任意角的三角函數(shù)中的學(xué)習(xí)負(fù)遷移現(xiàn)象研究

張松山　張崇耀

摘 要：負(fù)遷移是影響學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)阻因，而三角函數(shù)的知識(shí)又是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一.因此，有必要對(duì)兩者的結(jié)合點(diǎn)進(jìn)行研究.由遷移、負(fù)遷移的概念和分類，闡述了負(fù)遷移在任意角三角函數(shù)的教學(xué)中的影響及對(duì)策.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；負(fù)遷移；數(shù)學(xué)思維；教學(xué)對(duì)策

隨著教育改革的深入，從專家學(xué)者到教學(xué)一線的教師，都從教學(xué)理論和教學(xué)實(shí)踐等不同層面上加大了對(duì)遷移在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，以及遷移規(guī)律在教學(xué)中的應(yīng)用等方面的研究.特別地，在高考數(shù)學(xué)試題中，有相當(dāng)一部分是考察學(xué)生對(duì)遷移的運(yùn)用能力.因此，教師是否具備利用遷移的教學(xué)理念，在教學(xué)過(guò)程中能否運(yùn)用遷移規(guī)律促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)顯得尤為重要.

1 遷移的概念和分類

遷移是指已獲得的知識(shí)、技能甚至方法和態(tài)度對(duì)學(xué)習(xí)新知識(shí)、新技能的影響.遷移又分正遷移和負(fù)遷移.如果影響是具有積極或者促進(jìn)作用的，稱之為正遷移.如果影響是具有消極或者阻礙作用的，稱之為負(fù)遷移.本文主要研究負(fù)遷移在三角函數(shù)方面的影響及相對(duì)應(yīng)的措施.

2 任意角的三角函數(shù)定義的負(fù)遷移

2.1 銳角三角函數(shù)定義的負(fù)遷移

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù).銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)是從直角三角形出發(fā)，根據(jù)比值得到三角函數(shù)值.它是解三角形的工具，更加側(cè)重于幾何量的關(guān)系.它強(qiáng)調(diào)的是“從角的集合到比值的集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系.任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)生活中具有周期現(xiàn)象的一類函數(shù).它的對(duì)應(yīng)關(guān)系是“數(shù)集到數(shù)集”，應(yīng)用于天文學(xué)和物理學(xué).因此，銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)研究對(duì)象有很大的不同，其突出的性質(zhì)也不同.不能單純地認(rèn)為銳角三角函數(shù)一般化就變成了任意角三角函數(shù)，同樣，也不能簡(jiǎn)單的認(rèn)為任意角三角函數(shù)的角度限定銳角就是銳角三角函數(shù) [1 ].

鑒于銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的差異，在教學(xué)上，把銳角三角函數(shù)的知識(shí)遷移到任意角三角函數(shù)必然會(huì)產(chǎn)生負(fù)遷移.而在學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的定義時(shí)，如果借由函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，先由數(shù)集（弧度數(shù)）對(duì)應(yīng)到坐標(biāo)上點(diǎn)的坐標(biāo)，再由數(shù)集（弧度數(shù)）對(duì)應(yīng)到實(shí)數(shù)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)），這必然會(huì)給學(xué)生的理解造成一定的困擾.因此，在任意角三角函數(shù)的定義的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該充分考慮知識(shí)間的過(guò)渡的合理性和自然性，把不利的因素降到最低.

2.1.1 任意角三角函數(shù)的引入

人教A版 [2 ]以及相應(yīng)的教參給出的引入方式如下：

首先讓學(xué)生“思考”，用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù).其目的是讓學(xué)生回憶銳角函數(shù)的定義，并與象限角有機(jī)的結(jié)合得到銳角三角函數(shù)，可以用角的終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)比來(lái)表示.教師可以作如下鋪墊：

（銳角三角函數(shù)）直角三角形為載體→（銳角三角函數(shù)）象限角為載體→（銳角三角函數(shù)）單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示.

這樣引入的好處是能從學(xué)生熟悉的銳角三角函數(shù)來(lái)學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)，又可以讓學(xué)生初步體會(huì)到用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)的方便和簡(jiǎn)潔，為下一步“單位圓定義法”作好鋪墊。但是，教師要注意到不能認(rèn)為銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)之間的關(guān)系并非簡(jiǎn)單的特殊與一般的關(guān)系。

2.1.2 兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系

設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），給出兩組對(duì)應(yīng)關(guān)系：

正弦：實(shí)數(shù)α （弧度）與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)；

余弦：實(shí)數(shù)α （弧度）與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)。

清楚地認(rèn)識(shí)這兩組對(duì)應(yīng)關(guān)系是理解任意角三角函數(shù)的關(guān)鍵.

2.2 學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

學(xué)生在學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)時(shí)，除了要理解銳角三角函數(shù)的知識(shí)外，還必須熟悉函數(shù)的定義和準(zhǔn)確地理解弧度制.梁志芳 [3 ]在《學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的調(diào)查研究》提到“學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的“函數(shù)性質(zhì)”理解不夠，不知道三角函數(shù)的自變量和函數(shù)值是什么，經(jīng)常將函數(shù)值和自變量弄錯(cuò)”.王冬巖 [4 ]在《高中生對(duì)三角函數(shù)概念的理解》中認(rèn)為：學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)的確存在困難，如果不能理解弧度制，則在三角函數(shù)的定義域、值域、圖像等方面都會(huì)出現(xiàn)很多問(wèn)題.

由上面的分析，學(xué)生在學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)時(shí)應(yīng)注意以下三個(gè)問(wèn)題：一是學(xué)生的基礎(chǔ)（任意角的弧度制、函數(shù)的概念）；二是注意概念的生成過(guò)程；三是體現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)（比如周期性）.

3 三角函數(shù)的負(fù)遷移實(shí)例

3.1 認(rèn)知和技能方面的負(fù)遷移

學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)都是建立在舊的知識(shí)（認(rèn)知或技能）的基礎(chǔ)上的，往往是對(duì)舊知識(shí)的補(bǔ)充（或擴(kuò)充）。比如：學(xué)生先學(xué)自然數(shù)，再學(xué)整數(shù)，接著學(xué)習(xí)了有理數(shù)，然后是實(shí)數(shù)，最后是復(fù)數(shù).可以說(shuō)，舊知識(shí)往往對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)起了促進(jìn)的作用，具有積極的一面，然而事情總是有兩面性的.在一些數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，舊知識(shí)也能干擾或誤導(dǎo)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí).比如：學(xué)生學(xué)了乘法分配率（a（b+c）=ab+ac），會(huì)導(dǎo)致學(xué)生犯這樣的錯(cuò)誤，sin（A+B）=sinA+sinB.這是學(xué)生在新舊知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合處比較容易犯的錯(cuò)誤.

在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在求解函數(shù)y=（4-cosx）（1+cosx）的最大值時(shí)，有的學(xué)生是這樣做的，先將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=-cos2x+3cosx+4，再令t=cosx，從而得到y(tǒng)=-t2+3t+4.利用二次函數(shù)的性質(zhì)，在t=時(shí)，函數(shù)取到最大值.顯然，學(xué)生的認(rèn)知水平還停留在二次函數(shù)的性質(zhì)上，沒(méi)有考慮到余弦函數(shù)的有界性，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的產(chǎn)生.

3.2 思維定勢(shì)的負(fù)遷移

思維定勢(shì)，又稱“慣性思維”，是指人們?cè)谔幚韱?wèn)題時(shí)，習(xí)慣地按照固有的模式或方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析和思考.它具有二重性.它積極的一面：人們?cè)谔幚眍愃频亩易兓淮蟮膯?wèn)題時(shí)，能夠較快的解決。它消極的一面：當(dāng)面對(duì)看起來(lái)類似但本質(zhì)上有所不同的問(wèn)題時(shí)，思維定勢(shì)會(huì)束縛一個(gè)人的思維，從而導(dǎo)致問(wèn)題的復(fù)雜化甚至可能得到錯(cuò)誤的答案.

負(fù)遷移的因素和分類多種多樣，很多學(xué)者和教師進(jìn)行了大量的研究.那么如何克服學(xué)生的負(fù)遷移呢？教師應(yīng)該如何做？教師可以運(yùn)用教育學(xué)的普遍性，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知階段、認(rèn)知規(guī)律，采用符合學(xué)生的思維特點(diǎn)的教學(xué)策略.教師在教學(xué)的過(guò)程可以注意以下幾點(diǎn)：第一、教師應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)比教學(xué)；第二、教師應(yīng)該加強(qiáng)探究教學(xué)；第三、教師應(yīng)該加強(qiáng)習(xí)題教學(xué) [5 ].當(dāng)然，在平時(shí)的教學(xué)中，教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生為主體，給學(xué)生充分動(dòng)手、動(dòng)腦的時(shí)間，在探究中學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.為什么用單位圓上的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（1）： 15-18.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[3]梁志芳.學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的調(diào)查研究[D].石家莊：河北師范大學(xué)，2011.

[4]王冬巖.高中生對(duì)三角函數(shù)概念的理解[D].上海：華東師范大學(xué)，2010：15-16.

[5]洪秀滿，祝敏芝.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中負(fù)遷移現(xiàn)象研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（6）：6-11.