數(shù)學問題2313號引致的一條不等式鏈

何 燈

(福建省福清第三中學 350315)

設△ABC的3條邊長為a,b,c，其內(nèi)切圓半徑、半周長、面積分別為r、s、S.對應邊上的旁切圓半徑、高線、角平分線、中線長分別為ra、rb、rc；ha、hb、hc；wa、wb、wc；ma、mb、mc.

2016年第7期《數(shù)學通報》中的2313號問題：

(1)

文[1]中得到和式(1)類似的如下三個不等式.

更一般地，文[1]中建立了定理1的指數(shù)推廣形式.

定理2對于n∈N+且n≥2，有

評注1根據(jù)文[1]中定理2的證明過程，條件n∈N+可略去，即定理2對不小于2的實數(shù)n均成立.

讀罷文[1]，筆者感觸頗深，不禁聯(lián)想到與之相關的幾篇文章.

(2)

受定理2、3的啟發(fā)，筆者思考能否將兩個定理中的不等式進行串聯(lián)，以進一步揭示它們之間的聯(lián)系.經(jīng)探究，得到如下結(jié)論：

定理4設p≥2，則

證明據(jù)定理2、3，只需證明

同理可得

由熟知的不等式∑x2≥∑xy(x,y,z>0)，

綜上，定理4成立.