函數(shù)概念與映射概念的先后順序分析

邱琳琳

【摘要】在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，學(xué)生們首先要學(xué)習(xí)的概念就是關(guān)于函數(shù)與映射的概念，兩者之間的聯(lián)系十分密切，同時(shí)又存在著某些不同.為了研究函數(shù)概念與映射概念的先后順序問題，本文深入研究兩者的含義并且通過例題來闡釋，得到了論據(jù)較為充實(shí)、論點(diǎn)較為合理的結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)概念；映射概念；先后順序

一、引言

在高等數(shù)學(xué)中，有很多專業(yè)術(shù)語之間存在概念交叉、同義異名等現(xiàn)象，對于高等數(shù)學(xué)教學(xué)者及學(xué)習(xí)者來說，能夠正確理清高等數(shù)學(xué)中的各種概念名詞對于他們的后期學(xué)習(xí)非常重要.高等數(shù)學(xué)中涉及最多的便是各種各樣的函數(shù)關(guān)系.但在面對函數(shù)概念時(shí)，學(xué)生通常會(huì)對函數(shù)（function）及映射（mapping）的概念模糊不清，再加上不同版本的教科書對函數(shù)及映射的概念定義有所差異，進(jìn)一步加大了學(xué)生對函數(shù)概念及映射概念的學(xué)習(xí)難度[1].為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)與映射這部分內(nèi)容的時(shí)候，能夠清晰地分辨出函數(shù)概念與映射概念的先后順序，本文對此進(jìn)行了深入的研究.

二、函數(shù)、映射概念及先后關(guān)系分析

映射這一概念在數(shù)學(xué)教材中表達(dá)得十分清晰，就是兩個(gè)非空集合之間一一對應(yīng)的關(guān)系，在教科書中這樣描述映射這一概念：存在兩個(gè)非空集合滿足某一種法則f，法則f使得其中一個(gè)非空集合X中的所有元素，在另外一個(gè)非空集合Y中都存在唯一的元素與之對應(yīng)，兩個(gè)非空集合之間的這種法則就稱為X到Y(jié)的映射[2].通過了解映射概念的具體含義，我們可以得出這樣的結(jié)論：一是映射所描述的對象是非空集合，并且非空集合X中的所有元素都應(yīng)該在Y中找到對應(yīng)元素；二是非空集合Y中的元素不一定都是X中元素的對應(yīng)元素，即可以存在某些剩余元素；三是非空集合X中的元素與Y中元素的對應(yīng)關(guān)系只能是“一對一”或者“多對一”的關(guān)系.

雖然函數(shù)的應(yīng)用在數(shù)學(xué)問題中經(jīng)常見到，但是函數(shù)的概念在很多數(shù)學(xué)資料中的定義并不能達(dá)到統(tǒng)一.在普通高等院校的教材中對于函數(shù)的定義是：存在兩個(gè)非空數(shù)集，如果兩個(gè)非空數(shù)集之間存在某一對應(yīng)關(guān)系，使得其中一個(gè)非空數(shù)集X中的每一個(gè)元素都能夠在另一個(gè)非空數(shù)集Y中找到唯一對應(yīng)的元素，那么這種對應(yīng)關(guān)系f則稱為集合X到集合Y的一個(gè)函數(shù).而《中國大百科全書》稱映射與函數(shù)之間的關(guān)系為兩者本質(zhì)相同，但是概念上存在差異.《數(shù)學(xué)大辭典》稱函數(shù)與映射的概念與本質(zhì)都是一樣的，兩者描述的是同一類型的對應(yīng)關(guān)系[3].

關(guān)于函數(shù)概念與映射概念之間的關(guān)系，本文認(rèn)為可以這樣理解：函數(shù)描述的對象是非空數(shù)集，而映射描述的對象是非空集合，函數(shù)與映射之間的關(guān)系是屬于與被屬于的關(guān)系，函數(shù)一定是映射的一種，但是映射不一定就是函數(shù)[4].函數(shù)概念與映射概念之間的先后順序問題是一個(gè)值得研究的問題，能夠幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)與映射之間的區(qū)別與內(nèi)在聯(lián)系.通過上面對函數(shù)概念與映射概念的分析，可以得出這樣的結(jié)論：函數(shù)屬于映射的一種，映射卻不一定是函數(shù)，因此，映射概念要先于函數(shù)概念，函數(shù)概念是對映射概念的一種延伸與推廣.

三、相關(guān)實(shí)例分析

關(guān)于函數(shù)概念與映射概念，本文采用以下例題進(jìn)行詳細(xì)闡釋.

例設(shè)A={（x，y）∣x∈R，y∈R}.如果由A到A的一一映射，使象集合中的元素（y-1，x+2）和原象集合中的元素（x，y）對應(yīng)，那么象（3，-4）的原象是（）.

A.（-5，5）

B.（4，-6）

C.（2，-2）

D.（-6，4）

分析由象與原象的概念可知，本題中的對應(yīng)法則是f：（x，y）→（y-1，x+2），問題即：當(dāng)點(diǎn)（y-1，x+2）是（3，-4）時(shí)，對應(yīng)的x，y的值分別是多少？于是由y-1=3，x+2=-4， 可以得出x=-6，y=4， 即象（-3，4）的原象是（-6，4），選D.

在這道例題中，對應(yīng)法則f就屬于映射概念的體現(xiàn)，但是卻不屬于函數(shù)的一種，因?yàn)樵趦蓚€(gè)非空集合當(dāng)中的元素并不是數(shù)字，無法形成有效的函數(shù)關(guān)系，也就是y=f（x）這樣的函數(shù)表達(dá)形式.

四、結(jié)語

函數(shù)概念的提出有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的研究變得更加方便快捷，很多數(shù)學(xué)問題的解決都需要函數(shù)方面的知識(shí)進(jìn)行解決，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念的時(shí)候要提前對映射概念進(jìn)行一定程度的了解與學(xué)習(xí)，只有真正了解映射的概念含義，才能對函數(shù)的學(xué)習(xí)起到事半功倍的促進(jìn)作用.函數(shù)概念與映射概念之間的先后順序問題并不是為了將兩者之間的界限變得更加分明，而是為了使得函數(shù)與映射之間的關(guān)系變得更加緊密，學(xué)生通過學(xué)習(xí)其中一種概念就可以更輕松地理解另外一種概念.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉金婷，劉嘉瑞.淺議映射與函數(shù)及相關(guān)概念的異同[J].中國科技術(shù)語，2015（6）：50-52.

[2]額布日力吐，阿拉坦倉.高等數(shù)學(xué)中映射與函數(shù)概念的教學(xué)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014（3）：117-121.

[3]李瑞軍.關(guān)系—映射—反演方法在高等數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用[J].菏澤學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（2）：15-19.

[4]張新村.高中新課程標(biāo)準(zhǔn)下“函數(shù)概念”的教與學(xué)[D].蘇州：蘇州大學(xué)，2010.