具有非線性發(fā)病率的SIVS流行病模型的動力學(xué)行為

,

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030024)

具有非線性發(fā)病率的SIVS流行病模型的動力學(xué)行為

曲美鋒,董玲珍

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,山西太原030024)

為了研究具有非線性發(fā)病率的SIVS流行病模型，在確定性模型中討論無病平衡點與地方病平衡點的存在性和穩(wěn)定性，給出基本再生數(shù)的表達式，并得出正平衡點穩(wěn)定的充分條件；引入隨機擾動，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，利用伊藤公式，研究相應(yīng)的隨機SIVS模型。結(jié)果表明：當(dāng)基本再生數(shù)小于或等于1時，確定性系統(tǒng)有唯一的全局漸近穩(wěn)定的平衡點，即無病平衡點；當(dāng)基本再生數(shù)大于1時，該點不穩(wěn)定，系統(tǒng)存在正平衡點，即地方病平衡點；如果因病死亡率滿足一定條件，當(dāng)基本再生數(shù)小于或等于1時，隨機系統(tǒng)的無病平衡點全局隨機漸近穩(wěn)定，即疾病將會滅絕；當(dāng)基本再生數(shù)大于1時，隨機系統(tǒng)的解在相應(yīng)確定性系統(tǒng)的地方病平衡點附近波動，并且波動強度與白噪聲強度成正比，即白噪聲強度充分小時，疾病將會盛行。

非線性發(fā)病率；無病平衡點；地方病平衡點；SIVS流行病模型；Lyapunov函數(shù)

流行病的數(shù)學(xué)建模無論是在流行病管理與控制的理論方面，還是在實踐方面都非常重要。研究者通過建立能夠準(zhǔn)確地描述流行病傳播特點的數(shù)學(xué)模型，利用各種數(shù)學(xué)理論，研究流行病的傳播規(guī)律，從而為控制流行病的傳播提供理論依據(jù)。近年來，流行病模型的動力學(xué)行為研究已取得豐富的成果。一般地，在一個流行病模型中，通常會存在一個閾值。當(dāng)該閾值小于或等于1時，這類模型通常有唯一的無病平衡點，并且該平衡點全局漸近穩(wěn)定；當(dāng)該閾值大于1時，無病平衡點不穩(wěn)定，此時系統(tǒng)會存在另外一個平衡點，即地方病平衡點，并且該點也是全局漸近穩(wěn)定的。由此可知，閾值的存在從理論上提供了控制流行病蔓延的預(yù)防措施。

流行病的控制是困難并且復(fù)雜的。 接種疫苗是控制流行病傳播和消除流行病的一種非常重要并且基本的策略， 因此， 越來越多的學(xué)者開始研究帶有接種疫苗的流行病模型[1-3]， 并且獲得了豐富的研究成果。 起初研究的最經(jīng)典的SIVS流行病模型并沒有考慮環(huán)境因素的隨機干擾， 然而， 生活中處處充滿了環(huán)境因素的隨機干擾，任何系統(tǒng)都無法逃避環(huán)境噪聲的影響。 在流行病模型的后續(xù)研究中， 為了盡可能符合實際情況， 數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家都開始從事隨機流行病模型的研究[4-5]。 May[6]得出環(huán)境的隨機變化將會導(dǎo)致出生率、 死亡率、 接觸率等參數(shù)的隨機波動的結(jié)論。 受其啟發(fā)， Zhao等[7]通過假定環(huán)境噪聲主要影響接觸率， 研究了相應(yīng)的隨機SIVS流行病模型。 無論是經(jīng)典的SIVS流行病模型還是隨機SIVS流行病模型[7]， 均采用了雙線性發(fā)病率。為了使研究更有現(xiàn)實意義，近年來研究者提出了各種形式的非線性發(fā)病率模型[8-10]。Zhao等[11]通過準(zhǔn)確地給定隨機傳染病模型閾值的表達式，分析閾值所滿足的條件，著重討論了隨機系統(tǒng)的絕滅與隨機持久生存問題。

本文中采用不同于文獻[11]中的方法， 通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)， 利用Lyapunov方法分別討論確定性模型與隨機模型這2類系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 首先， 研究具有非線性發(fā)病率的確定性SIVS流行病模型； 然后， 在假設(shè)接觸率受到環(huán)境白噪聲的隨機擾動的條件下， 建立相應(yīng)的隨機SIVS流行病動力學(xué)模型， 利用隨機微分方程的基本理論， 討論隨機模型的動力學(xué)行為。

1 模型概述

基于經(jīng)典的SIR模型建立的SIVS模型[2]，即帶有接種疫苗的SIS模型為

(1)

式中：t為時間；S(t)為易感人群的數(shù)量；I(t)為感染人群的數(shù)量；V(t)為接種疫苗后獲得免疫的人群的數(shù)量；Λ為易感人群中新生者人口的數(shù)量；q為新生者中接種疫苗的比率；β為接觸率；μ為易感者、感染者、免疫者S、I、V的自然死亡率；p為易感者中接種疫苗的比率；γ為感染者的恢復(fù)率；δ為免疫者中失去免疫力回歸易感者的比率；α為因病死亡率。參數(shù)Λ、q、β、μ、p、γ、δ、α均為正常數(shù)。

文獻[7]中假定環(huán)境噪聲影響了接觸率β, 即β→β+σB(t)(其中B(t)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動，且強度σ2>0)，進而有如下隨機SIVS模型[7]：

(2)

可以看出，系統(tǒng)(1)、(2)均采用雙線性發(fā)病率βSI。本文中采用非線性發(fā)病率形式SI/f(I)，得到確定性系統(tǒng)

(3)

式中f(I)為連續(xù)、可微函數(shù)，f(0)=1，且f′(I)≥0。

引入隨機擾動，得到如下隨機SIVS系統(tǒng):

(4)

式中f(I)為連續(xù)、可微函數(shù)，f(0)=1，且f′(I)≥0。

2 確定性系統(tǒng)(3)的動力學(xué)行為

令N(t)=S(t)+I(t)+V(t)， 可得N′(t)=Λ-μN(t)-αI(t)。 顯然，D={(S,I,V)∶S≥0,I≥0,V≥0,S+I+V≤Λ/μ}是系統(tǒng)(3)的正定不變集，因此，僅考慮系統(tǒng)(3)在D中的解。

(5)

由于f(0)=1且f′(I)≥0，因此可得方程(5)的等價方程為

(6)

把方程(6)中的S(t)、V(t)代入第1個等式，可得

記

顯然R0可定義為該系統(tǒng)的基本再生數(shù)。參照文獻[2]中的方法來研究系統(tǒng)(3)的無病平衡點P0(S0,0,V0)與地方病平衡點P*(S*,I*,V*)的穩(wěn)定性。

定理1 當(dāng)R0≤1時，系統(tǒng)(3)的無病平衡P0全局漸近穩(wěn)定。

因為f(I)滿足f(0)=1且f′(I)≥0， 所以當(dāng)I>0時， 有f(I)≥1恒成立。又由于S≤Λ/μ，因此

[βS-(μ+γ+α)]I≤

(1-q)Λ-(μ+p+δ)S+δN≤

從而

又由于

綜合1)、2)，定理1得證。

定理2 當(dāng)R0>0，α2p<4μ(μ+α)(μ+δ)時，系統(tǒng)(3)的地方病平衡點P*全局漸近穩(wěn)定。

證明：由于R0>1，系統(tǒng)(3)存在唯一的地方病平衡點P*(S*,I*,V*)，因此

qΛ+pS*=(μ+δ)V*。

記N*=S*+I*+V*，對系統(tǒng)(3)變形可得

(7)

定義

mV11(I)+nV12(V)+V13(N)，

其中m=(2μ+α)/β，n=(2μ+α)/p。

經(jīng)計算，得

dV12(V)=[p(V-V*)(N-N*)-

p(I-I*)(V-V*)-

(μ+p+δ)(V-V*)2]dt,

dV13(N)=[-μ(N-N*)2-α(I-I*)(N-N*)]dt。

因此，

dV1=mdV11+ndV12+dV13=

{-βm(I-I*)2-(βm+np)(I-I*)(V-V*)+

(βm-α)(I-I*)(N-N*)-

n(μ+p+δ)(V-V*)2+

因為f(0)=1且f′(I)≥0，所以[f(I)-f(I*)]·(I-I*)≥0，f(I*)≥1。從而，

dV1≤[-βm(I-I*)2-(βm+np)(I-I*)(V-V*)+

(βm-α)(I-I*)(N-N*)-

n(μ+p+δ)(V-V*)2+

np(V-V*)(N-N*)-μ(N-N*)2]dt=

[-(2μ+α)(I-I*)2-2(2μ+α)(I-I*)(V-V*)+

(2μ+α)(V-V*)(N-N*)-μ(N-N*)2]dt=

{-(2μ+α)[(I-I*)2+(V-V*)2+

{-(2μ+α)[(I-I*)+(V-V*)-

定理2得證。

3 隨機系統(tǒng)(4)的動力學(xué)行為

確定性系統(tǒng)(3)的無病平衡點P0顯然仍為隨機系統(tǒng)(4)的無病平衡點，但是系統(tǒng)(3)的地方病平衡點P*不再是隨機系統(tǒng)(4)的平衡點。本節(jié)中討論隨機系統(tǒng)(4)的無病平衡點P0(S0,0,V0)的隨機穩(wěn)定性，以及隨機系統(tǒng)(4)的解關(guān)于確定性系統(tǒng)(3)地方病平衡點P*(S*,I*,V*)的漸近行為。

3.1 隨機微分方程的相關(guān)知識

設(shè)(Ω,F,{F}t,P)為一個完備概率空間，其中Ω為一個非空集合，稱為樣本空間，F(xiàn)為樣本空間冪集的一個非空子集，{F}t為濾子，P為概率或概率測度。濾子{F}t滿足一般性條件，即遞增，右連續(xù)，并且F0包含所有的P零集。

dX(t)=f[X(t),t]dt+g[X(t),t]dB(t),t≥t0,

(8)

式中：f(x,t)為定義在Rd×[t0,+∞)到Rd的函數(shù)；g(x,t)為d×m型矩陣，且f和g是關(guān)于x的局部Lipschitz函數(shù)；B(t)為定義在上述空間上的m維布朗運動。

定義1[12]對于隨機微分方程(8)， 假定解的存在唯一性定理滿足， 對于任意給定的初值x(t0)=x0∈Rd， 方程(8)有唯一的全局解x(t;t0,x0)，如果初值x(t0)=0且

f(0,t)=0，g(0,t)=0，t≥t0，

那么方程(8)有解x(t)=0，這個解叫做方程的零解或平衡點。

設(shè)C2,1(Rd×[t0,+∞);R+)是定義在Rd×[t0,+∞)上所有正定函數(shù)V(x,t)的集合，則V(x,t)是連續(xù)函數(shù)，且關(guān)于x二階可導(dǎo)，關(guān)于t一階可導(dǎo)。引入一個關(guān)于微分方程(8)的微分算子

如果L作用函數(shù)V(x,t)∈C2,1(Rd×[t0,+∞);R+)，那么

LV(x,t)=Vt(x,t)+Vx(x,t)f(x,t)+

定義2[12]1)如果對任意的ε∈(0,1)和r>1，存在δ=δ(ε,r,t0)>0，使得當(dāng)|x0|<δ時，隨機微分方程(8)的解x(t;t0,x0)滿足

P{|x(t;t0,x0)|

則稱方程(8)的零解隨機穩(wěn)定(或依概率穩(wěn)定)。否則，稱方程(8)的零解隨機不穩(wěn)定。

2)如果方程(8)的零解隨機穩(wěn)定，且對于任意給定的ε∈(0,1)，存在δ0=δ0(ε,t0)>0，使得當(dāng)|x0|<δ0時，有

則稱方程(8)的零解隨機漸近穩(wěn)定。

3)如果方程(8)的零解隨機漸近穩(wěn)定，且對于任意的x0∈Rd，有

則稱方程(8)的零解全局隨機漸近穩(wěn)定。

引理1[12]如果存在正定的徑向無界函數(shù)V(x,t)∈C2,1(Rd×[t0,+∞);R+)使得LV(x,t)是負定的，則隨機微分方程(8)的零解全局隨機漸近穩(wěn)定。

3.2 無病平衡點的穩(wěn)定性

顯然D={(S,I,V)∶S≥0,I≥0,V≥0,S+I+V≤Λ/μ} 仍然是系統(tǒng)(4)的正定不變集，因此，以下仍在D中討論隨機系統(tǒng)(4)的解。

證明：顯然P0(S0,0,V0)是系統(tǒng)(4)的無病平衡點，因此

(1-q)Λ=(μ+p)S0-δV0，

qΛ=(μ+δ)V0-pS0。

令x=S-S0，y=I，z=V-V0，則有

(9)

定義

c1V21(y)+c2V22(x,y)+V23(x,y,z)，

運用伊藤公式[12]，可得

dV2(x,y,z)=c1dV21(y)+c2dV22(x,y)+dV23(x,y,z)=

[c1LV21(y)+c2LV22(x,y)+

具體地，

dV22(x,y)=(x+y)[-(μ+p)x-(μ+α)y+δz]dt=

[-(μ+p)x2-(2μ+p+α)xy+δxz-

(μ+α)y2+δyz]dt=LV22dt，

dV23(x,y,z)=(x+y+z)[-μx-(μ+α)y-μz]dt=

[-μx2-(2μ+α)xy-2μxz-(μ+α)y2-

(2μ+α)yz-μz2]dt=LV23dt。

由于f(0)=1，f′(I)≥0，因此f(y)=f(I)≥1。

又R0≤1，因此

[β(x+S0)-(μ+γ+α)]y=

βxy+[βS0-(μ+γ+α)]y≤βxy，

從而

LV2=c1LV21+c2LV22+LV23≤-[μ+c2(μ+p)]x2+

[c1β-c2(2μ+p+α)-(2μ+α)]xy+

(c2δ-2μ)xz-[(1+c2)(μ+α)]y2+

[c2δ-(2μ+α)]yz-μz2。

所以

c1β-c2(2μ+p+α)-(2μ+α)=0，

c2δ-2μ=0。

從而

上述過程中應(yīng)用了對于任意實數(shù)a、b，有(a+b)2≥0即-2ab≤a2+b2恒成立這一性質(zhì)。

因此，LV2≤0。由引理1可知，P0全局隨機漸近穩(wěn)定。

定理3得證。

3.3 解的漸近行為

假定R0>1，研究隨機系統(tǒng)(4)的解在確定性系統(tǒng)(3)的地方病平衡點P*附近的漸近行為。

時，有

(μ-ρα)[V(r)-V*]2}dr≤

證明：由于R0>1，系統(tǒng)(3)有唯一的正平衡點即地方病平衡點P*，因此

qΛ+pS*=(μ+δ)V*。

定義

c1V31(I)+c2V32(S,I)+V33(S,I,V)，

運用伊藤公式[12]，可得

dV3(S,I,V)=c1dV31(I)+c2dV32(S,I)+dV33(S,I,V)=

[c1LV31(I)+c2LV32(S,I)+

具體地，

dV32(S,I)=[(S-S*)+(I-I*)][-(μ+p)·

(S-S*)-(μ+α)(I-I*)+

δ(V-V*)]dt=[-(μ+p)(S-S*)2-

(2μ+p+α)(S-S*)(I-I*)+δ(S-

S*)(V-V*)-(μ+α)(I-I*)2+

δ(I-I*)(V-V*)]dt=LV32dt,

dV33(S,I,V)=[(S-S*)+(I-I*)+(V-V*]·

[-μ(S-S*)-(μ+α)(I-I*)-

μ(V-V*)]dt[-μ(S-S*)2-

(μ+α)(I-I*)2-μ(V-V*)2-

(2μ+α)(S-S*)(I-I*)-

2μ(S-S*)(V-V*)-(2μ+α)·

(I-I*)(V-V*)]dt=LV33dt。

從而

由此可知，

LV3=c1LV31+c2LV32+LV33≤

-[μ+c2(μ+p)](S-S*)2-(1+c2)·

(μ+α)(I-I*)2-μ(V-V*)2+

[c1β-c2(2μ+p+α)-(2μ+α)](S-S*)·

(I-I*)+(c2δ-2μ)(S-S*)(V-V*)+

c1β-c2(2μ+p+α)-(2μ+α)=0，

c2δ-2μ=0。

從而

同樣，上述過程中應(yīng)用了對于任意實數(shù)a、b有(a+b)2≥0即-2ab≤a2+b2恒成立這一性質(zhì)。

因此

不等式兩邊同時從0到t求積分，則

V3(t)-V3(0)≤

因此

(μ-ρα)(V(r)-V*)2}dr≤V3(0)+

令

是一個實值局部鞅，且M(0)=0。顯然，

(μ-ρα)(V(r)-V*)2}dr≤

幾乎處處成立。

定理4得證。

4 結(jié)論

本文中通過討論確定性模型、隨機模型2類具有非線性發(fā)病率SI/f(I)的SIVS流行病模型，得到如下主要結(jié)論：

1)在確定性模型中，系統(tǒng)存在基本再生數(shù)；當(dāng)基本再生數(shù)小于或等于1時，系統(tǒng)只有唯一的平衡點，即無病平衡點，并且該平衡點全局漸近穩(wěn)定，疾病最終滅絕；當(dāng)基本再生數(shù)大于1時，無病平衡點不再穩(wěn)定，系統(tǒng)存在唯一的地方病平衡點，并且得到全局漸近穩(wěn)定的充分條件，即只有在一定條件下，地方病平衡點才全局漸近穩(wěn)定，疾病才會盛行。

2)在隨機模型中，當(dāng)確定性系統(tǒng)的基本再生數(shù)小于或等于1時，該系統(tǒng)的無病平衡點與確定性系統(tǒng)相同，因此在因病死亡率滿足一定條件的情況下，該平衡點全局隨機漸近穩(wěn)定。這表明引入隨機擾動后，可以通過控制因病死亡率來控制疾病，進而使疾病絕滅；當(dāng)基本再生數(shù)大于1時，確定性系統(tǒng)的地方病平衡點已不是隨機系統(tǒng)的平衡點，此時，隨機系統(tǒng)的解在相應(yīng)確定性系統(tǒng)的地方病平衡點附近波動，并且波動強度與擾動強度成正比，因此，可以通過控制擾動強度來控制疾病。

[1] LI J Q, MA Z E. Qualitative analyses of SIS epidemic model with vaccination and varying total population size[J]. Math Comput Model, 2002, 35(11/12): 1235-1243.

[2] LI J Q, MA Z E. Global analysis of SIS epidemic models with variable total population size[J]. Math Comput Model, 2004, 39(11): 1231-1242.

[3] MONEIM I A, GREENHALGH D. Threshold and stability results for an SIRS epidemic model with a general periodic vaccination strategy[J]. J Biol Syst, 2011, 13(2): 131-150.

[4] LAHROUZ A, OMARI L. Extinction and stationary distribution of a stochastic SIRS epidemic model with non-linear incidence[J]. Statist Probab Lett, 2013, 83(4): 960-968.

[5] WITBOOI P J. Stability of an SEIR epidemic model with independent stochastic perturbations[J]. Physica: A, 2013, 392(20): 4928-4936.

[6] MAY R M. Stability and complexity in model ecosystems[M]. Princeton: Princeton University Press, 2001.

[7] ZHAO Y N, JIANG D Q, REGAN D O. The extinction and persistence of the stochastic SIS epidemic model with vaccination[J]. Physica: A, 2013, 392(20): 4916-4927.

[8] CAPASSO V, SERIO G. A generalization of the Kermack-Mckendrick deterministic epidemic model[J]. Math Biosci, 1978, 42(1/2): 43-61.

[9] XIAO D, RUAN S. Global analysis of an epidemic model with a nonmonotone incidence rate[J]. Math Biosci, 2007, 208(2):419-429.

[10] LAHROUZ A, OMARI L, KIOUACH D, et al. Complete global stability for an SIRS epidemic model with generalized non-linear incidence and vaccination[J]. Appl Math Comput, 2012, 218(11): 6519-6525.

[11] ZHAO D L, ZHANG T S, YUAN S L. The threshold of a stochastic SIVS epidemic model with nonlinear saturated incidence[J]. Physica: A, 2016, 443: 372-379.

[12] MAO X R. Stochastic differential equations and applications[M]. Chichester: Horwood, 1997.

DynamicBehaviorofSIVSEpidemicModelswithNonlinearIncidenceRate

QUMeifeng,DONGLingzhen

(College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

nonlinear incidence rate; disease-free equilibrium; endemic equilibrium; SIVS epidemic model; Lyapunov function

2017-03-30 < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間：2017-12-13 16:49

教育部科學(xué)技術(shù)研究重點項目(210030)；山西省自然科學(xué)基金項目(2013011002-3)

曲美鋒(1991—),女,山西忻州人。碩士研究生,研究方向為微分方程理論研究及其應(yīng)用。E-mail:1220533082@qq.com。

董玲珍(1970—),女,山西太原人。教授,博士，研究方向為微分方程理論研究及其應(yīng)用。E-mail:linzhen_dong@aliyun.com。

http://kns.cnki.net/kcms/detail/37.1378.N.20171212.1637.018.html

1671-3559(2018)01-0060-10

10.13349/j.cnki.jdxbn.2018.01.009

O175.13；O211.63

A

(責(zé)任編輯:王耘)