一個不等式的推廣

張樂千

(北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué) 100032)

1 引言

《數(shù)學(xué)通報》 2018年5問題 24211如下：

作者在《數(shù)學(xué)通報》2018年第57卷第6期[2]中給出了解答.

該不等式可從如下幾方面做推廣.

從項數(shù)推廣，但各項之和仍為3，則有如下定理.

若項數(shù)之和改為n,則有如下結(jié)論.

上面兩個結(jié)論是從項數(shù)入手做的推廣. 若是指數(shù)也做推廣，會有怎樣的結(jié)論？我們用參數(shù)法經(jīng)過推理嘗試，(過程有些繁瑣，在此推測過程省略).得到如下兩個猜想.

從項數(shù)推廣，但各項之和仍為3，指數(shù)也做推廣，有定理3.

項數(shù)、指數(shù)、項數(shù)之和也做推廣，有如下結(jié)論.

2 主要定理的證明

定理1的證明類似[2]的證明，用均值不等式[3], 得到

求和，得

進(jìn)一步變形，有

(1)

定理2的證明類似定理1的證明，用均值不等式，得到(1)式.

定理3的證明由均值不等式得

=(4k+3)aj, 1≤j≤n.求和得

變形，得

(2)

定理4的證明

注在本定理中，令n=3,k=1,則得到[1] 中的定理.