對(duì)數(shù)學(xué)問題1637的探究

李鳳清，張子衛(wèi)

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川遂寧629000）

1 兩個(gè)引理

為行文方便，先給出兩個(gè)引理.

引理1 n倍角的余弦公式（文[2]中第（9）式）設(shè)是不小于2的正整數(shù)，則

當(dāng)1≤k≤n時(shí)，恒有a0Sk+a1Sk-1+…+ak-1S1+kak=0；

當(dāng)k＞n時(shí)，恒有a0Sk+a1Sk-1+…+an-1Sk-n+1+akSk-n=0.

2 數(shù)學(xué)問題1637的兩個(gè)簡(jiǎn)解

數(shù)學(xué)問題1637 P是正三角形A1A2A3的內(nèi)接圓O上的任一點(diǎn)，P至A1A2，A2A3，A3A1的距離分別為d1,d2,d3，問當(dāng)P點(diǎn)位置變動(dòng)時(shí)，++是否為定值.++是否為定值？說明理由.

原文解答計(jì)算量較大，下面先給出兩個(gè)簡(jiǎn)解.

解1不妨設(shè)圓O的半徑為1,設(shè)線段A1A3的中點(diǎn)為F，記∠FOP=θ,根據(jù)原文解答過程知-θ）.由余弦的三倍角公式，可知當(dāng)k=0,1,2時(shí)，均有-θ）=cos3θ，即d1,d2,d3是一元三次方程4（1-x）3-3（1-x）=cos3θ的三個(gè)根，將這個(gè)方程化簡(jiǎn)為

根據(jù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系我們可以得到：

運(yùn)用牛頓公式，我們即可得到：

即可得：

3 一個(gè)三角恒等式

由上面解法2可以得到一組三角恒等式.

定理s，n是正整數(shù)且n≥3，則

證明根據(jù)引理1，當(dāng)k=0,1,2,…，n-1時(shí)，由多倍角的余弦公式可知2cosnθ=2cosn（

運(yùn)用上面定理，我們可把上面問題推廣到正多邊形，得到下面結(jié)論.

命題正n邊形A1A2…A（nA1，A2，…，An按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)排列）的中心為O且內(nèi)切圓半徑為R,圓O在正n邊形A1A2…An的內(nèi)部且半徑為r，P是圓O上任一點(diǎn)，P至A1A2，A2A3，…An-1An，AnA1的距離分別為d1，d2，…，dn，記，則當(dāng)m=1,2,…,n-1時(shí)，S（m）為定值；當(dāng)m=n，n+1時(shí)，S（m）不為定值.

證明類同上面的證明2，此處略去，留給讀者.

[1] 王君麗.n倍角的余弦公式[J].昭通師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2006,（10）.