基于貝葉斯預測更新的報童模型

陳志剛，賈濤，陶厚永

0 引言

需求和供給的匹配是供應鏈管理中核心問題之一[1]。企業(yè)在當前時刻訂貨，然而在未來時刻才能收到貨物，因此企業(yè)必須對未來的市場需求做出預測。企業(yè)可以使用大量數(shù)據(jù)預測未來的市場需求，如可以觀察相同及類似功能產(chǎn)品的需求、相同特性產(chǎn)品（如大屏幕手機）銷售情況，市場經(jīng)濟狀況走勢（人們的消費會增加還是減少）等。隨著互聯(lián)網(wǎng)技術持續(xù)迅速地發(fā)展和大數(shù)據(jù)時代的到來，對于數(shù)據(jù)的挖掘和運用已成為影響企業(yè)生產(chǎn)力的重要因素。企業(yè)信息化建設水平不斷提高，對市場需求的預測也更加精確，使供應鏈需求和供給更加匹配，并顯著提高了供應鏈運作效率[2]，因此在供應鏈管理中市場需求預測正發(fā)揮越來越大的作用。然而預測始終是不準確的，從獲取信息的角度看，企業(yè)希望訂貨時間離銷售開始時刻越近越好[3]。企業(yè)可以通過向附近的供應商訂貨、工人加班和采用更快速的運送工具等來縮短提前期。通常這些手段都需要付出額外的成本，因此在每一時刻企業(yè)都需要權衡，究竟是等待在未來獲得更多的市場需求信息，還是以較低的采購成本在當前時刻訂貨。

許多學者研究了預測更新問題。Fisher和Raman[4]首先分析兩周期預測更新庫存系統(tǒng)，企業(yè)在第一個周期開始時以較低的價格向普通供應商訂貨，接著持續(xù)搜集市場需求信息，在第一個周期末更新市場需求預測結果。在第二個周期開始時企業(yè)還有一次補貨機會，允許以較高的價格向緊急供應商訂貨。企業(yè)需要決策兩個周期的訂貨策略。Iyer和Bergen[5]進一步考慮在第一個周期末采用貝葉斯方法進行預測更新，分析了快速響應環(huán)境下供應商和零售商之間何時帕累托最優(yōu)，并設計了相應的協(xié)調(diào)機制。此后有大量的基于兩周期模型擴展研究，如考慮不同庫存系統(tǒng)中顧客策略行為、采購成本隨機波動和零售商之間相互競爭等[6-8]。在多周期條件下，Allen和Esopo[9]考慮了企業(yè)存在正常和緊急兩種不同訂貨途徑，采取周期盤點方式的庫存模型。Moinzadeh和Nahmias[10]考慮了同樣條件下采用連續(xù)盤點方式的庫存問題。多周期條件下，存在兩種不同提前期長度的庫存模型非常復雜，大多采用數(shù)值計算方法，沒有精確求解算法。Veeraraghavan和Scheller-Wolf[11]首次將模型轉(zhuǎn)換為單變量的仿真問題，能夠在數(shù)秒之內(nèi)求得近似解。Hua、Yu和Zhang[12]探討了這類模型解的結構性質(zhì)。很少文獻研究模型中存在三種不同提前期長度，Sethi等[13]研究了系統(tǒng)中存在快速、中等和正常三種提前期長度時最優(yōu)庫存策略。上述文獻中盡管模型中存在兩種或三種提前期長度，但提前期都為預先給定的常數(shù)或隨機變量，只是在有限時間點的市場需求預測更新。

實際中企業(yè)可以自由選擇合適的提前期長度。Ouyang等[14]研究了可控提前期庫存模型，模型中不考慮預測過程，企業(yè)同時決策最優(yōu)訂貨量和提前期長度使總成本最小。宋華明和馬士華[15]研究了基于可控提前期的協(xié)調(diào)問題，Yi和Sarker[16]研究了存在貨架空間約束問題。在可控提前期模型中盡管企業(yè)可以預先決策最優(yōu)提前期長度，但沒有考慮預測過程，提前期長度不能隨著預測過程動態(tài)變化。Wang等[17]首先考慮了基于市場需求預測過程的庫存模型。企業(yè)僅有一次訂貨機會，它持續(xù)不斷地預測市場需求并選擇合適的時間點訂貨。假定市場需求預測過程服從幾何布朗運動，不考慮訂貨成本，Wang等證明最優(yōu)訂貨時間為某一固定時點與預測過程無關。Tong等[18]進一步考慮企業(yè)不存在訂貨次數(shù)約束和市場需求預測過程為布朗或幾何布朗運動，證明企業(yè)的最優(yōu)庫存策略為Basestock策略。

文獻[17]和文獻[18]均假定在每一時點預測值調(diào)整量分布的參數(shù)已知。但實際中分布的精確參數(shù)值是未知的，得到的是根據(jù)市場需求信息數(shù)據(jù)估計的參數(shù)（如均值和標準差等）。本文假定預測過程為布朗運動，企業(yè)可以根據(jù)收集的數(shù)據(jù)獲得市場需求的預測值及隨時間變化時預測值調(diào)整量的方差，運用貝葉斯方法預測市場需求。建立了基于貝葉斯預測更新的報童模型，分析數(shù)據(jù)對預測市場需求的影響，并給出了企業(yè)最優(yōu)庫存策略。通過敏感性分析說明采購成本和市場需求信息對庫存策略的影響。

1 問題描述、符號說明及假設

企業(yè)計劃在未來某個時刻銷售某種商品。通過選擇不同供應商或運作流程企業(yè)可以在整個計劃時期內(nèi)不同時間點訂貨。由于不同供應商產(chǎn)品之間有差異，生產(chǎn)工藝流程不相同和存在訂貨成本等原因，假定企業(yè)僅有一次訂貨機會，訂貨量Q＞0。整個計劃時期由N+1個時點組成，企業(yè)所有能夠訂貨的時間點對應時點1到時點N，在時點T=N+1時，銷售季節(jié)開始，銷售開始并迅速完成。產(chǎn)品銷售價格給定為r。在時點i訂貨時，訂貨成本為Ai≥0，單位采購成本為ci且采購成本隨著提前期的縮短而增大，即0＜c1＜c2＜...＜cN＜r。為了簡化模型假定銷售季節(jié)結束后剩余產(chǎn)品價值為零，不考慮折現(xiàn)影響（這些情形簡單且不影響問題性質(zhì)和結論）。

企業(yè)連續(xù)不斷的收集市場需求信息。N+1個時點將計劃時期分為N個時段。在各時點市場需求均值為θi。在各時段上根據(jù)收集的市場需求信息得到相鄰時點間市場需求的調(diào)整量為 εi，遞推關系滿足 θt+1=θt+εt。 εt為正態(tài)分布，均值為零，標準差為σt，相互獨立且與預測值和決策過程無關。若當前時點為i，在未來當t≥i時，εt為隨機變量，在過去當t＜i時，εt為隨機變量的實現(xiàn)值，是一個確定值。當前時點為t時，市場需求均值為θt=θ1+ε1+ε2+...+εt-1。而在時點 t=T 時，θT即為真實的市場需求，下文中記真實的市場需求θT為符號D。企業(yè)根據(jù)以往的歷史數(shù)據(jù)，可以估計出所有 σi，i=1，2，...，N的大小。在當前時點t，根據(jù)已知的市場需求信息數(shù)據(jù)可以得到市場需求預測值dt。企業(yè)不知道參數(shù)θt的具體值，但可以根據(jù)σt和dt值利用貝葉斯方法估計參數(shù)θt。在前一時點t-1，根據(jù)已有數(shù)據(jù)獲得了-θt-1的后驗分布（-代表后驗分布），結合已知調(diào)整量εt-1的分布，可以得到-

θt的先驗分布（用-代表先驗分布）。先驗分布沒有包含時點t-1至時點t間收集的市場需求信息。企業(yè)根據(jù)收集的市場需求信息在時點t重新對市場需求做出預測得到dt。根據(jù)新的預測值dt采用貝葉斯方法可以得到更精確

2 模型構建和求解

2.1 市場需求D和θt的分布

在開始時點1，由于時點1以前沒有市場需求預測值，因此 θ1=d1，θ1可視為方差為0的正態(tài)分布 N(d1，0)（其中N代表正態(tài)分布）。假設當前時點為t(t＞1)。在當前時，參數(shù)θt未知。企業(yè)獲得的信息預測市場需求值為dt。根據(jù)貝葉斯理論，可得更精確的θt分布（后驗分布），其均值和標準差為[5]：有：（1）在前一個時點t-1獲得-θt-1的后驗分布為正態(tài)分

在當前時點 t，預測值 di，i=1，2，...，t已知，所有σi，i=1，2，...，N 也已知。根據(jù)遞推關系可以求得 θt的后驗分布 N(-μt，-σt2)。因此在時點t預測市場需求D為正態(tài)。如果企業(yè)不在當前時點訂貨，則需要在時點t預測未來時點θt+1的后驗分布，根據(jù)遞推關系式，-μt+1=ρt+1dt+1+(1-ρt+1)-μt。但其中未來dt+1為隨機變量。在時點t預測市場需求可以有兩種方法，一種如前述直接預測時點T的市場需求。另一種將預測過程視為兩部分之和，從時點t至未來時點t+1和從未來時點t+1至時點T。第一部分為調(diào)整量εt服從正態(tài)分布N(0，εt)，第二部分為在時點t+1預測市場需求dt+1。兩種方法實質(zhì)一樣，因此兩部，遞推關系

從上述預測過程可以看到：（1）在每一時點預測更新后，預測精度提高。獲得市場預測數(shù)據(jù)dt后，θt后驗分布的標準差為先驗分布的 ρt倍，且 ρt＜1；（2）當預測獻比重1-ρt增大。說明當前時點t離銷售季節(jié)開始時越近，預測的精度就會越高，且當前時點的預測值對預測的結果影響更大。（3）由遞推關系（1）可知，對 θt預測時，每一個時點i（i＜t），預測值di都對均值 μt有貢獻，權重大由于 ρj均為0至1之間，因此過去時點i離當前時點t越遠（i值越小），數(shù)據(jù)di占 μt的權重就越小，對預測的貢獻較小。

2.2 模型的求解

（1）時點 N

在時點N最優(yōu)庫存策略為basestock策略，當-μt＞SN

（2）任意時點t

在未來市場需求預測值為隨機變量，因此企業(yè)可能在當前或未來任意時點訂貨并停止決策。模型為較復雜最優(yōu)停止問題[19]，沒有通用的遞推計算方法。將采用數(shù)學歸納法證明對于所有的時點i均存在唯一的Si滿足Ri(Si)=FRi(Si)，且Θ(-μi)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)。當i=N時，根據(jù)上文假設成立。假設i≥t+1時假設均成立，若當前時點為t時企業(yè)不訂貨，則有：

定理1：企業(yè)最優(yōu)庫存策略為basestock策略，在當前時點t存在且唯一的Sdt，其值與當前或未來的市場需求預測值di，i=t，t+1，...，N無關。若當前市場需求預測值dt＞Sdt時，最優(yōu)庫存策略為訂貨，訂貨量為 -μt+zt

由式（5）和式（2），Θ(-μt)為單調(diào)遞增函數(shù)且導數(shù)大于正常數(shù)ct+1-ct。Θ(-μt)=0必定存在唯一解St，證畢。根據(jù)遞推式（1），可以得到對應預測值dt的訂貨點為：若當前市場需求預測值dt≤Sdt時，企業(yè)繼續(xù)等待，直到下一時點進行新的決策。

2.3 采購成本和市場需求信息

這里分析采購成本和市場需求信息對企業(yè)決策的影響。探討當前時點為t時，參數(shù)ci（采購成本）和σi（市場需求信息）變化時對企業(yè)決策的影響。參數(shù)ci增大時，若i＞t時，Rt(-μt)值不變，F(xiàn)Rt(-μt)減小，Θ(-μt)值增大；若i=t時，類似可得 Θ(-μt)值會減?。蝗鬷＜t時，過去的ci對 Θ(-μt)值無影響。由Θ(-μt)為單調(diào)遞增函數(shù)且Θ(St)=0，可得相應的St和Sdt變化趨勢。參數(shù)σi增大時，若i≥t時，未來時點i+1的變化可理解為，時點i+1向前移動（遠離銷售季節(jié)開始時間T），而保持其余時點不動。此時Rt(-μt)值不變，F(xiàn)Rt(-μt)減小，Θ(-μt)值增大；當i＜t時，由遞推式（1）知Rt(-μt)和FRt(-μt)同時減小，Θ(-μt)變化不能確定。匯總結果見表1。

表1 敏感性分析

表1體現(xiàn)了采購成本和市場需求信息對企業(yè)決策的影響。當參數(shù)ci增加時，若當前時點為t＜i，則未來期望利潤減小，企業(yè)更愿意在當前時點訂貨，St和Sdt減小。若當前時點為t=i，則當前期望利潤減小，企業(yè)更愿意在未來時點訂貨，St和Sdt增大。而在過去，采購成本ci無影響，St和Sdt不變。當參數(shù)σi增大時，當市場需求信息的調(diào)整量εi發(fā)生在當前時點t（t≤i）之后，則當前期望利潤不變，未來期望利潤減小，企業(yè)更愿意在當前時點訂貨，St和Sdt減小。若εi發(fā)生在當前時點t（t＞i）之前，則當前和未來期望利潤同時減小，St和Sdt變化趨勢不能確定。

3 結束語

本文基于貝葉斯預測更新的報童模型，分析企業(yè)如何根據(jù)數(shù)據(jù)運用貝葉斯方法進行決策。企業(yè)可以在計劃時段內(nèi)任意時點訂貨。離銷售季節(jié)開始越近，市場需求預測精確度越高，但采購成本會增加。根據(jù)搜集的數(shù)據(jù)建立市場需求的預測過程，分析數(shù)據(jù)對預測市場需求的影響。當市場需求預測的調(diào)整量為正態(tài)分布且存在訂貨成本時，建立了基于貝葉斯預測更新的報童模型。證明在當前時點t存在且唯一的Sdt，其值與當前或未來的市場需求預測值di，i=t，t+1，...，N無關。若當前市場需求預測值高于Sdt時，企業(yè)最優(yōu)庫存策略為當前時點訂貨；否則企業(yè)最優(yōu)庫存策略為繼續(xù)等待，收集更多市場需求信息在未來某個時點訂貨。分析了采購成本和市場需求信息對企業(yè)決策的影響。未來進一步可以研究更復雜供應鏈環(huán)境中的預測更新問題，如供應商和零售商協(xié)調(diào)問題。

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