié)論淺顯易懂,老師不妨讓學(xué)生記住.此外,我們還可以關(guān)注以下結(jié)論.

推論4在具有公共底邊和面積的所有三角形中,等腰三角形有最小周長(zhǎng).

推論5定長(zhǎng)為L(zhǎng)的曲線,當(dāng)兩端點(diǎn)在一條直線上滑動(dòng),以曲線為半圓時(shí),它與這條直線所形成的封閉圖形面積為最大.