線性變換的零化多項式與線性空間的直和分解

鄒宗蘭

(四川職業(yè)技術(shù)學院應(yīng)用數(shù)學與經(jīng)濟系，四川遂寧629000）

1 預(yù)備知識

設(shè)V是數(shù)域P上的一個n維線性空間，σ是V的一個線性變換，f（x）是數(shù)域P上的一個多項式，如果f（σ）=0，則稱f（x）零化σ．我們用σ（V）或σV表示σ的值域，σ-1（0）表示σ的核．根據(jù)哈密頓-凱萊定理，線性變換σ的特征多項式是σ的零化多項式．參考文獻[1]第309頁的定理12證明了

如果線性變換σ的特征多項式f（λ）可分解為一次多項式的乘積

那么V可分解為不變子空間的直和

其中Vi={ξ│(σ-λi)riξ=0,ξ∈V},i=1,2,…，s．（ε表示恒等變換）

本文將把上述結(jié)果推廣到線性變換σ的任意零化多項式的情形，即設(shè)f（x）是線性變換σ的任意一個零化多項式，我們利用f（x）的標準分解式把線性空間V分解成的σ一些不變子空間的直和．

2 利用線性變換的零化多項式對線性空間作直和分解

定理1設(shè)σ是數(shù)域P上的n維線性空間V的一個線性變換，數(shù)域P上的多項式

使得f（σ）=0,f1（x）,f2（x）,…,fs（x）兩兩互素，再設(shè)

那么1）fi（σ）-1（0）=gi（σ）-1V,gi（σ）-1（0）=fi（σ）V,i=1,2,…，s；

2）V可分解為σ的不變子空間的直和

證明：1）由gi（x）的定義知fi（x）gi（x）=f（x），于是

另一方面，因為f1（x）,f2（x）,…,fs（x）兩兩互素，所以fi（x）與gi（x）=f1（x）…fi-1（x）fi+1（x）…fs（x）互素，從而存在ui（x）,vi（x）∈P[x]使得

這樣對于Vi的任意一個向量α有

因此α∈gi（σ）V這就證明了

由（1），（3）得gi（σ）V=fi（σ）-1（0）=Vi，i=1,2,…，s.

2）由于σ與fi（σ），gi（x）可交換，所以fi（σ）的核fi（σ）-1（0）和gi（σ）的gi（σ）像gi（σ）V都是σ的不變子空間．

由f1（x）,f2（x）,…,fs（x）兩兩互素不難知道g1（x）,g2（x）,…,gs（x）是互素的，因此存在多項式hi（x）∈P[x],i=1,2,…，s使得

于是

對于V的任意一個向量ξ，由（4）式得

下證（5）是直和．設(shè)γi∈Vi,i=1,2,…，s,使得

因為gi（σ）=f1（σ）…fi-1（σ）fi+1（σ）…fs（σ），所以當j≠i時，Vj=fj（σ）-1（0）的元γj在gi（σ）之下的象為零，即

于是用gi（σ）作用于（6）的兩邊得

根據(jù)（2）和（7）式得

這就證明了

由（5）和（8）式得

根據(jù)這個定理，我們立刻知道參考文獻[1]第309頁的定理12給出的結(jié)果是定理1的一個推論.對于線性變換σ的最小多項式m（x）∈P[x]同樣可得到下面的結(jié)論：

定理2設(shè)σ是數(shù)域P上的n維線性空間V的一個線性變換，為σ的最小多項式，它在數(shù)域P上的標準分解式為

證明：取f（x）=m（x），令f1（x）=Piki（x），i=1,2,…，s，則f1（x），f2（x），fs（x）和f（x）適合定理1的條件．

定理3設(shè)σ是數(shù)域P上的n維線性空間V的一個線性變換，m（x）為σ的最小多項式，那么存在V的一組基，使得σ在這組基下的矩陣是對角形矩陣當且僅當

證明：如果σ在基α1，α2，…，αn下的矩陣是對角形矩陣A．不妨設(shè)

其中EKi表示ki級單位矩陣，λ1，λ2，…，λs互不相等，k1+k2+，…，ks=n，那么σ的最小多項式m（x）=（x-c1）（x-c2）…（x-cs），這里ci=cj,i=1,2,…，s．

反之，如果σ的最小多項式m（x）可分解為不相等的一次因式的乘積

設(shè)αi1，αi2，…，αiri為Vi的一組基，i=1,2,…，s,r1+r2+,…，rs=n，那么α11，α22，…，αir1，…αs1，αs2，…αsrs是V的基，而αi1，αi2，…，αiri是σ的屬于特征值ci的特征向量，故σ在這組基下的矩陣是

3 結(jié)語

由前面的討論可知，定理1給出的結(jié)果具有一般性，而將f（x）取為線性變換σ的特征多項式或最小多項式時，都是定理1的特殊情形，可作為定理1的推論處理．因此在講授這部分教材時我們建議將參考文獻[1]第309頁的定理12改為本文的定理1．

我們知道，數(shù)域上的一個線性空間的全體線性變換的集合做成數(shù)域上一元多項式環(huán)的上的模．在這個模中,一個線性變換零化多項式的集合是環(huán)的一個理想，稱為這個線性變換的零化子．在模論里，模元素的零化子可用來刻畫模的結(jié)構(gòu)．因此，在高等代數(shù)里討論用一個線性變換的零化多項式來構(gòu)作線性空間的直和分解問題，對于學生將來學習模論是有益的．

[1] 萬哲先.代數(shù)導引[M].北京：科學出版社，2004：231-239．

[2] 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2003：242-272．