分段函數(shù)積分問題的求解方法

齊瑋

【摘要】分段函數(shù)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要知識點，所以研究分段函數(shù)的定積分問題是必不可少的，本文給出分段連續(xù)函數(shù)、分段不連續(xù)函數(shù)的定積分的求解方法，并且通過引入例題進行詳細計算和驗證.

【關(guān)鍵詞】定積分;分段函數(shù);間斷點

近年來研究分段函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、極限、不定積分等相關(guān)問題的文獻層出不窮，而關(guān)于分段函數(shù)的定積分，一般很少涉及，但它在高等數(shù)學(xué)中所占有的地位卻是無法取代的，而且關(guān)于此類問題的計算具有典型的技巧性，是各類考試的熱點，本文將著重研究它的求解方法，以助于提高學(xué)生的計算能力.

一、分段連續(xù)函數(shù)定積分的求法

分段連續(xù)函數(shù)定積分的求解方法有兩種：一是一般方法，通常是利用定積分的分段可加性的性質(zhì)進行分段積分;二是先判斷其原函數(shù)是否連續(xù)，再利用牛頓-萊布尼茨公式來計算.

（一）定積分的分段可加性

例1 設(shè)f（x）=ex，x∈（-∞，]，x+1，x∈（0，+∞）， 求∫2-1f（x）dx.

解 由定理知，其中ex在（-∞，0]上是連續(xù)函數(shù)，且x+1在[0，+∞）上也是連續(xù)函數(shù)，因此，∫2-1f（x）dx=∫0-1exdx+∫20（x+1）dx=ex0-1+12x2+x20=5-1e.

（二）牛頓-萊布尼茨公式

例2 設(shè)f（x）=x+2，x∈（-∞，-1]，x2，x∈（-1，1），3x-1，x∈[1，+∞）， 求∫2-2f（x）dx.

解 由題意知原函數(shù)

F（x）=12x2+2x+c1，x∈（-∞，-1]，13x3+c2，x∈（-1，1），32x2-x+c3，x∈[1，+∞） 連續(xù)，則

limx→-1-12x2+2x+c1=limx→-1+13x3+c2，

limx→1-13x3+c2=limx→1+32x2-x+c3，

即-32+c1=-13+c2，13+c2=-2+c3，得c1=0，c2=-76，c3=-43.代入原函數(shù)，

那么有F（x）=12x2+2x，x∈（-∞，-1]，13x3-76，x∈（-1，1），32x2-x-43，x∈[1，+∞）， 則∫2-2f（x）dx=F（2）-F（-2）=83-（-2）=143.

二、分段不連續(xù)函數(shù)定積分的求法

由于分段不連續(xù)函數(shù)的間斷點的數(shù)量不同，可以分為有限個間斷點和無限個間斷點.有限個間斷點的計算較簡單，只需研究其單調(diào)性，再根據(jù)定積分的分段可加性及牛頓-萊布尼茨公式進行計算，而無限個間斷點的計算較復(fù)雜.

（二）有限個間斷點的分段函數(shù)的定積分的求法

對于有限個間斷點的分段函數(shù)定積分的求法，若分段函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有界，且具有有限個間斷點，即f（x）在此區(qū)間上是可積的;若分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則f（x）在該區(qū)間上是可積的.因此，對含有限個間斷點的有界分段函數(shù)求定積分，應(yīng)先研究其單調(diào)性.

例3 設(shè)f（x）=-x，x∈[-1，0]，cosx+1，x∈（0，1]， 求∫1-1f（x）dx.

解 由題可知f（x）在[-1，1]上只有一個間斷點x=0，且在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的，則∫1-1f（x）dx=∫0-1（-x）dx+∫10（cosx+1）dx=-x220-1+（sinx+x）10=sin1+32.

（二）無限個間斷點的分段函數(shù)定積分的求法

含有無限個間斷點的分段函數(shù)定積分，由于它的積分區(qū)間同樣是不連續(xù)的，所以其求解技巧很高，這也是分段函數(shù)定積分的難點所在.

例4 設(shè)f（x）=0，x=0，1n，1n+1<x≤1n（n=1，2，…）， 求∫10f（x）dx.

解 顯然f（x）在[0，1]是增函數(shù)，且有無限個間斷點xn=1n，n=2，3，…，可知，f（x）在[0，1]上可積，以xn=1n，n=2，3，…，作為分點將[0，1]分為無數(shù)個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上取ξk=1k（k=1，2，…）做無限和.

∫10f（x）dx=1×12+1212-13+1313-14+…+1n1n-1n+1+…

=∑∞n=11n1n-1n+1

=∑∞n=11n2（n+1）

=π26-1，

其中∑∞n=11n2=π26，∑∞n=11n+1-1n=-1.

以上就是關(guān)于分段連續(xù)函數(shù)、分段不連續(xù)函數(shù)的定積分的求法介紹.在解決實際問題時，只要認清其本質(zhì)，從基本定義入手，關(guān)于分段函數(shù)定積分問題的計算就能迎刃而解.

【參考文獻】

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