發(fā)動機(jī)臺架試驗特性曲線擬合算法研究與實現(xiàn)

楊 揚，尹憲棟，謝中朝

（1.武漢理工大學(xué) 自動化學(xué)院，武漢430070；2.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）自動化學(xué)院，武漢430074）

發(fā)動機(jī)臺架試驗是發(fā)動機(jī)性能測試的主要方法[1]，目的是盡量模擬發(fā)動機(jī)實際運轉(zhuǎn)時的各種工況，精確測量發(fā)動機(jī)的性能指標(biāo)，獲得發(fā)動機(jī)的試驗特性曲線，以研究發(fā)動機(jī)性能[2]。發(fā)動機(jī)特性主要包括外特性和負(fù)荷特性[3]。通過研究發(fā)動機(jī)特性曲線，衡量發(fā)動機(jī)的最高動力性能，確定發(fā)動機(jī)在不同負(fù)荷和不同轉(zhuǎn)速時的燃油經(jīng)濟(jì)性及最有利的工作轉(zhuǎn)速范圍[4]。

本文以某型號柴油發(fā)動機(jī)為例，設(shè)計發(fā)動機(jī)臺架試驗數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，研究發(fā)動機(jī)外特性和負(fù)荷特性曲線擬合算法及程序?qū)崿F(xiàn)，精確繪制特性曲線，并保證曲線光滑且符合實際。對比幾種曲線擬合算法，建立適合處理發(fā)動機(jī)外特性和負(fù)荷特性試驗數(shù)據(jù)的算法模型，用C++編寫算法程序，實現(xiàn)發(fā)動機(jī)特性曲線繪制，為繪制發(fā)動機(jī)萬有特性曲線提供依據(jù)，為發(fā)動機(jī)性能分析提供準(zhǔn)確基礎(chǔ)[5]。

1 發(fā)動機(jī)臺架試驗數(shù)據(jù)采集

1.1 發(fā)動機(jī)特性

發(fā)動機(jī)外特性曲線是指在發(fā)動機(jī)全負(fù)荷（汽油機(jī)為節(jié)氣門全開）時測得的功率或扭矩隨轉(zhuǎn)速變化的曲線[6]。當(dāng)燃料供給機(jī)構(gòu)位置達(dá)到最大時，得到的是總功率特性，也稱發(fā)動機(jī)外特性。發(fā)動機(jī)的外特性是衡量發(fā)動機(jī)具有的最高動力性能的依據(jù)[7]。

發(fā)動機(jī)的負(fù)荷特性是指當(dāng)發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速一定時，有效比燃油消耗量隨發(fā)動機(jī)負(fù)荷的變化關(guān)系。利用發(fā)動機(jī)的負(fù)荷特性曲線，可以全面地確定發(fā)動機(jī)在不同負(fù)荷和轉(zhuǎn)速時的燃油經(jīng)濟(jì)性[8]。

1.2 試驗數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)

發(fā)動機(jī)臺架試驗數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，采用CAN總線完成數(shù)據(jù)采集。工控機(jī)采集發(fā)動機(jī)臺架試驗過程的燃油消耗率、油耗量、溫度和壓力等參數(shù)，并存儲在文件中，能夠進(jìn)行數(shù)據(jù)處理、試驗特性曲線繪制和實時參數(shù)顯示等。STM32作為下位機(jī)，負(fù)責(zé)測量勵磁、油門、轉(zhuǎn)速和扭矩，再通過CAN總線傳送給工控機(jī)。

圖1 發(fā)動機(jī)臺架試驗數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)Fig.1 Engine bench test data acquisition system

在發(fā)動機(jī)油門全開時，測量轉(zhuǎn)速與扭矩，獲得如表1所示的14組外特性試驗數(shù)據(jù)。采集負(fù)荷特性試驗數(shù)據(jù)的方法為在50%～80%的額定轉(zhuǎn)速下，保持發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速不變，從小負(fù)荷開始，逐步加大油門開度直至全負(fù)荷，適當(dāng)分布8個以上測量點，獲得發(fā)動機(jī)功率、燃油消耗率和油耗量。表2所示為發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速為2400 r/min時測量的9組負(fù)荷特性試驗數(shù)據(jù)。

表1 外特性試驗數(shù)據(jù)Tab.1 Test data of external characteristics

表2 負(fù)荷特性試驗數(shù)據(jù)Tab.2 Test data of load characteristics

2 曲線擬合算法

為了通過有限的試驗數(shù)據(jù)精準(zhǔn)擬合出光滑的曲線，必須采取插值或擬合算法進(jìn)行函數(shù)逼近。常用的曲線擬合算法有最小二乘法、多項式擬合、三次樣條插值算法和折線法等。采用折線法繪制的發(fā)動機(jī)負(fù)荷特性曲線不光滑，無法真實反映變化規(guī)律。

2.1 最小二乘法多項式擬合

運用多元線性回歸理論進(jìn)行多項式曲線擬合，給定數(shù)據(jù)點（xi，yi）（i=0，1，2，…，N），利用多項式（1）擬合出x與y的關(guān)系曲線，擬合的原則是使式（2）所示的偏差的平方和最小[9]。

以二次多項式擬合為例，多項式函數(shù)擬合的法方程如式（3）所示，求解法方程，得到二次多項式的系數(shù)，從而求得二次多項式函數(shù)。

本文采用最小二乘法多項式擬合繪制發(fā)動機(jī)外特性曲線，曲線與試驗數(shù)據(jù)點的偏差平方和最小，且能夠通過試驗數(shù)據(jù)點之間。

2.2 三次樣條插值算法

由于發(fā)動機(jī)負(fù)荷特性曲線連續(xù)一階可導(dǎo)，具有二階導(dǎo)數(shù)且二階導(dǎo)數(shù)不為零，因此，由試驗數(shù)據(jù)擬合的曲線也必須一階、二階可導(dǎo)。同時，要求曲線與試驗數(shù)據(jù)點間的偏差最小，曲線通過試驗數(shù)據(jù)點。因此，本文采用三次樣條插值算法繪制發(fā)動機(jī)負(fù)荷特性曲線。

三次樣條插值可以使插值函數(shù)既是低階分段函數(shù)，又是光滑的函數(shù)。給定區(qū)間［a，b］上的一個劃分：a=x0

給定 n+1 個數(shù)據(jù)節(jié)點（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），則三次樣條插值函數(shù)的求解方法為①計算步長 hi=xi+1-xi（i=0，1，…，n-1）；②確定邊界條件下首尾端點條件，本設(shè)計中采用自然邊界，首尾端點的二次微分值滿足式（5）；

③由數(shù)據(jù)節(jié)點和首尾端點條件得到式（6）所示的矩陣方程，式中 mi（i=0，1，…，n）表示各數(shù)據(jù)節(jié)點的二次微分值；④解式（6）所示的3對角矩陣方程，求解二次微分值mi；⑤依式（7）計算三次樣條曲線的系數(shù)，其中 i=0，1，…，n-1；

⑥在每個子區(qū)間［xi，xi+1］（i=0，1，…，n-1）上創(chuàng)建如式（8）所示的三次多項式方程，由此方程得出三次樣條插值曲線。

用三次樣條插值算法繪制的曲線不僅光滑度好，而且當(dāng)節(jié)點逐漸加密時，其函數(shù)值在整體上非常逼近被插值函數(shù)，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也收斂于被插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠保證曲線一階和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，不會發(fā)生龍格現(xiàn)象[10]，擬合方法簡單易行，便于編程實現(xiàn)。因此，本文采用三次樣條插值算法繪制發(fā)動機(jī)特性曲線。

3 擬合算法的程序?qū)崿F(xiàn)

在發(fā)動機(jī)臺架試驗數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的上位機(jī)軟件中實現(xiàn)擬合算法，采用C++和MFC編寫試驗數(shù)據(jù)處理和特性曲線繪制程序的流程如圖2所示。

若選擇繪制外特性曲線，則采用最小二乘法多項式擬合程序。程序步驟為①從文件中讀取外特性試驗數(shù)據(jù)，求得轉(zhuǎn)速和扭矩的最大值和最小值，確定繪制曲線的坐標(biāo)；②去掉橫坐標(biāo)相同的數(shù)據(jù)點，得到有效數(shù)據(jù)點；③定義數(shù)組和法方程矩陣；④求解法方程矩陣，求解多項式系數(shù)，得到多項式擬合函數(shù)；⑤設(shè)置多個等間隔樣點，依樣點的x坐標(biāo)計算樣點的y坐標(biāo)值；⑥從第一個樣點到最后一個樣點依次畫線，從而繪制出外特性曲線。

圖2 特性曲線繪制程序流程Fig.2 Program flow chart of drawing characteristics curves

若繪制負(fù)荷特性曲線，則采用三次樣條插值算法程序。程序步驟為①從文件中讀取負(fù)荷特性試驗數(shù)據(jù)，繪制坐標(biāo)系；②數(shù)據(jù)處理，去掉橫坐標(biāo)相同的數(shù)據(jù)點，得到用于插值算法的有效數(shù)據(jù)節(jié)點；③定義數(shù)組，用于存放步長、三次樣條曲線的系數(shù)、節(jié)點二次微分值等，并定義對三角矩陣；④計算步長，求解對三角矩陣，得出節(jié)點二次微分值；⑤計算三次樣條曲線函數(shù)的系數(shù)，得出每個節(jié)點區(qū)間上的三次多項式方程；⑥畫曲線。

調(diào)用最小二乘法多項式擬合程序繪制的外特性曲線如圖3所示，曲線反映了發(fā)動機(jī)油門全開時扭矩與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，曲線光滑且準(zhǔn)確通過試驗數(shù)據(jù)點之間，與試驗數(shù)據(jù)點之間的偏差平方和最小，因此，最小二乘法多項式擬合是一種比較理想的發(fā)動機(jī)外特性曲線繪制方法。

圖3 最小二乘法多項式擬合外特性曲線Fig.3 External characteristics curve drew by using the least squares polynomial fitting method

調(diào)用三次樣條插值算法程序和最小二乘法多項式擬合程序繪制的負(fù)荷特性曲線分別如圖4和圖5所示。曲線表示的是轉(zhuǎn)速為2400 r/min時，燃油消耗率及油耗量與功率之間的關(guān)系。從圖中可以看出，通過三次樣條插值算法繪制的負(fù)荷特性曲線光滑，具有一階和二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，曲線精確地通過所有試驗數(shù)據(jù)點，穩(wěn)定性和收斂性較好，符合發(fā)動機(jī)負(fù)荷特性的實際情況；采用最小二乘法多項式擬合法繪制的曲線光滑，但是誤差較大，高次多項式擬合時容易出現(xiàn)振動，與實際不符，不能采用。

圖4 三次樣條插值算法擬合負(fù)荷特性曲線Fig.4 Load characteristics curve drew by using cubic spline interpolation algorithm

圖5 最小二乘法多項式擬合負(fù)荷特性曲線Fig.5 Load characteristics curve drew by using the least squares polynomial fitting method

4 結(jié)語

本文設(shè)計了發(fā)動機(jī)臺架試驗數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，對比了幾種曲線擬合算法，建立適合處理發(fā)動機(jī)外特性和負(fù)荷特性試驗數(shù)據(jù)的算法模型，采用C++編寫算法程序，繪制的特性曲線光滑且符合實際。采用最小二乘法多項式擬合繪制的發(fā)動機(jī)外特性曲線比較理想。針對負(fù)荷特性曲線的特點，采用三次樣條插值算法繪制曲線，并與最小二乘法多項式擬合結(jié)果進(jìn)行對比。結(jié)果表明，三次樣條插值算法是一種比較理想的發(fā)動機(jī)負(fù)荷特性曲線繪制方法。

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