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    2018-01-05 16:22:43羅峻
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2017年6期
    關(guān)鍵詞:繞點(diǎn)五邊形菱形

    羅峻

    一年一度的中考落下帷幕,總有一些題目值得我們細(xì)細(xì)咀嚼,留下不少余味.本人對(duì)2017年黃石市中考數(shù)學(xué)試卷第10題(選擇壓軸題),作了一些有益的探討,供大家參考與指正.

    1題目再現(xiàn)

    圖1題目(2017黃石第10題)如圖1,已知凸五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)均相等,且∠DBE=∠ABE+∠CBD,AC=1,則BD必定滿足().

    A.BD<2

    B.BD=2

    C.BD>2D.以上情況均有可能

    2解法探討

    這是一道容易猜出答案,但背后卻有深度的選擇壓軸題.畫(huà)出的圖形看起來(lái)△ABC是等邊三角形,但條件并沒(méi)有直接給出,只知道五邊形各邊相等(不含AC),再加一組角的條件.怎樣證明結(jié)論的正確性?解答的突破口為:把分散的兩角組合在一起,可通過(guò)旋轉(zhuǎn)或翻折實(shí)現(xiàn).

    方法一(旋轉(zhuǎn)法)

    圖2分析如圖2,由∠DBE=∠ABE+∠CBD知∠DBE=12∠ABC,可將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC的度數(shù)得△CBP,再證△BED≌△BPD,發(fā)現(xiàn)等邊△CDP,再推出∠ABC=60°即可解決問(wèn)題.

    解法一因?yàn)锳B=BC,將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC的度數(shù),得△CBP,連DP,如圖2.則∠CBP=∠ABE,BE=BP,CP=AE.由∠DBE=∠ABE+∠CBD=∠CBP+∠CBD=∠DBP,即∠EBD=∠DBP,又BD=BD,BE=BP,所以△BED≌△BPD(SAS).所以DP=ED,又DE=AE=CP,所以△CDP是等邊三角形,所以∠DCP=60°.由周角定義知∠BCD+∠BCP=300°,又因?yàn)椤螩BP=∠CPB=12(180°-∠BCP),同理∠DBC=∠BDC=12(180°-∠BCD),兩式相加得∠DBP=∠CBP+∠DBC=12(360°-∠BCP-∠BCD)=12(360°-300°)=30°,所以∠DBP=30°=∠EBD,所以∠ABC=2∠EBD=60°,又AB=BC,所以△ABC是等邊三角形,又AC=1,所以BC=1,所以在△BCD中,BC=CD=1,由三角形任意兩邊之和大于第三邊得BD<2.

    點(diǎn)評(píng)旋轉(zhuǎn)變換是初中幾何內(nèi)容的重要組成部分,是中考的常考內(nèi)容之一,運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,更是幾何高難問(wèn)題的解決途徑和通用方法,具有很高的應(yīng)用技巧和思維含量.

    圖3解法二將△BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC的度數(shù)至△BCF,連接DF,如圖3.由解法一可知△EBD≌△FBD(SAS),△CDF是等邊三角形.

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    所以CB=CD=CF,即點(diǎn)B、D、F在以C為圓心,CB為半徑的圓上.

    由圓周角定理可知,∠DBF=12∠DCF=12×60°=30°,由△BED≌△BFD(已證),所以∠DBE=∠DBF=30°.因?yàn)椤螪BE=∠ABE+∠CBD,∠CBF=∠ABE,所以∠ABC=60°,所以△ABC是等邊三角形,又AC=1,所以BD

    點(diǎn)評(píng)前段部分,運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換解決△CDF是等邊三角形,后段部分運(yùn)用圓的定義,構(gòu)造輔助圓,再運(yùn)用圓周角定理,解決角度問(wèn)題.這種解法較之解法一,更加簡(jiǎn)潔明快,干脆利落.而構(gòu)造輔助圓,往往在教學(xué)中容易被忽略,這需要一線教師重視圓的內(nèi)容,著重引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)圓的基本內(nèi)容方法和基本輔助線的做法,并進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的專(zhuān)題訓(xùn)練.

    方法二(翻折法)

    圖4分析如圖4,由∠DBE=∠ABE+∠CBD,想到將∠ABE和∠CBD分別沿BE、BD翻折得到兩對(duì)全等三角形和幾個(gè)四邊形,由凸五邊形的邊長(zhǎng)相等得出四邊形ABPE、BPDC、ACDE都是菱形,再運(yùn)用這些圖形的特殊性解決問(wèn)題.

    解法三將△ABE沿BE折疊,△BCD沿BD折疊,如圖4,由∠DBE=∠ABE+∠CBD,AB=BC,則AB、BC折疊后重合,設(shè)重合的邊為BP,連AP、EP、PD、PC,這樣△ABE≌△PBE,而AB=AE,所以AB=AE=EP=BP,則四邊形ABPE是菱形,同理四邊形BCDP是菱形,因此AE瘙 綊 BP瘙 綊 CD,則四邊形ACDE是平行四邊形,由已知ED=CD,得ACDE是菱形,又AC=1,則CD=AC=1,所以CD=BC=1,在△BCD中,BD

    點(diǎn)評(píng)圖形的翻折是將一個(gè)圖形沿一條直線折疊的運(yùn)動(dòng),翻折后的圖形與原圖形全等.翻折是一種重要的幾何變換,運(yùn)用圖形的翻折,能將分散的條件集中,為順利解題創(chuàng)造出意想不到的條件.

    為什么能用這三種方法解決?解法一、解法二使用旋轉(zhuǎn)法,不但要將△ABE旋轉(zhuǎn)得到△CBP,還要運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的思想得出△BED≌△BPD.其實(shí)這種證明的模式實(shí)際是“半角模型”的演變,這個(gè)模型的運(yùn)用在平時(shí)教學(xué)中屢見(jiàn)不鮮,是一種典型的解題模式識(shí)別方法,同時(shí)也是一種解題經(jīng)驗(yàn),可見(jiàn)解題模式和解題經(jīng)驗(yàn)在解題中至關(guān)重要.解法三使用翻折法,將△ABE、△BCD翻折后,要能發(fā)現(xiàn)四邊形ABPE、BPDC、ACDE都是菱形,要有善于聯(lián)想的大腦和善于發(fā)現(xiàn)的眼睛.這三種解法都運(yùn)用了圖形變換的思想,還要運(yùn)用不少幾何知識(shí),技巧性強(qiáng),綜合性高,沒(méi)有深厚的平幾功底及敏銳的觀察力是無(wú)法解決的.難道就沒(méi)有其他簡(jiǎn)單一點(diǎn)的方法?經(jīng)過(guò)思考,還是有的,請(qǐng)看:

    方法三(整體代換)圖5分析如圖5,由各邊相等知△ABE、△BCD都是等腰三角形,則∠1=∠3,∠2=∠4,再運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理推導(dǎo)出同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),進(jìn)一步得出AE瘙 綊 CD,四邊形ACDE是菱形,則問(wèn)題解決.

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