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    第二十二屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽初賽試題及參考解答

    2019-03-08 06:54:14
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年1期
    關(guān)鍵詞:山毛櫸速算臭氧濃度

    一、(滿分20分)從2018年10月1號(hào)我國開始執(zhí)行的新的個(gè)人所得稅法,使個(gè)人所得稅稅負(fù)水平更趨合理.

    (1)小王在北京某高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工作,稅前收入每月15000元.執(zhí)行新稅法之后,小王比原來每月少交多少個(gè)人所得稅?

    (2)有一種速算個(gè)稅的辦法:應(yīng)稅所得額×對(duì)應(yīng)檔的稅率-對(duì)應(yīng)檔的“速算扣除數(shù)”.如應(yīng)稅所得額是10000元,它對(duì)應(yīng)的所得稅在舊個(gè)稅方案下是:10000×25%- 1005=1495(元).

    請(qǐng)按照這一算法,算出應(yīng)稅所得額是10000元時(shí),在新個(gè)人所得稅法下對(duì)應(yīng)的所得稅是多少?

    (3)請(qǐng)計(jì)算出表2內(nèi)的數(shù)X,并給出各級(jí)“速算扣除數(shù)”的遞推算法的一般表達(dá)式.

    表1 個(gè)人所得稅稅率表(執(zhí)行至2018年9月30日)

    表2 個(gè)人所得稅稅率表(2018年10月1日起試行)

    續(xù)表

    解(1)查閱稅法,“五險(xiǎn)一金”為不計(jì)稅所得,假設(shè)小王的“五險(xiǎn)一金”是3000元.

    按舊稅法,應(yīng)稅所得額

    D舊=15000-3000-3500=8500(元),

    將D舊按舊稅率表分段,即

    8500=1500+3000+4000,

    個(gè)稅上交額

    M舊=1500×3%+3000×10%+4000×20%=1145(元);

    按新稅法,應(yīng)稅所得額

    D新=15000-3000-5000=7000(元),

    將D新按新稅率表分段,即

    7000=3000+4000,

    個(gè)稅上交額

    M新=3000×3%+4000×10%=490(元),

    則有

    M新-M舊=490-1145=-655,

    即執(zhí)行新稅法之后,小王比原來每月少交個(gè)人所得稅655元.

    (注:若不考慮“五險(xiǎn)一金”,所得結(jié)論為M新-M舊=790-1870=-1080(元),即執(zhí)行新稅法之后,小王比原來每月少交個(gè)人所得稅1080元.也算對(duì).)

    (2)應(yīng)稅所得額是10000元時(shí),在新個(gè)人所得稅法下對(duì)應(yīng)的所得稅是10000×10%-210=790(元).

    (3)由上面的案例可以發(fā)現(xiàn):

    本級(jí)的“速算扣除數(shù)”=上一級(jí)最高應(yīng)納稅所得額×(本級(jí)稅率-上一級(jí)稅率)+上一級(jí)的“速算扣除數(shù)”.

    由此可以得到

    X= 25000(25% -20%)+1410 =1250+1410=2660(元).

    一般推導(dǎo)如下:設(shè)an表示應(yīng)稅額依次分段的端點(diǎn),rn表示應(yīng)稅額區(qū)間(an,an+1)對(duì)應(yīng)的所得稅率,bn表示應(yīng)稅額區(qū)間(an,an+1)對(duì)應(yīng)的“速算扣除數(shù)”,其中n∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

    由表2得到:

    n0123456an030001200025000350005500080000rn3%10%20%25%30%35%45%

    設(shè)T表示應(yīng)稅額,T∈(an,an+1),Q表示對(duì)應(yīng)應(yīng)交的個(gè)人所得稅額,于是

    Q=(T-an)rn+[(an-an-1)rn-1+(an-1-an-2)·rn-2+…+(a1-a0)r0]

    =T·rn-[(rn-rn-1)an+(rn-1-rn-2)an-1+…+(r1-r0)a1].

    定義“速算扣除數(shù)”bn=[(rn-rn-1)an+(rn-1-rn-2)an-1+…+(r1-r0)a1],于是得到Q=T·rn-bn,bn=(rn-rn-1)an+bn-1.

    由此算出:

    b1=(r1-r0)a1=7%×3000=210(元),

    b2=(r2-r1)a2=10%×12000+210=1410(元),

    b3=(r3-r2)a3=5%×25000+1410=2660(元),

    b4=(r4-r3)a4=5%×35000+2660=4410(元),

    b5=(r5-r4)a5=5%×55000+4410=7160(元),

    b6=(r6-r5)a6=10%×80000+7160=15160(元).

    二、(滿分20分)在晴空萬里,藍(lán)天白云的天氣下,也許你看到的是“假藍(lán)天”,原因是臭氧(O3)污染.城市近地層臭氧是典型的二次污染物,主要是由人類活動(dòng)排放的揮發(fā)性有機(jī)物、氮氧化物和一氧化碳在太陽光的作用下經(jīng)過一系列復(fù)雜的光化學(xué)反應(yīng)生成的,其帶來的溫室效應(yīng)影響著全球的臭氧濃度變化.空氣中少量的臭氧使人有一種“新鮮”的感覺,因?yàn)槌粞跤袣⑺滥承┘?xì)菌和微生物的能力,但是過量的臭氧對(duì)人體和生物都是有害的.

    王同學(xué)在網(wǎng)站上瀏覽北京綜合檢測(cè)值變化時(shí),感覺到臭氧的濃度變化似乎與溫度和濕度變化有關(guān).為了研究在不同季節(jié),溫度和濕度對(duì)臭氧濃度的影響,王同學(xué)記下了2018年7月2日(代表盛夏)和2018年11月2日(代表深秋)的數(shù)據(jù),見表1和表2.請(qǐng)依此回答下面的問題:

    表2 2018年11月2日北京市臭氧濃度變化與溫度和濕度變化

    (1)分別畫出每一天臭氧濃度關(guān)于溫度變化的散點(diǎn)圖和臭氧濃度關(guān)于濕度變化的散點(diǎn)圖,并分別建立回歸方程;

    (2)在盛夏和深秋,哪個(gè)季節(jié)溫度變化對(duì)臭氧濃度變化的影響大一些? 哪個(gè)季節(jié)濕度變化對(duì)臭氧濃度變化的影響大一些?

    解(1)臭氧濃度關(guān)于溫度、濕度變化的散點(diǎn)圖如下:

    從圖中可以看出,四個(gè)圖的樣本點(diǎn)均呈條狀分布,臭氧濃度與溫度、濕度都有比較好的線性相關(guān)關(guān)系,因此可以用回歸直線y=ax+b來近似刻畫它們的關(guān)系.計(jì)算回歸方程的斜率與截距的公式為:

    設(shè)x1為7月2日北京市的溫度,x2為7月2日北京的濕度,x3為11月2日北京市的溫度,x4為11月2日北京市的濕度;y1為7月2日北京市的臭氧濃度,y2為11月2日北京市的臭氧濃度.

    經(jīng)計(jì)算,

    y1= 19.42x1-425.34

    (Ⅰ)

    y1= -4.72x2+408.34

    (Ⅱ)

    y2= 2.91x3-11.52

    (Ⅲ)

    y2= -0.80x4+70.40

    (Ⅳ)

    (2)2018年7月2日平均臭氧濃度為105.48μg/m3,2018年11月2日平均臭氧濃度為16.48μg/m3.

    1° 根據(jù)回歸方程(Ⅰ)和(Ⅲ),溫度每變動(dòng)1℃,

    7月2日的臭氧濃度變化:19.42/105.48×100%=18.41%;

    11月2日的臭氧濃度變化:2.91/16.48×100%=17.65%.

    2° 根據(jù)回歸方程(Ⅱ)和(Ⅳ),濕度每變動(dòng)1%,

    7月2日的臭氧濃度變化:4.72/105.48×100%=4.47%;

    11月2日的臭氧濃度變化:0.80/16.48×100%=4.85%.

    因此,就溫度而言,盛夏的溫度對(duì)臭氧濃度變化影響大一些;就濕度而言,深秋的濕度對(duì)臭氧濃度變化影響大一些.

    三、(滿分20分)將一個(gè)8×8的棋盤分割成四個(gè)部分,其中兩個(gè)是梯形,另外兩個(gè)是三角形,如圖1所示.將這四個(gè)部分重新拼接,可以得到一個(gè)5×13的長(zhǎng)方形,多出了一個(gè)小正方形,如圖2所示.

    圖1

    圖2

    (1)對(duì)這種現(xiàn)象你如何解釋? 給出解釋的數(shù)學(xué)證明.

    (2)對(duì)于n×n的正方形棋盤,n取什么正整數(shù)時(shí),可以用這種切割重拼的方式得到一個(gè)k×m的長(zhǎng)方形,使得k×m=n×n+1?舉出一個(gè)例子.

    (3)對(duì)于n×n的正方形棋盤,做類似的切割和拼接, 會(huì)不會(huì)出現(xiàn)k×m的長(zhǎng)方形, 使得k×m=n×n-1?如果存在,試給出一般的規(guī)律.

    解(1)猜測(cè):拼接有縫隙.為了觀看清楚,將縫隙夸張地用圖4所示,首先證明∠ENG<180°.

    圖3

    圖4

    所以∠2+∠4=∠2+180°-∠3=180°+(∠2-∠3)>180°.即∠ENG<180°.易證∠ENG=∠EMG,即四邊形EMGN是平行四邊形.

    SEMGN=|EN|·|NG|·sin∠ENG

    =|EN|·|NG|·(-sin(∠2+∠4))

    =|EN|·|NG|·(-sin∠2·cos∠4-

    cos∠2·sin∠4)

    =1.

    (2)設(shè)分割方式同上,如圖5所示,AD邊上分割點(diǎn)為P,AP:PD=a:b,則a+b=n.

    同(1)的過程,得平行四邊形EMGN,令SEMGN=1,即

    圖5

    即n(b-a)-ba=1,

    即(b+a)(b-a)-ba=1,

    即b2-ab -a2-1=0,

    顯然a≠b, 且 b>a.

    枚舉得:

    a1382155144b25133489233n382155144377

    當(dāng)n取3, 8, 21, 55, 144, 377, … 時(shí),即n取斐波那契數(shù)列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 從第四項(xiàng)起的偶數(shù)項(xiàng)時(shí),邊長(zhǎng)為n的正方形經(jīng)過切割,可以再拼接成一個(gè)k×m的長(zhǎng)方形,使得k×m=n×n +1.

    例如55×55的正方形,將55分成21+34,拼成長(zhǎng)方形,則正方形的面積為55×55=3025,長(zhǎng)方形的面積為(55+34)×34=3026.

    事實(shí)上,a,b取值依順序構(gòu)成從第二項(xiàng)起的斐波那契數(shù)列:1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ….

    (3)如果n×n的正方形經(jīng)分割再拼接成k×m的長(zhǎng)方形,使得k×m=n×n-1,應(yīng)該滿足以下關(guān)系:∠2+∠4<180°,即拼接時(shí)會(huì)形成重合,重合部分是一個(gè)平行四邊形ENGM,如圖6.令SENGM=1,即

    圖6

    SEMGN=|EN|·|NG|·sin∠ENG

    =|EN|·|NG|·sin(∠2+∠4) =1,

    即-(b+a)(b-a)+ba=1,

    即b2-ab -a2+1=0,

    解關(guān)于b的一元二次方程得

    枚舉得:

    a125133489b1382155144n25133489233

    當(dāng)n取2, 5, 13, 34, 89, 233, … 時(shí),即n取斐波那契數(shù)列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 從第三項(xiàng)起的奇數(shù)項(xiàng)時(shí),邊長(zhǎng)為n的正方形經(jīng)過切割,可以再拼接成一個(gè)k×m的長(zhǎng)方形,使得k×m=n×n -1.

    四、(滿分20分)第19屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽初賽的第五題是關(guān)于植物群落更替的生態(tài)學(xué)問題,情境如下:

    云杉芽蟲(Choristoneurafumiferana)是云杉林中以云杉樹為目標(biāo)的害蟲,它們蠶食樹木的新芽、樹針和頂芽,嚴(yán)重者能使樹干腐爛.蟲災(zāi)暴發(fā)時(shí),害蟲會(huì)耗盡所有可食的樹葉致云杉屬的樹木落葉致死.云杉樹死后代之以山毛櫸樹(sylvaticaLinnaeus),由于云杉芽蟲只食云杉,隨著云杉樹漸漸死去,大片的山毛櫸樹成長(zhǎng)起來,芽蟲也漸漸消失了.沒有了天敵,云杉種子得以發(fā)芽、成長(zhǎng),憑借在營養(yǎng)與日光上的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì),云杉又漸漸取代了山毛櫸.就這樣,不同的生物種群世代更替的過程循環(huán)不已.

    可以用下面的模型來描述這個(gè)種群更替的情況.

    假設(shè)有一個(gè)云杉樹林,它被劃分為許多方格.每個(gè)格代表有若干樹木生長(zhǎng)的空間.指定用“△”表示該空間的云杉樹正在被蟲害侵害,用“▲”表示該空間云杉樹已死并被山毛櫸樹更替,沒有標(biāo)志表示這里又新長(zhǎng)出了綠葉云杉.

    假設(shè)以“年”為單位描述群落的更替狀況.蟲害的擴(kuò)散依下述規(guī)則蔓延:

    1.被芽蟲危害的云杉林地,下一年被山毛櫸替代;

    2.害云杉的芽蟲,下一年轉(zhuǎn)移到四鄰(共邊的方形)的綠葉云杉林地繼續(xù)為害;

    3.山毛櫸林地,下一年被綠葉云杉取代.

    初始的狀態(tài)為右圖,提出的問題(1)是:模擬這個(gè)狀態(tài)經(jīng)過六年的更替,林地的的格局是什么樣?

    現(xiàn)在,我們繼續(xù)考慮這個(gè)問題.由于問題只牽涉到云杉,山毛櫸和被害蟲侵害的云杉這三種群落狀態(tài),這個(gè)林地被劃分為成行成列的狀態(tài),我們可以用Zk(i,j)表示在第k年時(shí)林地中第i行、第j列的方塊地區(qū)的群落狀態(tài).令Zk(i,j)=0表示第k年時(shí)該地塊為綠葉云杉林地,Zk(i,j)=1表示第k年時(shí)該地塊為山毛櫸林地,Zk(i,j)=2表示第k年時(shí)該地塊為被云山蚜蟲危害的云杉林地.請(qǐng)回答下列問題:

    (1)依據(jù)題目給出的相互更替規(guī)則,使用Zk(i,j)表示法給出從第k年到第k+1年各方塊林地植物群落更替的表達(dá)式,即群落更替模型;

    (2)根據(jù)上述模型,選擇一種算法語言,寫一個(gè)小程序,通過計(jì)算機(jī)計(jì)算初始狀態(tài)為右圖,經(jīng)過一年、兩年、三年更替后這個(gè)林區(qū)的群落格局.

    解(1)群落更替的模型:

    如果Zk(i,j)>0,則Zk+1(i,j)=Zk(i,j)-1;

    如果Zk(i,j)=0,則

    當(dāng)max{Zk(i-1,j), Zk(i+1,j), Zk(i,j-1), Zk(i,j+1)}=2時(shí),Zk+1(i,j)=2;

    當(dāng)max{Zk(i-1,j), Zk(i+1,j), Zk(i,j-1), Zk(i,j+1)}=0或1時(shí),Zk+1(i,j)=0.

    (2)使用上述模型編制的MATLAB計(jì)算程序是

    >> A0=[zeros(20,20)], A1=A0,

    A0(10:11,9:12)=[2,1,2,1;1,2,1,2]

    >> For i=2:19

    >> For j=2:19

    >> B2=[A0(i-1,j), A0(i+1,j),

    A0(i,j-1), A0(i,j+1)]

    >> if A0(i,j)>0,A1(i,j)=A0(i,j)-1

    >> elseif max[B2]=2,

    A1(i,j)=A0(i,j)+2

    >> elseif max[B2]=0,

    A1(i,j)=A0(i,j), end

    >> end

    >> end

    根據(jù)此程序的計(jì)算,經(jīng)過一年、兩年、三年更替后這個(gè)林區(qū)的群落格局如下圖所示:

    五、(滿分20分)中國高鐵發(fā)展迅速,使有些原本乘飛機(jī)到某地出行的旅客改乘高鐵了.現(xiàn)在要模擬一次寒假與父母或親友外出旅行,先選定一個(gè)時(shí)間,并設(shè)定一個(gè)既可以乘飛機(jī)(經(jīng)濟(jì)艙)到達(dá),也可以乘高鐵(二等座)到達(dá)的目的地.

    (1)列出影響選擇交通工具的各種因素;

    (2)為這次模擬出行選定乘坐交通工具的方案,并說明選擇的理由.

    解答題要點(diǎn)

    (1)影響因素主要有兩大方面,一方面是由交通工具產(chǎn)生的,包括乘坐交通工具的時(shí)間成本,交通工具的舒適性,安全性,正點(diǎn)率,價(jià)格;另一方面是由旅行者產(chǎn)生的,對(duì)于不同的旅行者,其價(jià)值取向不同,個(gè)人感受不同,還有個(gè)性化的需求.

    (2)要先調(diào)查上述影響因素在這次出行中的具體情況,將各種影響因素的情況進(jìn)行主次排序,或進(jìn)行量化,在多因素分析中,作出相對(duì)優(yōu)化的選擇,形成出行方案.

    (注:這個(gè)題的解答是很開放的,只要有來自實(shí)際的調(diào)查分析,邏輯清楚,比較完整,自圓其說,即看作正確.酌情給分,宜粗不宜細(xì).)

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