多參數(shù)幾何題解法的探究與啟示

陳鈺輝

摘 要：幾經(jīng)錘煉的中考題特別值得研究，通過(guò)對(duì)2016年廈門市中考數(shù)學(xué)一道典型試題的探究，一方面分析多參數(shù)幾何探究題的一般方法，即通過(guò)審題，借助幾何直觀，做到整體把握題意，確定合理解題的方向，選擇靈活解題的方法，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔的解決程序，各個(gè)環(huán)節(jié)相互配合，從而有力破解解題思路.另一方面，引導(dǎo)和改進(jìn)解題教學(xué)，既要扎實(shí)基礎(chǔ)訓(xùn)練，又要對(duì)歷年的考題分門別類，以能力為導(dǎo)向，分解能力要素，加強(qiáng)變式教學(xué).

關(guān)鍵詞：中考；多參數(shù)幾何題；解題；教學(xué)

選取有代表性的中考題進(jìn)行深入研究，引導(dǎo)教學(xué)和訓(xùn)練，對(duì)初中數(shù)學(xué)教師而言是一件很有意義的事情.本文將通過(guò)對(duì)2016年廈門市中考數(shù)學(xué)第25題的解析，試圖揭示解答幾何探究題的一般規(guī)律，改進(jìn)解題的教學(xué).

1 題文內(nèi)容

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（1，m+1）， B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m>0，1

2 試題解析

本題是在坐標(biāo)平面下有關(guān)四邊形的探究題，旨在綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)合理簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題，考查學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新意識(shí).

考生普遍反映此題很難，無(wú)從下手，搜索網(wǎng)頁(yè)中相關(guān)內(nèi)容，包括教師們?cè)跀?shù)學(xué)討論群中的反饋，也都覺得難度很大，所能看到的解答過(guò)程大都繁雜，明顯背離了試題的考查意圖.那么，這一道題究竟難在何處呢？

本題的難點(diǎn)之一是變量多，抽象性強(qiáng)，思維層次高，思路難覓，使得不少同學(xué)不知所言，不解題意.但這正體現(xiàn)了探究題的特點(diǎn)，要求善于探究發(fā)現(xiàn)，總結(jié)規(guī)律.因此，此類問(wèn)題解答的基本思路是將一般問(wèn)題特殊化，先解決特殊化了的問(wèn)題，再將結(jié)論推廣到一般的情況.

難點(diǎn)之二是數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用，既要以形助數(shù)，比如通過(guò)圖形直觀探討解題方向，直觀得到圖形的性質(zhì)，以及由三角形面積關(guān)系求值等；又要以數(shù)助形，比如通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷線段AD、AB的位置關(guān)系，判斷點(diǎn)P的位置，以及通過(guò)計(jì)算進(jìn)行推理和探求等.

難點(diǎn)之三，對(duì)于面積相等關(guān)系的處理方式，顯然不會(huì)是讓我們作大量的運(yùn)算，而是應(yīng)該進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化，合理簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題，體現(xiàn)思維的靈活性和探究性.

思路分析：

2.1 把問(wèn)題特殊化，解決當(dāng)m=0時(shí)的情況

題文：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（1，1），B（a，1），C（3，3），D（1，a），1

簡(jiǎn)解：如圖2，

①AD∥y軸，AB∥x軸，且AD=AB.

②直線AC是一、三象限角平分線，所以AC平分∠BAD；點(diǎn)P在AC上，所以P到AD、AB距離相等；所以△PAB與△PAD面積相等.

③由S△PAD=S△PBC得S△PAB=S△PBC；因?yàn)椤鰾AP和△BPC的底AP、PC在同一直線AC上，高相同，且面積相等，所以點(diǎn)P為線段AC中點(diǎn).

④由A、C的坐標(biāo)易得中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2.

2.2 研究m≠0的情況，即中考的原題

當(dāng)m≠0時(shí)，相對(duì)于m=0的情況，是把特殊的問(wèn)題一般化，實(shí)際上是將整個(gè)圖形向上平移m個(gè)單位，因此平移后圖形的形狀、大小保持不變.與m=0時(shí)類似，易求作為線段AC的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2.

具體過(guò)程如下：如圖3，

① ∵A（1，m+1），D（1，m+a）， 橫坐標(biāo)都為1，

∴AD∥y軸。同理AB∥x軸.

② ∵C（3，m+3），∴點(diǎn)C到AD的距離為3-1=2，點(diǎn)C到AB的距離為（m+3）-（m+1）=2，兩距離相等.

∴點(diǎn)C在∠BAD的平分線上.

同理，點(diǎn)P到AB、AD的距離都為n-m-1，因此，點(diǎn)P在∠BAD的平分線上.

∴點(diǎn)P在線段AC上.

③ ∵AB=AD=a-1，且點(diǎn)P到AB、AD的距離相等，

∴S△PAD=S△PAB ，又已知S△PAD=S△PBC ，

∴S△PAB =S△PBC .

∵△BAP和△BPC的底AP、PC在同一直線AC上，高相同，

∴點(diǎn)P為線段AC中點(diǎn).

④ ∴ 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)n-m=■=2.

2.3 答題失誤分析

（1）不理解參數(shù)、字母的含義

多參數(shù)的問(wèn)題尤其考驗(yàn)學(xué)生們的符號(hào)意識(shí)的水平，解題時(shí)要從數(shù)和形兩個(gè)角度把握字母、參數(shù)的意義.從數(shù)量上說(shuō)，字母代表的數(shù)具有一般性，字母代表著規(guī)定范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)；從圖形的意義上，不少參數(shù)具有幾何意義，比如點(diǎn)（1，1+m）（m>0）的幾何意義是將點(diǎn)（1，1）向上平移m個(gè)單位，點(diǎn)P（n，n）（n>0）表示點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同，在第一象限的角平分線上等等.多參數(shù)的問(wèn)題，尤其需要理清參數(shù)間的關(guān)系，確定主元，理解參數(shù)取值的變化在數(shù)和形方面的意義.

（2）缺乏幾何直觀的意識(shí)

比如，不能直觀觀察、猜想出AD、AB平行于坐標(biāo)軸，AC平分∠BAD，點(diǎn)P在AC上等信息，探究到簡(jiǎn)潔的解題方向.在證明點(diǎn)P在直線AC上時(shí)，用的是代數(shù)的方法，證明點(diǎn)P的坐標(biāo)符合直線AC的解析式，運(yùn)算量大.

（3）解決問(wèn)題的方法單一，思維的靈活性不足

比如，對(duì)于條件，有些同學(xué)直接用它來(lái)列方程求n-m的值，顯然運(yùn)算量非常的大，能夠善終的很少.如果能把條件靈活地轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，本題將迎刃而解.

（4）缺乏分析和解決問(wèn)題的基本策略、方法的訓(xùn)練，過(guò)程紊亂

3 對(duì)教學(xué)的啟示

3.1 對(duì)解題的啟示

分析題目的過(guò)程一般經(jīng)歷“分析解題條件→探究解題方向→選擇解題方法→設(shè)計(jì)解題程序”等步驟.對(duì)于多參數(shù)“解析幾何”類型的探究題，每個(gè)步驟都有其自身的特點(diǎn).

（1）分析解題條件

每個(gè)題目都自成系統(tǒng).首先要逐字逐句理解題意，理解每個(gè)條件和問(wèn)題在數(shù)量和圖形方面的含義，在此基礎(chǔ)上把各條件綜合起來(lái)，理清各條件之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)題目的整體把握，這是解題的先決條件.

通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)思考，是理解題意的基本方法。比如，A、B、C、D、P都是動(dòng)點(diǎn)，它們的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？常數(shù)代表的數(shù)量和位置特點(diǎn)是什么，變量代表的數(shù)量和位置特點(diǎn)又是什么？在平面上各個(gè)點(diǎn)之間的位置關(guān)系怎樣？四個(gè)點(diǎn)圍成的四邊形形狀、大小、位置關(guān)系如何？點(diǎn)和四邊形是怎樣運(yùn)動(dòng)變化的？等等.在回答這一系列有著內(nèi)在關(guān)系、自發(fā)涌現(xiàn)的問(wèn)題中，題意就逐漸明朗起來(lái).

對(duì)于運(yùn)動(dòng)變化的圖形，我們通常選取一個(gè)特殊的位置，化動(dòng)為靜，先研究靜態(tài)下的圖形的形狀、大小、位置關(guān)系，進(jìn)而研究其運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律，探索變化中保持不變的性質(zhì).在這過(guò)程，注意數(shù)形結(jié)合，觀察猜想驗(yàn)證，充分運(yùn)用幾何圖形的直觀性.比如，當(dāng)m=0時(shí)，圖形處于一個(gè)特殊的位置，這時(shí)，AD∥y軸，AB∥x軸，且AD=AB，A、P、C共線且在第一象限的角平分線上，由面積關(guān)系，可確定P的位置在線段AC的中點(diǎn)上；當(dāng)m≠0時(shí)，圖形的變化規(guī)律是整體向上平移了m個(gè)單位.

通過(guò)這樣的分析，我們對(duì)題目就有了一個(gè)整體的把握.

（2）探究解題方向

當(dāng)我們對(duì)題目有了整體的把握之后，需要梳理整體與局部的關(guān)系，關(guān)注隱含的、特殊的條件，分析問(wèn)題與條件的關(guān)聯(lián)，借助幾何直觀，確定合理明了的解題方向.

本題中，要解決的問(wèn)題是求解n-m的值，也就是求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，反觀條件，A、C的橫坐標(biāo)已知，只需確定點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)就可以了.當(dāng)然，如果關(guān)系復(fù)雜，也可通過(guò)列關(guān)于m、n的方程求值.這樣，求解的方向就確定下來(lái)了.

（3）選擇解題方法

分析和解決問(wèn)題的方法是多種多樣的，不同的方法運(yùn)算量思維量可能大相徑庭，思維品質(zhì)也不盡相同.比如，如何證明點(diǎn)P在直線AC上？如何證明AC平分∠BAD？如何使用條件 ？這些問(wèn)題如果使用代數(shù)的方法，即解析法，則運(yùn)算量很大，很少能做完整，如果運(yùn)用幾何的方法，就顯得簡(jiǎn)潔明了.不同方法的選擇，體現(xiàn)了思維批判性、靈活性和創(chuàng)造性不同的品質(zhì).

（4）設(shè)計(jì)解題程序

最后，需要設(shè)計(jì)解答過(guò)程的先后順序，做到符合邏輯，先易后難，先合后分，使得解答過(guò)程層次清楚，條理分明，步驟合理.

總之，對(duì)于解析幾何探究題，通過(guò)審題，借助幾何直觀，做到整體把握題意，確定合理的方向，選擇靈活的方法，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔的程序，各個(gè)環(huán)節(jié)相互配合，從而有力破解解題思路.

3.2 對(duì)解題教學(xué)的啟示

（1）熟練掌握基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這是解好綜合題、探究題的基礎(chǔ).

比如，要解決本題，就需要具備熟練解決以下基礎(chǔ)題的技能.

①已知點(diǎn)A（1，m+1）和點(diǎn)D（1，m+a），求A、D兩點(diǎn)間的距離和直線AD的方程.

②已知點(diǎn)A（1，m+1）和點(diǎn)B（a，m+1），求A、B兩點(diǎn)間的距離和直線AB的方程.

③已知點(diǎn)A（1，m+1）和點(diǎn)C（3，m+3），求直線AC與直線x=m+1的夾角，直線AC與直線y=1的夾角.

④求點(diǎn)P（n-m，n）到直線x=m+1和直線y=1的距離.

⑤已知點(diǎn)A（1，m+1）和點(diǎn)C（3，m+3），求AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

⑥已知AP平分∠BAD，AB=AD，求證：S△PAD=S△PAB .

⑦已知△ABC中，P為AC邊上的一點(diǎn)，若S△PAB =S△PBC，求證：P為AC中點(diǎn).

⑧已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線方程，等等.這些基本技能的訓(xùn)練貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程，平時(shí)要充分使用課本習(xí)題，加強(qiáng)變式，熟練掌握基本技能.

同時(shí)，熟練掌握直線、角平分線、三角形、四邊形、平移等相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，積累觀察、猜想、驗(yàn)證、動(dòng)手實(shí)踐、反思質(zhì)疑等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（2）掌握分析和解決探究題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).

綜合題、探究題不是基礎(chǔ)題的拼盤，而是具有內(nèi)在結(jié)構(gòu)的有機(jī)整體，解決探究題與解決基礎(chǔ)題有著本質(zhì)的不同，需要在解題實(shí)踐中不斷摸索提煉，掌握分析和解決問(wèn)題的一些基本的策略、方法，并體驗(yàn)方法的多樣性，把能力提高到新水平.

①訓(xùn)練量要充分.我們反對(duì)刷題，反對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)，但是，一定量的有效訓(xùn)練則是必要的.如果訓(xùn)練不充分，能力水平達(dá)不到，即便是曾經(jīng)練習(xí)過(guò)的類似題目也未必能夠解答得出來(lái).這樣的例子實(shí)在是太多了.

②以提高探究能力為重點(diǎn)，分門別類，加強(qiáng)變式教學(xué).近年來(lái)，廈門市中考含參的解析幾何類的問(wèn)題每年都考，能力要素和層次也大抵相當(dāng)，比如：

題一：（2013年中考倒數(shù)第三題，本題滿分6分） 已知點(diǎn)O是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線y=-x+m+n與雙曲線y=■ 交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（m，n）（m≥2）和B（p，q），直線y=-x+m+n與y軸交于點(diǎn)C，求△OBC的面積S的取值范圍.

題二：（2014年中考倒數(shù)第三題，本題滿分6分）當(dāng)m，n是正實(shí)數(shù)，且滿足m+n=mn時(shí)，就稱點(diǎn)P（m，■）為“完美點(diǎn)”，已知點(diǎn)A（0，5）與點(diǎn)M都在直線y=-x+b上，點(diǎn)B，C是“完美點(diǎn)”，且點(diǎn)B在線段AM上，若MC=■，AM=4■，求△MBC的面積.

題三：（2015年中考倒數(shù)第三題，本題滿分7分）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，n），B（m，n）（m>2）， D（p，q）（q

可見，2016年的這道中考題與2015年的解幾題一脈相承，是在前幾年基礎(chǔ)上推陳出新，因此，如果我們能在教學(xué)中，以能力為導(dǎo)向，分解各個(gè)題目考查的能力要素，加強(qiáng)變式訓(xùn)練，就能取得事半功倍的成效；反之，如果只是機(jī)械重復(fù)的訓(xùn)練，練得再多也將是收效甚微.