用復合函數(shù)求導思想解決實際問題中相關變化率問題

劉淑貞++曾大恒

【摘要】導數(shù)可以反映一個函數(shù)的變化率問題，但生活中常常遇到兩個相關變量的相關變化率問題，本文在介紹復合函數(shù)鏈式求導的數(shù)學方法的基礎上，結合實際的例子，就生產(chǎn)生活中線與面、線與體積、相關速度、經(jīng)濟變量等相關變量之間的相關變化率問題進行了較詳細的探究，具有一定的應用價值.

【關鍵詞】復合函數(shù)求導；相關變化率；實際問題

在學習導數(shù)的過程中，大部分學生都知道導數(shù)可以用來解決變化率的問題，大多數(shù)是要解決一個函數(shù)變量相對自變量的變化快慢問題，而實際生活中有時候是幾個相關的函數(shù)變量同時變化，面對多個相關的變量變化時，我們該如何用導數(shù)知識來反映它們的變化率以及相關性呢？解決這類問題的基本原理是建立在復合函數(shù)求導的方法基礎之上的.下面結合復合函數(shù)求導的方法就幾個類別的相關變化率問題進行探索.

一、復合函數(shù)求導鏈式法則

若復合函數(shù)y=f（φ（x））在點x可導，該復合函數(shù)由 y=f（u）及函數(shù)u=φ（x）復合而成，且在相應的區(qū)間都可導，則有dydx=dydx·dudx，即yx′=yu′·ux′.

上述可見復合函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘中間變量對自變量的導數(shù).我們把復合函數(shù)的這種求導法則也稱為鏈式法則.解決相關變化率的一個需要注意的地方就是要把其中相關的變量看成一個復合函數(shù)，通過復合函數(shù)求導，利用已知的某變量的變化率，得出相關的變量的變化率來解決問題.

二、線與面的相關變化率問題

問題1有一石頭落在水平面上，隨即產(chǎn)生同心的波紋.若最外一圈波半徑增大率總是2 m/s，問當半徑增大到3米時，擾動水面面積增大率是多少？如圖1所示.

圖1

分析這是一個半徑直線增大與面積增大相關變化率的問題，圓的半徑與面積具有特定的函數(shù)關系S=πr2，要注意的是這里的S是一個關于時間t的函數(shù)，同時半徑不是一個常量而是變化的，也是關于時間t的函數(shù)，因此，面積S是一個復合函數(shù)，由S（t）=πr2，r=r（t）構成，利用復合函數(shù)鏈式求導法則可得面積S的增大率就是S′（t）=（πr2）′=2πr·r′（t），其中r′（t）=2，r=3，所以S′（t）=2π×3×2=12π m2/s.即當半徑增大率為2 m/s，增大到3米時，擾動水面面積增大率為12π m2/s.

直線的改變率導致面積的改變率的問題不僅局限于圓，比如，三角形的面積因邊長的變化而產(chǎn)生的變化率等，都可利用此方法求解.這方面的實際應用也有很多，比如，已知海上原油泄漏的速度，求油的污染面積的擴散的速度等問題.

三、線與體積的相關變化率問題

圖2

問題2若水以2 m3/min的速度灌入高為10 m，開口半徑為5 m的圓錐形容器中，當水深為6 m時，水位上升速度是多少？如圖2所示.

分析這是一個已知體積變化率求高度變化率的問題.設在時間為t時，容器中水的體積為V，水面的半徑為r，容器中水的深度為x，由圓錐的體積公式可知V=13πr2x，又r5=x10，即r=12x，代入得V=112πx3.這里的x是關于時間t的函數(shù)，即x=x（t），所以水的體積V通過中間變量x與時間t發(fā)生聯(lián)系，是時間t的復合函數(shù)，因此，對V關于時間t求導是一個復合函數(shù)求導的過程：

由已知V=112π[x（t）]3，

在上式中，兩端關于t求導數(shù)，得

dVdt=112π·3x2·dxdt，

其中dVdt是注水的體積變化率，dxdt是水深度的變化率，由題可知dVdt=2 m3/min，x=6，代入上式得dxdt=4πx2·dVdt=4π×62×2=29π≈0.071（m/min）.

所以，當水深6 m時，水位上升速度約為0.071 m/min.

此題中通過體積的變化率dVdt與水位深度的變化率dxdt之間的關系求得了問題的解，這種是線與體積之間的相關變化率問題.這類問題可以解決，比如，由一個圓柱形桶中流出液體的體積速度求相應的液體下降的速率等問題.

四、各相關物體之間的速度比較問題

導數(shù)本質上是反映變化率的問題，在物理學上的含義就是用物體運行的速度來刻畫變化的快慢，我們都知道求瞬間速度時可以用求導的方式來解決，但實際上很多生活實際問題中的速度需要討論的是一個相關性.

問題3拋一個物體，該物體的運動軌跡是一條拋物線y=3x2，x∈（0，+∞），那么它的橫坐標和縱坐標變化的速度哪一個快些呢？如圖3所示.

圖3

分析同樣，這里函數(shù)中的x應該看成是一個關于時間t的函數(shù)，因此，y=3x2是由y=3x2及x=x（t）復合而成的，對等號兩邊關于時間t求導得

dydt=6x·dxdt，即得dydt∶dxdt=6x，因此，在定義域內，當x∈0，16時，6x<1，則x軸比y軸變化要快，當x∈16，+∞時，6x>1，則y軸比x軸變化要快，我們從上面的圖像也可以看出這種變化的特點.這種用復合函數(shù)求導的方法解決相關速度的實際問題還有很多，比如，距離探測器跟蹤熱氣球升空的問題，已知探測器角速度，求氣球升空的速度，又如，燈光照射燈塔問題，已知燈的轉動速度，求燈光滑過岸邊的速度等，都可以用這種方法來解決.

五、其他各制約變量之間的相關變化率問題

問題4吉利汽車公司生產(chǎn)一種小型汽車配件，設市場上對此配件需求量為q，銷售的價格為p，由于多年的經(jīng)營實踐得知此配件的需求量q與價格p之間的關系近似為

q=10 000（0.5p+1）2+e-0.1p.

若配件的價格按照每年5%的比率均勻增加，現(xiàn)在銷售價格為1.00元，則此時需求量將如何變化？

分析這是經(jīng)濟學里常常遇到的需求函數(shù)，從函數(shù)關系上看是價格變動導致需求量變化，但價格并不是恒定的，價格p本身也是隨著時間每年5%的比率增加，因此，要求相關的需求量的變化率，與前面的方法大同小異，把銷量q看成是價格函數(shù)的復合函數(shù)，用復合函數(shù)求導的思想尋求兩個相關變量的變化率的問題，這里就不詳細展開了.

六、總結

求解相關變化率問題，主要是通過復合函數(shù)求導公式，利用已知的某變量的變化率得出所要求變量的變化率，其關鍵是由已知條件建立一個合適的函數(shù)關系式.可以說，相關變化率問題也是建立數(shù)學模型問題之一，而建立數(shù)學模型問題對學生是相當重要的，可以培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識、興趣和能力，讓學生會用數(shù)學的思維方式觀察事物，用數(shù)學的思維方法分析、解決實際問題.

【參考文獻】

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