反例構(gòu)圖豐富多彩，尺規(guī)作圖蘊(yùn)含其中

高厚良+陳耀忠

摘要：2017年安徽中考卷第20題難度適中，解法多樣，反例構(gòu)圖豐富多彩，動(dòng)態(tài)研究精彩紛呈，試題表述邏輯嚴(yán)密，尺規(guī)作圖蘊(yùn)含其中，經(jīng)典問題，匠心呈現(xiàn)，啟示一線教師關(guān)注平面幾何教學(xué)現(xiàn)狀，深入思考平面幾何教學(xué).

關(guān)鍵詞：安徽中考，解法研究，反例構(gòu)圖，教學(xué)啟示2017年安徽中考卷第20題，取材于教材的反例構(gòu)造，看似簡單，實(shí)則內(nèi)涵豐富，而且解法多樣，是一道優(yōu)秀的平面幾何試題，透過試題表象，可以發(fā)現(xiàn)中考命題組對當(dāng)前平面幾何教學(xué)的深層次思考.本人擬對該題進(jìn)行賞析，并提出一點(diǎn)自己的思考，請同仁們批評指正.

1試題及解法研究

圖1試題（2017年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)卷第20題）如圖1，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，過點(diǎn)C作CE∥AD交△ABC的外接圓O于點(diǎn)E，連接AE.

（1）求證：四邊形AECD為平行四邊形；

（2）連接CO，求證：CO平分∠BCE.

解析對于第（1）問，根據(jù)圓周角定理得∠B=∠E，由∠B=∠D，得∠D=∠E.根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可得AE∥DC，故四邊形AECD是平行四邊形.

說明由于平行四邊形的幾種判定方法本質(zhì)上是相通上，故第（1）問還可通過△AEC≌△CDA，借助一組對邊平行且相等（或兩組對邊分別相等或兩組對角分別相等）的四邊形是平行四邊形證明，限于篇幅，此處不再贅述.

（2）對于第（2）問.

圖2方法一如圖2，過點(diǎn)O作OM⊥EC，ON⊥BC，根據(jù)圓中弦與弦心距的關(guān)系得OM=ON，進(jìn)而確定CO平分∠BCE.

方法二如圖3，連接EO，BO，由△CEO≌△CBO（SSS），得∠ECO=∠BCO，即OC平分∠BCE.

方法三如圖4，連接EO，BO，BE，由CE=BC，得∠CEB=∠CBE.由OE=OB，得∠OEB=∠OBE，故∠OEC=∠OBC.所以∠OEC=∠OCE=∠OBC=∠OCB.圖3圖42反例及構(gòu)圖研究

2.1圖形簡要分析

我們知道“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是一個(gè)假命題，如何構(gòu)圖說明呢？仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，本題正好給出一種反例構(gòu)圖的方式：首先畫出平行四邊形AECD，并作出△AEC的外接圓⊙O，并在⊙O中作EC的等弦BC，四邊形ABCD并不是平行四邊形.

2.2反例其它構(gòu)圖方式

一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形作為初中階段的一個(gè)經(jīng)典問題，其反例構(gòu)圖方式多樣，現(xiàn)呈現(xiàn)如下幾種：

方法1：如圖5，在平行四邊形ABCD中，連接BD，把△BCD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得△B′DC′，使點(diǎn)B′落在AB上，則四邊形AB′C′D中，∠A=∠C′，AD=B′C′，四邊形AB′C′D不是平行四邊形.

圖5圖6方法2：如圖6，平行四邊形ABCD中，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BD長半徑畫弧交CD于點(diǎn)D′，把△BCD′繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使BD′與BD重合，得△BC′D，則四邊形ABC′D中，AD=BC′，∠A=∠C′，四邊形ABC′D不是平行四邊形.

方法3：如圖7，在△ABC中，AB=AC，在底邊BC上取一點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，CD長為半徑畫弧，交△ADC外接圓于點(diǎn)E，連接AE，DE，則在四邊形ABDE中，AB=DE，∠B=∠E，四邊形ABDE不是平行四邊形.

圖7圖8方法4：如圖8，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，在AC上截取AD=BC，以點(diǎn)D為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，則四邊形BCDE中，DE=BC，∠B=∠CDE，四邊形BCDE不是平行四邊形.

方法5：如圖9，兩等圓⊙O1，⊙O2相交于A，C兩點(diǎn)，在⊙O1上取一點(diǎn)B，以C點(diǎn)為圓心，AB長為半徑畫弧，交⊙O2于D，E兩點(diǎn)，則四邊形ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，四邊形ABCD不是平行四邊形.

圖9圖102.3對試題中某些條件的思考

2.3.1試題中為什么刻意強(qiáng)調(diào)AD不平行于BC

四邊形ABCD中，AD與BC有兩種位置關(guān)系，平行或不平行，此處若不強(qiáng)調(diào)AD與BC的位置關(guān)系，則需分類討論，顯然難度有所提高，但在問題解決過程中，卻有重復(fù)之嫌，不能很好地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡潔之美.

2.3.2在圖1的構(gòu)圖過程中，∠EAC的大小是否有限制

如圖10，當(dāng)∠EAC=90°時(shí)，CE是⊙O直徑，根據(jù)CE=CB可得，CB也為⊙O直徑，即CE，CB重合，AD∥BC，與已知矛盾，故∠EAC≠90°.

進(jìn)一步研究會發(fā)現(xiàn)，如圖11，當(dāng)點(diǎn)A為定點(diǎn)，C、E兩點(diǎn)在弦AB兩側(cè)時(shí)，90°<∠EAC<180°，如圖12，當(dāng)點(diǎn)A為定點(diǎn)，C、E兩點(diǎn)在弦AB同側(cè)時(shí)，0°<∠EAC<90°.

圖11圖123對教學(xué)的啟示

3.1堅(jiān)守《課程標(biāo)準(zhǔn)》底線，注重挖掘教材，從教材中尋找教學(xué)素材

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對教師的教，學(xué)生學(xué)的程度、方式等提出了明確的要求，是師生進(jìn)行教學(xué)的最低要求，而教材是實(shí)現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求的最重要載體.在教學(xué)中，應(yīng)充分利用教材中的例題、習(xí)題、閱讀素材等，深入研究，適度改編，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，教學(xué)的需要合理地進(jìn)行整合，串聯(lián)，做到源于教材高于教材.本題即取材于課本，同時(shí)在教師用書課程資源的教學(xué)鏈接部分也給出了假命題的一個(gè)反例構(gòu)圖方式.結(jié)合近幾年安徽中考卷中的幾何題不難發(fā)現(xiàn)，不但給教學(xué)提供了豐富的素材，也對教師如何跳出題海，立足課本中的基本圖形，揭示圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造新的問題等提出了要求.

3.2重視基本圖形，向經(jīng)典致敬，注重?cái)?shù)學(xué)研究的基本方式，基本流程的滲透

試題有背景，題后有“故事”，是安徽中考近幾年幾何試題設(shè)置上的一個(gè)顯著特點(diǎn)，素材選取向經(jīng)典致敬.如2016年第22題“阿基米德窮竭法”的再現(xiàn)，第23題“費(fèi)馬點(diǎn)”構(gòu)圖在問題解決中的應(yīng)用，2017年第10題“將軍飲馬”對稱模型的考查，第20題“反例圖”的構(gòu)造，第23題將“弦圖”、“古埃及三角形”、“黃金分割”三位一體地融合等，無不體現(xiàn)這一特點(diǎn).進(jìn)一步研究不難發(fā)現(xiàn)，第20題還適度展示了數(shù)學(xué)研究的基本過程：確認(rèn)數(shù)學(xué)研究對象——研究對象性質(zhì)——思考判定方法（往往是性質(zhì)的逆命題）.本題先給出了一個(gè)錯(cuò)誤判定方法的反例圖，請孩子們完成一個(gè)正確判定方法的定理，是教材內(nèi)容的深入與繼續(xù)，是從性質(zhì)走向判定經(jīng)常研究的話題，也是試題研究經(jīng)常采用的方式之一.

3.3尊重現(xiàn)實(shí)，加強(qiáng)尺規(guī)作圖，切實(shí)提高學(xué)生的構(gòu)圖能力

能否借助所學(xué)知識，利用尺規(guī)作圖解決問題是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)高低的重要標(biāo)準(zhǔn)之一.近年來安徽中考雖沒有直接考查過尺規(guī)作圖，但研讀2017年安徽中考卷卻不難發(fā)現(xiàn)，命題組還是適當(dāng)加強(qiáng)了對尺規(guī)作圖的考查.第20題各種反例圖的構(gòu)造，就不是輕易可以完成的，同時(shí)在題目的呈現(xiàn)上，所有問題極其嚴(yán)格講究，試題嚴(yán)格按照相關(guān)幾何元素出現(xiàn)的邏輯順序給出，按照題目條件就可以做出相應(yīng)的幾何圖形，為試題的研究提供了保證.再如第18題，安徽中考的必考項(xiàng)目網(wǎng)格作圖也較往年有了一點(diǎn)點(diǎn)的變化，增加了通過構(gòu)圖把兩個(gè)角的和轉(zhuǎn)化為一個(gè)等腰直角三角形一個(gè)底角的考查，這些都滲透了命題組對當(dāng)前幾何教學(xué)的一些思考：針對當(dāng)前平面幾何教學(xué)課時(shí)的減少及閱卷中出現(xiàn)的比較嚴(yán)重的邏輯混亂現(xiàn)象，如何在有限的平面幾何教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)中培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)圖能力、邏輯推理能力，其考查路徑如何選擇等.這些試題的輕微變化所傳遞出的信息值得一線教師認(rèn)真思考.endprint