數(shù)學(xué)歸納法的含義及案例研究

?施響勇

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)教師在教材、知識以及學(xué)生等教學(xué)諸多因素上的研究越是深入，教學(xué)活動越是能夠獲得更好的效果. 本文著眼于數(shù)學(xué)歸納法與實際案例的研究，著重闡述了教學(xué)活動的科學(xué)設(shè)計與引領(lǐng).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)歸納法;教學(xué)設(shè)計

追求數(shù)學(xué)教學(xué)效果的前提條件是教師對教材內(nèi)容的深刻理解與到位，但相當一部分的教師在實際教學(xué)中對數(shù)學(xué)本身的理解就存在一定的偏差，以此為依據(jù)所制定的教學(xué)設(shè)計自然也會有所偏離，本文結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的實際教學(xué)設(shè)計案例在數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用實踐上表達了筆者的一點體會.

數(shù)學(xué)歸納法的含義

準確而科學(xué)的教學(xué)設(shè)計來源于教師對教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，一堂精彩的數(shù)學(xué)課又往往得益于精彩而準確的教學(xué)設(shè)計，高中數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)歸納法的滲透教學(xué)中首先應(yīng)該明確數(shù)學(xué)歸納法的含義并因此創(chuàng)造性地進行設(shè)計與教學(xué)，要看清數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)問題解決過程中應(yīng)用的價值.

例如，在證明和正整數(shù)有關(guān)的命題時常用的方法中包含數(shù)學(xué)歸納法這一尤其有意義的重要手段. 一般來講，使用數(shù)學(xué)歸納法進行與正整數(shù)有關(guān)的命題p（n）成立與否時需要證明以下內(nèi)容：

①p（n0）（n0∈N*）成立;

②若p（k）（k≥n0，k∈N*）成立，則p（k+1）也成立.

因此，p（n）對于一切正整數(shù)n（n≥n0）都成立.

包含最終的結(jié)論，數(shù)學(xué)歸納法證明過程的三個步驟一目了然. 不過，一般運用數(shù)學(xué)歸納法進行證明時，因為最終結(jié)論的千篇一律，我們往往更加注重前面兩個步驟.

那么，證明命題p（n）對于一切正整數(shù)n（n≥n0）都成立為什么需要兩步？

事實上，p（n）對于n=n0成立已經(jīng)可以證明最終的結(jié)論，但第二步中“p（k）（k≥n0，k∈N*）成立，則p（k+1）也成立”這一真命題的使用可以得出p（n0+1）是成立的，p（n0+2）也是成立的……由此，命題p（n）對于一切正整數(shù)n（n≥n0）也都成立了.

由此可見，數(shù)學(xué)歸納法中體現(xiàn)“遞推基礎(chǔ)”的第一步與證明“遞推依據(jù)”的第二步是缺一不可的，證明第一步的內(nèi)容可以進行無限制的遞推則使命題最終從有限走向了無限.

第二步中的k代表了什么含義？“數(shù)學(xué)”“歸納”又能從何處體現(xiàn)？

第二步中的k對于n而言是一個事先給定的正整數(shù)，這一常量是有限的. 我們可以就n0，n0+1，n0+2（n0∈N*）等具體的正整數(shù)來驗證p（n）成立，但對于p（n）對于一切正整數(shù)n（n≥n0）都成立這一問題卻是無法解決的. 但如果對n取某個具體的k，命題能夠成立，n=k+1時命題也成立，那么，遞推的依據(jù)也就形成了，對這一遞推依據(jù)進行反復(fù)使用，使得n從有限走向無限并將“歸納”這兩個字的特點展現(xiàn)無余. 數(shù)學(xué)歸納法中的“數(shù)學(xué)”這兩個字又應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從什么地方去體會呢？第二步的證明過程中體現(xiàn)的其實是演繹推理的方法，數(shù)學(xué)推理包含演繹推理這一尤其主要的特征. 由此可見，“數(shù)學(xué)歸納法”的稱謂是極其合適的.

實際教學(xué)設(shè)計與思考

教學(xué)設(shè)計的方向因為對數(shù)學(xué)歸納法的了解而更具方向性，作為教學(xué)內(nèi)容載體的教材為教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)提供了很好的形式，學(xué)生的“學(xué)”與教師的“教”都是圍繞教材而展開的活動，只有對教學(xué)內(nèi)容與教材進行深入的數(shù)學(xué)研究與理解，教師設(shè)計的教學(xué)過程才會更具科學(xué)性與合理性.

1. 目標設(shè)置

教學(xué)活動必須圍繞明確的教學(xué)目標而開展，對于數(shù)學(xué)歸納法這部分內(nèi)容，圍繞本課內(nèi)容，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生明確如下學(xué)習(xí)目標：

①利用數(shù)學(xué)歸納法進行本課命題的證明需要做到哪些步驟？

②為什么需要做到這些步驟？

兩個教學(xué)目標的確立與達成能使學(xué)生在領(lǐng)會這一方法的實質(zhì)基礎(chǔ)之上奠定今后具體運用的基礎(chǔ).

2. 領(lǐng)引學(xué)生感受學(xué)習(xí)的必要性

3. 多米諾骨牌的模型類比

數(shù)學(xué)歸納法的理解可以借助多米諾骨牌這一模型來進行. 如果把第一塊、第二塊、第三塊……第k塊骨牌分別用a1，a2，a3，…，ak來表示，a1，a2，a3，…，ak如果能一一倒下則表示它們是正確的，通項公式對一切正整數(shù)成立就如同所有多米諾骨牌都能倒下一樣，那么，保證所有多米諾骨牌都能倒下我們又應(yīng)該做到哪些呢？

對多米諾骨牌倒下的過程進行仔細觀察可以尋得兩個必要的條件：

①第一塊骨牌a1首先倒下;

②a1倒下時能夠?qū)е孪噜彽哪菈K倒下.

滿足這些條件的多米諾骨牌就會全部倒下的原因究竟在哪里呢？這是教師必須引導(dǎo)學(xué)生思考且闡述的問題，上述兩個條件中的每個條件所起的作用究竟在哪里是教學(xué)過程中不可或缺的環(huán)節(jié)，學(xué)生在這些原因與作用進行思考與解釋之后才能對數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)產(chǎn)生真正的領(lǐng)悟，后續(xù)學(xué)習(xí)中對于這一方法的運用才會更加熟練而靈活.

教師在教學(xué)中還需要引導(dǎo)學(xué)生明確所有骨牌倒下的這些條件是必須的，同時，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生弄清楚我們應(yīng)該要做的，多米諾骨牌全部倒下才可能實現(xiàn).

骨牌模型的及時呈現(xiàn)與具體事例的分析思考使得學(xué)生對于抽象數(shù)學(xué)方法的理解相對輕松.

運用數(shù)學(xué)歸納法對本課命題進行證明時只要之前我們所闡述的兩個步驟，我們在此題的解決中需要做的事情也因為“證明”二字變得明晰. 教師在教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生首先明確“做什么”和“為什么”，尤其應(yīng)讓學(xué)生明白第二步的任務(wù)是證明某一命題的成立，“n=k（k≥n0，k∈N*）時p（k）成立”是這一命題的條件，“n=k+1時p（k+1）成立”是這一命題的結(jié)論.

教師在課堂教學(xué)時可以將上述過程進行板書并形成下面的表格，使學(xué)生在表格內(nèi)容、歸納法和多米諾骨牌的對比學(xué)習(xí)中不斷加深對這一方法的理解.

學(xué)生在初學(xué)數(shù)學(xué)歸納法證明命題時往往會將第二步寫成“設(shè)n=k（k≥n0，k∈N*）時結(jié)論成立，要證明n=k+1時結(jié)論也成立”，筆者不僅不允許這樣的行為出現(xiàn)，而且還會要求學(xué)生將“結(jié)論成立”寫得更加具體，這使學(xué)生在審題與證明過程中能夠清晰了解要證明的內(nèi)容，學(xué)生一旦明確命題的條件與結(jié)論也就能夠更好地把握問題的精髓了，在具體解決過程中也就很快能夠聯(lián)系分析、反證等諸多的方法了，學(xué)生感受演繹推理特征的同時也使得自身邏輯思維能力得到了更好的培養(yǎng).

另外，假設(shè)n=k（k≥n0，k∈N*）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立中“n=k（k≥n0，k∈N*）時命題成立”這一條件又是從何而來的呢？對于這一問題的理解可以借助多米諾骨牌模型來實現(xiàn). k就好比多米諾骨牌中的“前一塊”，“n=k（k≥n0，k∈N*）時命題成立”就好比“前一塊倒下”，因此，證明“n=k+1時命題成立”也就轉(zhuǎn)化成了“導(dǎo)致后一塊必然倒下”.

再比如，如果你在別人幫助下計算出了第1000項，那么第1001項就一定能夠計算出嗎？

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)效果的良好獲得必然要建立在數(shù)學(xué)理解到位的基礎(chǔ)之上，同時，教師在教學(xué)中還應(yīng)對學(xué)生的學(xué)習(xí)心理進行研究并依此進行教學(xué)環(huán)節(jié)的科學(xué)設(shè)計，使得教材、學(xué)生等都在教師的潛心研究與設(shè)計之后煥發(fā)出奪目的光彩.