高三復(fù)習(xí)中“微專(zhuān)題”的設(shè)置及其教學(xué)探討

G·波利亞曾經(jīng)指出：“良好的組織使得所提供的知識(shí)容易用上，這甚至可能比知識(shí)的廣泛更為重要.”而與此相適應(yīng)的，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，依托主題明確、針對(duì)性極強(qiáng)的“微專(zhuān)題”進(jìn)行復(fù)習(xí)，可以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，從而有利于學(xué)生獲得清晰的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究方法，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而提升學(xué)生解決各種問(wèn)題的能力.當(dāng)然這種“微專(zhuān)題”教學(xué)也符合當(dāng)前高考試題的一些特點(diǎn)，現(xiàn)在把筆者所得到的若干體會(huì)闡述如下.

1高考試題“小切口，深探究”的特點(diǎn)與“微專(zhuān)題”教學(xué)兩者的關(guān)系

“小切口，深探究”是當(dāng)前高考的一種趨勢(shì)，現(xiàn)以2017年浙江省高考試題為例，如第5題以小切口“含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題”展開(kāi)，從與閉區(qū)間相關(guān)的二次函數(shù)最值問(wèn)題再到怎么解決含參數(shù)的最值之間的關(guān)系進(jìn)行鑒別、探究，用很小角度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；第8題與第11題分別以隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)文化為載體，從小切口“兩點(diǎn)分布”、“割圓術(shù)”出發(fā)展開(kāi)探究；第15題以向量知識(shí)為載體，從不等式恒成立問(wèn)題出發(fā)，在小切口“三角不等式”和“基本不等式”等知識(shí)上展開(kāi)探究；第17題以對(duì)勾函數(shù)知識(shí)為載體，從參數(shù)問(wèn)題出發(fā)，在小切口“含參絕對(duì)值的最值問(wèn)題”上展開(kāi)探究等等.眾所周知，高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)眾多，而高考數(shù)學(xué)受題量、時(shí)間等限制，抽樣考查數(shù)學(xué)知識(shí)，決定了只能是小切口、深探究，因?yàn)樵O(shè)問(wèn)過(guò)大或過(guò)于常規(guī)的試題很難有較大區(qū)分度，難以起到選拔人才的作用.

而“微專(zhuān)題”復(fù)習(xí)是指針對(duì)某一具體的知識(shí)點(diǎn)或能力點(diǎn)，從該知識(shí)的基本概念、基本原理、基本規(guī)律入手，內(nèi)化知識(shí)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)，進(jìn)行知識(shí)遷移、整合，并能運(yùn)用基本概念和原理解決實(shí)際問(wèn)題的一種“小切口”的復(fù)習(xí)方法.所以“微專(zhuān)題”復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)置與以上高考試題的特點(diǎn)不謀而合，值得進(jìn)行深一步地研究與探討.

2微專(zhuān)題設(shè)置及其課堂教學(xué)

2.1量化“考點(diǎn)”，設(shè)置微專(zhuān)題

“微專(zhuān)題”的設(shè)置應(yīng)該打破教材原有的順序，依據(jù)考點(diǎn)整體謀劃新的復(fù)習(xí)體系.而基于考點(diǎn)量化架構(gòu)“微專(zhuān)題”復(fù)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)了基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)的全面性，又具有可操作性.例如近年來(lái)數(shù)列與不等式是逐漸回歸的一個(gè)考點(diǎn)，在多地的高考模擬試卷與最近浙江省教育考試院的調(diào)測(cè)卷中均有出現(xiàn).而學(xué)生對(duì)于其中涉及到的“放縮”技巧往往掌握不好，針對(duì)這種情況，筆者專(zhuān)門(mén)設(shè)置了《數(shù)列不等式問(wèn)題中的放縮方法》的微專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，具體實(shí)施程序如下：

題1已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n×（12）n-1，求證：當(dāng)n≥3時(shí)，a1+a2+…+an≥3n+2n+1.

設(shè)計(jì)意圖：本題可以通過(guò)二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的放縮巧妙地證明不等式.當(dāng)在證明數(shù)列不等式問(wèn)題時(shí)，若涉及到多項(xiàng)式與底數(shù)為常數(shù)的整數(shù)指數(shù)冪比較大小時(shí)，則運(yùn)用二項(xiàng)式定理，再結(jié)合適當(dāng)?shù)姆趴s是解決問(wèn)題的常規(guī)思路.

題2已知函數(shù)f（x）=ax-32x2的最大值不大于16，又當(dāng)x∈[14，12]時(shí)，f（x）≥18，

（1）求a的值. （2）設(shè)0

設(shè)計(jì)意圖：本題可以在使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的過(guò)程中結(jié)合放縮法，從而順利地解決問(wèn)題，它考查了學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解題的能力，也展示了在利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式時(shí)如何運(yùn)用放縮的方法.

題3當(dāng)n≥3且n∈N*時(shí)，

求證：1n2

設(shè)計(jì)意圖：用導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式，首先要從函數(shù)和變量的觀點(diǎn)出發(fā)仔細(xì)觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，有時(shí)也需要對(duì)不等式作一些等價(jià)變形；其次是引入相應(yīng)的函數(shù)并將所有的式子移到一邊，用導(dǎo)數(shù)的方法研究此函數(shù)的單調(diào)性，從而證得結(jié)論.從而展示了在利用導(dǎo)數(shù)法證明數(shù)列不等式時(shí)如何運(yùn)用放縮的方法.

題4數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N*，總有an，Sn，a2n成等差數(shù)列，又記bn=1a2n+1a2n+3. （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，并求使Tn>m150成立的最大正整數(shù)m的值.

設(shè)計(jì)意圖：本題是先拆項(xiàng)求和再放縮.這是常規(guī)思路.要注意放縮的技巧和放縮的適度. 而在證明數(shù)列不等式時(shí)放縮的其它常見(jiàn)技巧有：①添加或舍去一些項(xiàng)；②將分子或分母放大（或縮?。?；③利用真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)；④利用基本不等式；⑤利用函數(shù)的單調(diào)性；⑥利用函數(shù)的有界性；⑦利用絕對(duì)值不等式；等等.

當(dāng)然，數(shù)列不等式的證明問(wèn)題是千變?nèi)f化的，證明方法是多種多樣的，并且每種方法都是基于對(duì)問(wèn)題的深入觀察、理解的基礎(chǔ)上.而通過(guò)上面的微專(zhuān)題教學(xué)，學(xué)生知曉了解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法，從而有了基本的知識(shí)貯備，也為今后此類(lèi)考點(diǎn)的解決提供了條件.

2.2抓住“重點(diǎn)”，設(shè)置微專(zhuān)題

數(shù)學(xué)中有些內(nèi)容，歷次高考都會(huì)重點(diǎn)考查，抓住這些重點(diǎn)精設(shè)專(zhuān)題，可以大大提高復(fù)習(xí)的針對(duì)性.例如絕對(duì)值函數(shù)經(jīng)常在高考中“拋頭露面”，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.為此筆者參考了有關(guān)資料，設(shè)計(jì)了“含有x-a的一類(lèi)函數(shù)問(wèn)題”的微專(zhuān)題，具體設(shè)計(jì)如下：

題5（1）已知函數(shù)f（x）=xx-2-a有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

（2）函數(shù)f（x）=xx-a在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}是思維的開(kāi)端，是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也是學(xué)生深入探索心理的原動(dòng)力.所以在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)著力創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，去激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新欲望，為課堂教學(xué)創(chuàng)造出良好的學(xué)習(xí)情境，達(dá)到課始趣生的效果.

題6已知函數(shù)f（x）=x（x-a）.（1）當(dāng)a≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在[-1，12]上的最大值.

設(shè)計(jì)意圖：在提出問(wèn)題之后，在意向心理主導(dǎo)控制下，帶著問(wèn)題自主探究.學(xué)生通過(guò)接受知識(shí)信息，評(píng)價(jià)信息，獲得新知，從而構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).可輔以學(xué)習(xí)小組切磋，全堂共議，使學(xué)生在討論中辨析，在自學(xué)中獲知，在探求中提高.

題7設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）x-a，求函數(shù)f（x）的最小值.

設(shè)計(jì)意圖：在自主探究的基礎(chǔ)上，通過(guò)知識(shí)信息的集中反饋，檢查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解程度和對(duì)問(wèn)題探究的深度與廣度，再通過(guò)提問(wèn)、投影及時(shí)矯正錯(cuò)誤信息，讓學(xué)生進(jìn)行辨析、比較，矯正確認(rèn).

題8已知方程x-ax=a有三個(gè)不同的根，求a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：在反饋、矯正、確認(rèn)新知的基礎(chǔ)上，通過(guò)聯(lián)想、拓展、延伸，作必要的橫向聯(lián)系與縱向推廣，重視滲透數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)文化.

題9已知函數(shù)f（x）=xx-a-2，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）<0恒成立，求a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：在聯(lián)想、拓展基礎(chǔ)上，精心選配一些新授知識(shí)的練習(xí)，使學(xué)生的智力活動(dòng)完成“再現(xiàn)式應(yīng)用——變式應(yīng)用——?jiǎng)?chuàng)造性應(yīng)用”的過(guò)程，達(dá)到激活思維、鞏固新知的目的.

在完成上面五個(gè)步驟的基礎(chǔ)上抓住知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法，再作歸納總結(jié)、點(diǎn)撥提高，幫助學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，再用理性認(rèn)識(shí)指導(dǎo)感性認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生新舊知識(shí)有意義的同化作用.通過(guò)上面的微專(zhuān)題教學(xué)，從而使學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容——絕對(duì)值函數(shù)有了較為深入的了解.

2.3洞察“疑點(diǎn)”，設(shè)置微專(zhuān)題

復(fù)習(xí)課除了要幫助學(xué)生建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更要關(guān)注認(rèn)知障礙，這就是我們常提到的“疑點(diǎn)”.教師在平時(shí)的教學(xué)和測(cè)試中要做有心人，善于發(fā)現(xiàn)并積累這些“困惑”，從學(xué)情出發(fā)，以洞察弱點(diǎn)，突破疑點(diǎn)為目標(biāo)設(shè)置微專(zhuān)題，必然能起到事半功倍的復(fù)習(xí)效果.例如數(shù)量積問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇填空的壓軸題中，而學(xué)生在處理這一部分內(nèi)容時(shí)，經(jīng)常感到迷茫，不知道從何處入手.為此，筆者專(zhuān)門(mén)設(shè)置了“投影在數(shù)量積問(wèn)題中的運(yùn)用”的微專(zhuān)題，具體設(shè)計(jì)如下：

題10（1）設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為π3，若a=e1+3e2，b=2e1，則向量a在b方向上的投影為 .

（2）已知點(diǎn)A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），則向量AB在CD方向上的投影為 .

設(shè)計(jì)意圖：上面的兩個(gè)問(wèn)題事實(shí)上是數(shù)量積投影公式的直接運(yùn)用，其解決過(guò)程可以說(shuō)是“直接運(yùn)用，言簡(jiǎn)意賅”，從而使學(xué)生進(jìn)一步熟悉了這個(gè)公式.

題11請(qǐng)用數(shù)量積的幾何意義的角度思考以下的三個(gè)問(wèn)題.

（1）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC=60°，則BD·CD=；

（2）在△ABC中，C=90°，CB=3，點(diǎn)M滿足BM=2MA，則CM·CB=；

圖1（3）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=3，則AP·AC=.

設(shè)計(jì)意圖：上面的三個(gè)問(wèn)題事實(shí)上是數(shù)量積幾何意義的直接運(yùn)用， 其解決過(guò)程可以說(shuō)是“抓住關(guān)鍵，一擊即中”，使學(xué)生對(duì)于利用幾何意義解決數(shù)量積問(wèn)題有了初步的嘗試.

題12請(qǐng)用數(shù)量積的幾何意義的角度思考以下三個(gè)問(wèn)題.

（1） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線y=1-x2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BP·BA的取值范圍是 .

（2）如圖2，在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，AD=1，則AC·AD= .

圖2圖3（3）如圖3，在等腰直角△ABC中，AC=BC=2，點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)是△ABC（包括邊界）內(nèi)任意一點(diǎn)，則AN·MP的取值范圍是 .

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)以上的三個(gè)問(wèn)題的分析，不難發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題事實(shí)上是數(shù)量積幾何意義的更深入的運(yùn)用，其解決過(guò)程可以說(shuō)是“知識(shí)綜合，拔丁抽楔”.從而使學(xué)生拓展了對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的解決思路.

探究（1） （2016年浙江高考文科試題） 已知平面向量a，b，a=1，b=2，a·b=1，若e為平面單位向量，則a·e+b·e的最大值是.

（2） （2016年浙江高考理科試題）已知向量a、ba=1，b=2，若對(duì)任意單位向量e，均有a·e+b·e≤6，則a·b的最大值是.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)上面問(wèn)題的解決不難發(fā)現(xiàn)，許多與數(shù)量積有關(guān)的高考試題，如果合理運(yùn)用向量投影去研究和分析，就極有可能回避較為繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，也即向量投影進(jìn)行適當(dāng)?shù)膱D形表征有助于問(wèn)題的形象直觀思考，也有助于簡(jiǎn)約問(wèn)題解決的思維長(zhǎng)度，從而順利地解決面臨的問(wèn)題.

通過(guò)上面的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)，我們以一句唐伯虎的詩(shī)句來(lái)總結(jié)此微專(zhuān)題，即：一上一上又一上，一上上到高山上；舉頭紅日白云低，四海五湖皆一望.而通過(guò)學(xué)生的交流發(fā)言，可以知道今天所遇到的問(wèn)題的解法往往不止一種，并且我們用向量投影知識(shí)的解法也未必是最簡(jiǎn)單、最適宜的解法，但是這種分析和解決數(shù)量積等相關(guān)問(wèn)題的思路進(jìn)一步豐富了我們的知識(shí)貯備，為這類(lèi)問(wèn)題的解決提供了多種選擇空間.

2.4感知“熱點(diǎn)”，設(shè)置微專(zhuān)題

當(dāng)然，微專(zhuān)題的設(shè)置也應(yīng)盡量關(guān)注近年高考中出現(xiàn)的各種熱點(diǎn)問(wèn)題.例如多元最值問(wèn)題是近年高考考查的熱點(diǎn)之一，多元最值問(wèn)題中以二元問(wèn)題最為常見(jiàn)，也相對(duì)簡(jiǎn)單；對(duì)于超過(guò)二元的問(wèn)題，要善于將其轉(zhuǎn)化成二元問(wèn)題或一元問(wèn)題.筆者參考了有關(guān)資料，設(shè)計(jì)了“多元最值問(wèn)題的研究”微專(zhuān)題的教學(xué)，設(shè)計(jì)如下：

題13（1）若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件x≤1，y≤2，

x+y≥2，求目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的取值范圍.

（2）已知x，y滿足x-4y+3≤0，

3x+5y-25≤0，

x≥1，求z=x2+y2+6x-4y+13的取值范圍.

（3）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，求x3y4的最大值.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)由最基本的線性規(guī)劃問(wèn)題出發(fā)，即在二元線性約束條件下求二元線性目標(biāo)函數(shù)的最值，可以引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固基本的求解方法，即幾何意義轉(zhuǎn)化.然后再加以延伸擴(kuò)展.

題14（1）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，存在兩項(xiàng)am、an，使得aman=4a1，且a7=a6+2a5，求1m+5n的最小值.

（2）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且a+b=2，求a2+2a+b2b+1的最小值.

（3）設(shè)x、y、z為正實(shí)數(shù)，且x-2y+3z=0，求y2xz的最小值.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在新授學(xué)習(xí)或一輪復(fù)習(xí)中，對(duì)于由基本不等式關(guān)系得到的x2+y2、x+y、1x+1y的關(guān)系比較熟悉，能夠直接運(yùn)用其處理一些簡(jiǎn)單的不等式和最值問(wèn)題；但是對(duì)于一些式子結(jié)構(gòu)復(fù)雜尤其是系數(shù)不為1且有分式的問(wèn)題，缺乏處理的技巧，需要分析強(qiáng)化.

題15（1）已知函數(shù)f（x）=lg x，若存在互不相等的實(shí)數(shù)a，b，使f（a）=f（b），求ab的值.

（2）已知函數(shù)f（x）=x-1-1，若關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2、x3、x4，則x1x2x3x4的取值范圍是.

（3）對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b=a2-ab，a≤b，

b2-ab，a>b.設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），

且關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2、x3，則x1x2x3的取值范圍是.

設(shè)計(jì)意圖：與函數(shù)有關(guān)的多元最值問(wèn)題豐富多樣，而“已知函數(shù)在不同的單調(diào)區(qū)間上取相同的函數(shù)值，求相應(yīng)的自變量構(gòu)成的式子的范圍”一類(lèi)問(wèn)題，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)及高考的熱點(diǎn)之一，需要進(jìn)一步例析與類(lèi)化.

綜而言之，如上這樣的微專(zhuān)題具有主干性、系統(tǒng)性和應(yīng)用性，從必修到拓展、從教材到課外，跨章節(jié)、跨模塊對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合，突破了教材的禁錮，也不斷重組著學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)于他們分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的綜合能力的提升大有脾益.

顯然，筆者對(duì)“微專(zhuān)題”復(fù)習(xí)教學(xué)的研究還存在著研究范圍不廣、涉及程度不深等諸多不足，有待于進(jìn)一步的學(xué)習(xí)與研討.

作者簡(jiǎn)介黃加衛(wèi)（1971—），男，浙江省湖州市人，中教高級(jí)，碩士學(xué)位，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué).近年來(lái)在省級(jí)及以上雜志上發(fā)表論文180余篇.endprint