最是清歡在數(shù)學(xué)

【摘要】數(shù)學(xué)之味在嚴謹，在抽象，在運用，更在清歡，其清雅、清淡、恬適、歡愉之味在于，其表面上不可思議，看上去卻奇而不怪；感覺上是歪打正著，想想?yún)s是合情合理；有時覺得美不勝收，原來是其“心”有所歸；有時是“以形助數(shù)”，有時卻又“以數(shù)解形”，數(shù)形結(jié)合之妙，真是“妙”不可言；不得不嘆為觀止，還是“數(shù)”你最好！最后才發(fā)現(xiàn)：一切原來如此——清歡.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；有味；清歡

人生有味是清歡，最是清歡在數(shù)學(xué)，人生之樂，或在仕途，或在財富，或在登山臨水，或在琴棋詩書，因人而異，不一而足，數(shù)學(xué)之味在嚴謹，在抽象，在運用.不知是哪位數(shù)學(xué)家曾說：數(shù)學(xué)好玩.什么是數(shù)學(xué)？借用點的定義（點就是沒有部分的那個東西）數(shù)學(xué)就是最好玩的那個東西.品咂數(shù)學(xué)，有清歡之味.

1清歡在“思”，不可思議.

1777年的一天，著名的數(shù)學(xué)家蒲豐忽發(fā)奇想，把許多賓朋邀請到家中，做了一個叫人感到奇怪的試驗，他把事先畫好一條條等距離的平行線的白紙，鋪在桌面上，又拿出準備好的質(zhì)量均勻而長度為平行線距離一半的小針，請客人把小針一根一根的隨便地仍在紙上，而蒲豐則在一旁專注觀察著記著數(shù)，投完后統(tǒng)一計數(shù)為：共投2212次，其中與任意平行線相交的有704次，蒲豐又做了一個簡單的除法，2212÷704=3142然后宣布：“這就是圓周率的近似值”，所有的賓朋都驚呆了，這簡直是不可思議！這就是著名的蒲豐投針試驗.1901年，意大利人拉查尼投了3408次，得出估計值是31415929，已很接近祖沖之的密率.數(shù)學(xué)中，這樣的例子很多[1].

2清歡在“原”，原來如此.

記得小時候?qū)W數(shù)學(xué)，老師告訴我們，要記住，1是最小的自然數(shù)，到了中學(xué)，老師還說，前n個自然數(shù)的和是n（n+1）2，可是到我教書的時候，卻規(guī)定：0是最小的自然數(shù).到底是怎么回事？難道這是隨便說的嗎？后來讀到史寧中先生的文章，才明白什么回事，現(xiàn)今數(shù)學(xué)界，人們廣泛認可的關(guān)于自然數(shù)的定義，是皮亞諾算數(shù)公理體系，這是一個基于內(nèi)涵的定義，這種定義的出發(fā)點是細化了的“大小”關(guān)系.自然數(shù)是一個一個大起來的.數(shù)學(xué)家在這種關(guān)系中抽象出“后繼”的概念，皮亞諾用“后繼”的概念定義了自然數(shù).比如，先是有1；稱1的后繼為2，2比1大1，表示2=1+1；稱2的后繼為3，3比2大1，表示3=2+1；……通過這樣的后繼關(guān)系，定義了所有的自然數(shù)，同時又定義了加法.皮亞諾最初規(guī)定自然數(shù)是從1開始的，如今，又規(guī)定自然數(shù)從0開始.因為，如果從1開始，算數(shù)公理體系將無法定義出0；如果定義不出0，則無法定義出相反數(shù)，進而無法定義負整數(shù)；如果不定義負整數(shù)，則無法通過加法的逆運算定義出減法.因此，如果沒有0，自然數(shù)集合就不可能在公理化結(jié)構(gòu)下擴張為整數(shù)集合.原來如此[2]！

3清歡在“妙”，“妙”不可言.

歐拉公式更是一個真正的經(jīng)典，這個公式看上去一目了然，但卻深奧得難以置信.它包括五個最重要的數(shù)字常數(shù)——0（加法恒等元）、1（乘法恒等元）e和π（兩個最常見的超越數(shù)）以及i（虛數(shù)單位）.另外公式還包括三個最基本的算術(shù)元算——加法、減法和次方.當(dāng)代世界數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究所的戴維·玻西教授表示：“鑒于e、π與i都非常復(fù)雜且看似極不相關(guān)，他們能通過這個簡潔的公式聯(lián)系起來真的很驚人.一開始你可能沒有意識到他所帶來的影響力，這是一個漸近的影響.或許就像聽一首樂曲那樣，當(dāng)你了解到樂曲的全部潛能后，突然間它變得非常了不起.”他還說，數(shù)學(xué)美是“靈感”的源泉，它讓你有探索未知事物的熱情[3].

4清歡在“奇”，奇而不怪.

設(shè)想用一根僅比赤道周長多出1米的鉛絲圍成一個同心圓，憑直覺，能否迅速地判斷一下：此時我們的拳頭能否從赤道與鉛絲的空隙穿過？

直觀上想，相對于地球赤道而言，增加1米實在微不足道；答案顯然是拳頭不能從赤道與鉛絲的空隙穿過. 相信會有相當(dāng)一部分同學(xué)同意這種看法，但這是錯誤的.如圖，設(shè)圓膨脹前的半徑為R1米，周長為S1米，膨脹后的半徑為R2米，周長為S2=S1+1米，則半徑的伸長為R2-R1=S2-S12π=12π≈016（米）.

這是一個常數(shù)，拳頭完全可以從赤道與鉛絲的空隙穿過.同時也說明，大小不等的兩個圓，周長增加1米，半徑伸長是相同的，直觀情景給了我們一個錯覺，而數(shù)學(xué)的理性思維恢復(fù)了它的原貌.這就是數(shù)學(xué)解題，通過推理、論證得出一個符合事實的結(jié)論.數(shù)學(xué)解題促進了數(shù)學(xué)的理解.

5清歡在“美”，美不勝收.

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，極其豐富的內(nèi)容使數(shù)學(xué)充滿了美，它結(jié)構(gòu)的完整、圖形的對稱、布局的合理、形式的簡潔，無不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中美的因素.著名近代科學(xué)家開普勒說：“數(shù)學(xué)是這個世界之美的原型.”數(shù)學(xué)美不論從內(nèi)容上還是形式上一般可分為：嚴謹美、簡潔美、統(tǒng)一美、對稱美、整齊美、奇異美等.數(shù)學(xué)中的許多定理、公式的論證過程，都呈現(xiàn)出簡潔美；現(xiàn)實生活中許多現(xiàn)象往往就可以歸納為數(shù)學(xué)的一個公式、一個方程或一個函數(shù)關(guān)系式，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美，如正棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積公式可以統(tǒng)一為 S=12（C1+C2）h；實系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x 對稱，等邊三角形、圓、雙曲線等圖形，都給人一種對稱與和諧之美感；在百思不得其解之后，一個巧妙、奇特、新穎的方法躍然而出，內(nèi)心深處由衷產(chǎn)生的喜悅與沖動，刻骨銘心，這就是數(shù)學(xué)美的奇異之美.999999999×9999999991+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=12345678987654321.兩岸青山相對出的對稱美，濃妝淡抹總相宜的和諧美，塞下秋來風(fēng)景異的奇異美，看似尋常最奇崛的簡潔美，一枝紅杏出墻來的數(shù)字美，萬紫千紅總是春的符號美.真是各美其美，美美與共，數(shù)學(xué)美是理性的美，嚴肅的美，冷峻的美，圣潔的美，冰清玉潔的美，與那沉魚落雁、閉月羞花之美有異曲同工之妙美[4].endprint

6清歡在“心”，“心”有所歸.

一個普通的三角形，也許讓人感受不到它的美，但是，研究可以發(fā)現(xiàn)，任意三角形，它的內(nèi)角和都等于180°，真是奇怪！三條中線交于一點，我們叫它為重心，奇怪的是，三條高、三條邊的垂直平分線也交于一點、三個內(nèi)角平分線也交于一點、三個外角平分線也交于一點，這是奇了怪了，我們分別稱之為“垂心”、“外心”、“內(nèi)心”和“旁心”，當(dāng)這個三角形為“正三角形”時，他們的所有“心”都合一，如此奇怪、詭異，只能稱為“完美”了.高中數(shù)學(xué)中這樣的奇異美，是數(shù)不勝數(shù)，認真體會，心曠神怡.

7清歡在“歪”，歪打正著.

數(shù)學(xué)并不一定總是“一本正經(jīng)”，有時也會耍點無賴.2011年7月7日，全世界有很大影響的兩份雜志曾聯(lián)合邀請全世界的數(shù)學(xué)家們評選“近50年的最佳數(shù)學(xué)問題”，其中有一道相當(dāng)簡單的問題：有哪些分數(shù)abbc，不合理地把b約去得到ac，結(jié)果卻是對的？數(shù)學(xué)家們經(jīng)過計算，找到了四個分數(shù)：1664，2665，1995，4998.這個問題涉及到“運算謬誤，結(jié)果正確”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現(xiàn)一種奇異美嗎？

還有一些“歪打正著等式”更是奇葩無比

25×92=2592，

25×2531=252531，

112×913=112913[4].

8清歡在“嘆”，嘆為觀止.

有時候，數(shù)學(xué)是那樣的和諧，和諧到讓你嘆為觀止的程度.在球的體積教學(xué)中，師生可以共同探討球的體積公式的推導(dǎo)過程，教師可以根據(jù)球的對稱性，啟發(fā)學(xué)生先求半球的體積，然后將等底等高的圓柱、圓錐和半球疊加（可以演示三維動畫，也可以在黑板畫圖示意）第一步：先目測體積、猜想估算，很顯然，半球的體積在圓錐和圓柱之間，即在13πR3與πR3之間，因為πR3=33πR3，故半球的體積x3πR3，其中分子x為1到3之間的某一個數(shù)，介于1到3之間的任何一個數(shù)皆有可能，可能是11，可能是15，可能是28……此處可以盡興地讓學(xué)生去猜，肯定有的學(xué)生會猜想是整數(shù)2，此時教師可以及時點撥：“2是1和3之間的唯一整數(shù)，且是1和3的等差中項，因此，如果半球的體積等于23πR3，那真是無比美妙的事情，那么結(jié)果到底是怎樣的呢？”學(xué)生的情緒將會一下子高漲起來，恨不得答案就是23πR3，并且能很快推導(dǎo)而出.然后師生共同努力，進行第二步：細沙實驗，驗證猜想，再通過第三步：用祖暅原理，證明猜想.當(dāng)最后得出V半球=лR3-13πR3=23πR3的時候，學(xué)生歡呼雀躍，充分感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美、和諧美，并嘆為觀止.此時如果教師即情點化并高聲朗誦：“數(shù)學(xué)，具有至高無上的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美沒有繪畫或音樂的哪些華麗的裝飾，但是卻可以純潔到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地！……”如此挖掘，美的情景出現(xiàn)了，詩意數(shù)學(xué)也就產(chǎn)生了[3].

9清歡在“數(shù)”，“數(shù)”你最好.

畢達哥拉斯說過“萬物皆數(shù)”，老子也說：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”.古代哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普羅克拉斯斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美.”著名哲學(xué)家羅素曾說：“數(shù)學(xué)不但擁有真理而且具有至高無上的美.”古希臘的學(xué)者，特別是畢達哥拉斯學(xué)派，他們對于自然數(shù)的研究有著非凡的想象力.比如，如果一個自然數(shù)所含有因數(shù)（本身除外）之和恰好等于這個數(shù)，那么這個數(shù)就是一個完滿數(shù)，第一個完滿數(shù)是6，因為其所含的因數(shù)1，2，3之和恰好是6.為什么人們喜歡“6”這個數(shù)字，六六大順，原來這里面有如此學(xué)問，難怪宗教哲學(xué)家奧古斯丁無限制地發(fā)展了這個想法，在他的著作《天堂》一書中說：“雖然上帝能夠在瞬間創(chuàng)造世界，但為了表現(xiàn)天地萬物的完滿，他還是用了6天.”他們還把大于1的奇數(shù)代表男性，偶數(shù)代表女性，因為5是第一個男性數(shù)與女性數(shù)之和，因此，5象征男女的結(jié)合，難怪有新人結(jié)婚，門對上常有“福來是五”的詞句.世界上最神奇的數(shù)字是：142857.據(jù)說它發(fā)現(xiàn)于埃及金字塔內(nèi)，它是一組神奇數(shù)字：142857×1=142857；142857×2=285714；142857×3=428571；142857×4=571428；142857×5=714285；142857×6=857142.同樣數(shù)字調(diào)換了位置反復(fù)出現(xiàn).那么把它乘與7是多少呢？我們會驚人的發(fā)現(xiàn)是999999 ，真是不可思議[2].

將數(shù)字入詩，數(shù)字入聯(lián)，則別具韻味.“一去二三里，煙村四五家，亭臺六七座，八九十枝花.”這是宋代邵雍描寫旅程景物的詩，共20個字，把10個數(shù)字全用上了.這首詩用數(shù)字反映遠近，村落，亭臺和花，通俗易懂、膾炙人口而妙不可言.“一片兩片三四片，五六七八九十片，千片萬片無數(shù)片，飛入梅花總不見.”鄭板橋的《詠雪》全詩幾乎都是用數(shù)字堆砌起來的，從一至十至千至萬至無數(shù)，卻絲毫沒有累贅之嫌，讀之使人宛如置身于廣袤天地大雪紛飛之中，但見一剪寒梅傲立雪中，斗寒吐妍，雪花融入了梅花，人融入其中也樂在其中.杜甫的“兩個黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天.窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬里船”，同樣膾炙人口，數(shù)字深化了時空意境.他還有“霜皮溜雨四十圍，黛色參天二千尺”，“青松恨不高千尺，惡竹應(yīng)須斬萬竿”等，表現(xiàn)出強烈的夸張和愛憎.柳宗元的“千山鳥飛絕，萬徑人蹤滅.孤舟蓑笠翁，獨釣寒江雪”，數(shù)字具有尖銳的對比和襯托作用.岳飛的“三十功名塵與土，八千里路云和月”，陸游的“三萬里河?xùn)|入海，五千仞岳上摩天”，同樣是壯懷激烈的[3].

10清歡在“形”，“形”上而學(xué).

圓桂和其內(nèi)切球是一個幾何體，本沒有什么了不起，可是有一個數(shù)學(xué)家卻非?！翱粗亍彼?，并且把它刻在他的墓碑上，人們探訪他，就是按照這個幾何圖形，因為他的墓碑上沒有任何文字，在教學(xué)“圓柱的體積”這課時，我講到了這個故事，許多同學(xué)興趣盎然，我告訴學(xué)生，這個人是一個大數(shù)學(xué)家，他的名字叫阿基米德，就是發(fā)現(xiàn)浮力定理的那個人，我們應(yīng)當(dāng)在“形”上而學(xué).怎么學(xué)，大家可以計算一下圓柱和它的內(nèi)切球的表面積和體積，再計算一下它們的比值，真是因為比值都是3∶2，所以，才有那先前的故事.從形上而學(xué)，不失為一種學(xué)習(xí)方法.初中都學(xué)過三角形的內(nèi)角和等于180°，四邊形的內(nèi)角和是360°，五邊形的內(nèi)角和是540°，n邊形的內(nèi)角和是（n-2）180°，許多人包括數(shù)學(xué)家們，證明了三角形的內(nèi)角和是180°是那么的得意，并且許多“數(shù)學(xué)人”樂此不疲，好像還神神秘秘.如果單從結(jié)果而論，真的沒有必要.其實，所有多邊形的外角和都是360°，因為就是旋轉(zhuǎn)了一周，一個外角和一個內(nèi)角之和是180°，所以，n邊形的內(nèi)角和就是n×180°-360°=（n-2）×180°，n=3，那么三角形內(nèi)角之和不就是180°嗎？如此而已.不從過程來論，換一個角度，從圖形入手，從外圍入手，就是轉(zhuǎn)一圈而已，那些“數(shù)學(xué)人”的孜孜追求真是“形而上學(xué)”.數(shù)學(xué)包含數(shù)和形，難怪笛卡爾將代數(shù)與幾何相結(jié)合創(chuàng)造了解析幾何，黎曼將微分與幾何相結(jié)合，創(chuàng)造了微分幾何，兩者兼容并包.

真是“清歡數(shù)學(xué)味：思原奇妙美，心歪嘆數(shù)形，品咂卻能醉”.

參考文獻

[1]劉權(quán)華.數(shù)學(xué)故事數(shù)學(xué)教學(xué)的有效資源[J].江蘇教育與研究，2015（7A/8A）： 102-106.

[2]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版集團，17-45.

[3]劉權(quán)華.最是那“冰清玉潔”數(shù)學(xué)美[J].教育研究與評論，2014（6）：60-63.

[4]肖林元，劉權(quán)華等.如何高效學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：機械工業(yè)出版社，18-31.

作者簡介劉權(quán)華（1967—），男，籍貫江蘇盱眙，南京市教育科學(xué)研究所，科研員，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，教育碩士，南京市高中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，江蘇省“333”高層次人才工程中青年科學(xué)技術(shù)帶頭人，發(fā)表教育教學(xué)論文50余篇.主要研究方向：高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)，教師發(fā)展研究.endprint