多元表征：突破兒童思維品質(zhì)發(fā)展的瓶頸

姚超 卓元

摘? 要：兒童思維在發(fā)展過程中，總會(huì)遇到困頓的現(xiàn)象，就像一個(gè)“淤結(jié)”堵在前行的路上，于是阻止了兒童良好思維品質(zhì)的發(fā)展。致使其思維外顯、可視性不強(qiáng)，導(dǎo)致兒童在思考問題過程不能做到深刻與廣闊，筆者通過引導(dǎo)學(xué)生“你能讓別人一眼就看明白你的思路嗎”“動(dòng)手操作比言語表述效果要好”“誰有不一樣的想法”等促使思維表征多元化的外顯、可視，打通了兒童思維品質(zhì)發(fā)展的“最后一英里”。

關(guān)鍵詞：表征;多元化;思維品質(zhì);突破瓶頸

課堂教學(xué)中有時(shí)當(dāng)一個(gè)問題出現(xiàn)的時(shí)候，經(jīng)過學(xué)生深入思考或在教師引領(lǐng)下的思索，對(duì)問題的理解與掌握有了突破，就是所謂的“會(huì)做了”。當(dāng)這些“會(huì)做了”的學(xué)生，去引領(lǐng)或分析講解其解決過程與策略時(shí)，他講得頭頭是道，而別人聽來是一頭霧水似懂非懂;有時(shí)學(xué)生知道怎么做，卻說不出為什么這樣做，就像平時(shí)所說的“1+1=2”，為什么等于2卻沒有學(xué)生接著說下去。難道學(xué)生在思維中真的不明白嗎？不是，而是學(xué)生不知如何將問題的結(jié)論表征外顯、可視化。筆者在教學(xué)中每每遇到這種情況，都會(huì)停頓下來結(jié)合實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生將內(nèi)隱進(jìn)行外顯、可視達(dá)到共享。

一、你能讓別人一眼就看明白你的思路嗎？

思路決定著出路。好的思路就會(huì)有好的出路，也為同伴指出了前進(jìn)的道路。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程就是明白一個(gè)“理”的過程，這個(gè)“理”就是常說的“算理”，做到知其然還要知其所以然。這樣學(xué)生才會(huì)真正掌握、理解問題，并內(nèi)化成自己的東西。當(dāng)下次用到該知識(shí)點(diǎn)去解決問題或生發(fā)問題時(shí)，無須刻意理解，便會(huì)自然生發(fā)，就像吃過飯長(zhǎng)肉增高一樣，吃進(jìn)去的飯看不到，但長(zhǎng)高變胖卻是外顯可視的。所以，要引領(lǐng)學(xué)生將內(nèi)隱的東西進(jìn)行外顯、可視，達(dá)到合作共贏、互相補(bǔ)充，使明白的更加明白，使不足之處得到彌補(bǔ)。教學(xué)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)《解決問題策略》中，該解決問題的策略是畫線段圖或示意圖，是借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明形象，使學(xué)生在直觀下理解數(shù)學(xué)。直觀理解數(shù)學(xué)問題最直接的描述方式，就是用圖把抽象的數(shù)學(xué)問題直觀地表示出來，進(jìn)而使問題與條件之間的聯(lián)系形象、生動(dòng)，借助直觀圖分析數(shù)量關(guān)系尋求解題思路。這是不斷積累解決問題經(jīng)驗(yàn)，感悟直觀化思想方法，發(fā)展幾何直觀，提高分析、解決問題能力的過程。學(xué)生完整地經(jīng)歷了“理解題意—分析數(shù)量關(guān)系—列式解答—檢驗(yàn)反思”的過程后，面對(duì)富有變化的問題進(jìn)行挑戰(zhàn)性的解決。與教材相配套的蘇教版《練習(xí)與測(cè)試》76頁“應(yīng)用廣角”中一題：一個(gè)邊長(zhǎng)8米正方形，把它一組對(duì)邊增加3米，另一組對(duì)邊增加5米，得到的長(zhǎng)方形面積是多少平方米？問題出現(xiàn)，學(xué)生反映不夠熱烈，于是請(qǐng)唯一舉手的劉家樂幫大家分析，該生站起來直接說8+3=11米，8+5=13米，13×11=143平方米，得到長(zhǎng)方形面積是143平方米。而其他學(xué)生聽完后從眼神中顯出不明白的疑慮。一個(gè)問題的解決讓所有的學(xué)生釋懷才是最好的境界。有疑慮就不能輕松放過?！罢?qǐng)你再給大家講解一遍?！睂?duì)他提出了要求。他只是對(duì)剛才的內(nèi)容重復(fù)了一遍，學(xué)生們的眼神依然還是那種疑慮?！澳隳茏寗e人一眼就看明白你的思路嗎？”這是對(duì)他的詢問。“既然解決問題，就要充分地運(yùn)用解決問題的策略?！彼谖业奶崾竞螅猿亮藥酌?，然后在黑板上畫一個(gè)正方形：

“一組對(duì)邊增加3米?！痹谝唤M對(duì)邊畫出了增加的3米。

“另一組對(duì)邊增加5米?！比缓笤诹硪唤M對(duì)邊畫出增加的5米（如圖1）。

習(xí)題中說兩組對(duì)邊增加后得到一個(gè)長(zhǎng)方形，而現(xiàn)在卻是長(zhǎng)方形缺了一角，應(yīng)怎么辦？這另外一組對(duì)邊不應(yīng)該說是原來正方形的對(duì)邊，而是一組對(duì)邊增加3米后圖形的對(duì)邊，形成正確圖形是這樣的，對(duì)他畫的圖形做了調(diào)整，如圖2。

簡(jiǎn)單的一句提醒，由原來的解決問題的語言表征轉(zhuǎn)換成直觀的圖形，通過這個(gè)圖形所有學(xué)生都清楚明白了一組對(duì)邊增加3米，另一組對(duì)邊增加5米，所得到的長(zhǎng)方形圖形，求其面積就迎刃而解了。有時(shí)候就是這樣，同樣的內(nèi)容換一種表征方式就會(huì)豁然開朗?？磥硪痪洹澳隳茏寗e人一眼就看明白你的思路嗎”，確是理解問題的另一條出路。劉家樂從自己的直觀圖形表征下，加深了對(duì)此問題的理解，同學(xué)們也知道長(zhǎng)方形得來的原因。圖形的直觀表征方式，使學(xué)生感受到畫圖描述和分析問題，對(duì)問題解決的價(jià)值。這培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀，提高分析和解決問題的能力，獲得了解決問題的成功體驗(yàn)，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

二、動(dòng)手操作比語言表述效果要好

對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容表征的形式是多樣的。有一位老師談到引導(dǎo)學(xué)生對(duì)1/2的表征，有的是“二分之一”;有的用一個(gè)蘋果仔細(xì)地從中間一開兩半，其中一半是1/2;有的說班級(jí)有40名同學(xué)，其中男生20人，男生人數(shù)占班級(jí)人數(shù)的1/2……不管采用什么樣的表征方式，最終目的在于創(chuàng)新，讓對(duì)方清晰明了。有些數(shù)學(xué)內(nèi)容，即使用語言描述得再細(xì)致，但在學(xué)生的思維當(dāng)中仍然形成不了其理解下的思維表征，對(duì)于此類內(nèi)容只可意會(huì)不可言傳。在認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形基礎(chǔ)上，繼續(xù)深入學(xué)習(xí)三角形。三角形的三邊關(guān)系不能僅局限于一個(gè)結(jié)論：三角形任意兩邊之和大于第三邊。但其后還有一個(gè)對(duì)學(xué)生思維發(fā)展跳躍的臺(tái)階，那就是三角形穩(wěn)定性的特征。徹底理解了三角形穩(wěn)定性特征，學(xué)到的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，而且豐富了生活體驗(yàn)，從這一點(diǎn)來說就把數(shù)學(xué)與生活結(jié)成一家親。

師：同學(xué)們理解了三角形三邊之間關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊?，F(xiàn)在做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，用3根木條釘成三角形框架用力去拉，看看三角形框架形狀會(huì)發(fā)生變化嗎？先猜測(cè)一下。

生：不會(huì)變。

生：會(huì)變。

師：根據(jù)這兩種結(jié)論，我們用事實(shí)說話。（安排學(xué)生拉三角形框架進(jìn)行實(shí)驗(yàn)）

生（齊說）：沒有變化。

師：正因?yàn)槿切斡羞@個(gè)特征，所以許多物體上都用三角形的結(jié)構(gòu)。現(xiàn)在這個(gè)小方凳的腿活動(dòng)了，怎么辦？（拿出方凳子進(jìn)行晃動(dòng)）

生：斜釘一根木條成三角形就不晃動(dòng)了。

師：（釘上木條后，用力晃動(dòng)）為什么釘上木條就晃不動(dòng)了呢？這里有一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)三角形，用錘子順著一個(gè)角用力敲，看看形狀會(huì)不會(huì)變化？

生：長(zhǎng)方形的形狀會(huì)變，三角形的形狀不變。

師：（教師用錘子分別去敲打）結(jié)果是三角形的形狀不變，這一點(diǎn)充分證明了三角形的穩(wěn)定性：當(dāng)一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)度確定后，這個(gè)三角形的形狀、大小就不會(huì)改變。

教師無論用什么樣的語言描述三角形穩(wěn)定性的特征，都不如用直觀形象的動(dòng)手操作表征來“表述”，學(xué)生易理解與掌握，并能很好地運(yùn)用。整個(gè)“砸”三角形和長(zhǎng)方形的過程中，相互對(duì)比，恰到好處地處理了“教”與“學(xué)”的關(guān)系，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，有效地思索猜想，在活動(dòng)中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，感悟了數(shù)學(xué)思想，積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生思維條理性和嚴(yán)密性，發(fā)展了空間觀念。

三、誰有不一樣的想法？

“有一千名讀者，就有一千個(gè)哈姆雷特?！泵總€(gè)人所處視角或思考角度的不同，對(duì)同一問題會(huì)產(chǎn)生不同的看法，所以數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)，教師應(yīng)多問“誰有不一樣的想法？”輕盈的一問會(huì)“釣”出讓人驚喜的“大魚”。談不一樣是對(duì)他人看法的補(bǔ)充，是對(duì)他人看法的質(zhì)疑，是對(duì)他人看法的辯駁，只有說出來自己和別人不一樣，思維上的印跡會(huì)更加清晰與牢固。培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)上敢于提問、質(zhì)問、疑問、責(zé)問，在其“問”下，會(huì)有新的問題產(chǎn)生，使學(xué)習(xí)得以繼續(xù)與深入，通過學(xué)生提出自己的問題，使思維得到了外化，使自己得到與別人接收的描述表征清晰有度。蘇教版四年級(jí)下冊(cè)《三角形內(nèi)角和》教學(xué)，通過師生共同創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)沖突，以疑促思，尋求驗(yàn)證，最后得出不同形狀的三角形內(nèi)角和都是180°。

師：剛才我們接觸的是測(cè)量法，但通過我們實(shí)地檢測(cè)，有時(shí)候測(cè)量不夠準(zhǔn)確，這個(gè)結(jié)論不科學(xué)。誰有不一樣的想法呢？

生1：我是將三角形的三個(gè)內(nèi)角向形內(nèi)折疊，這三個(gè)頂點(diǎn)交在一起，角的兩邊分別重合，就形成一個(gè)平角，平角是180°，說明三角形的內(nèi)角和是180°。（生一邊折疊一邊解釋）。

生2：我的方法更簡(jiǎn)單，我是先畫一個(gè)平角，然后把這三個(gè)角分別剪下來，這樣沿著平角一個(gè)一個(gè)地拼在一起，正好與平角重合。這驗(yàn)證了我的猜想：三角形內(nèi)角和是180°。

師：折疊法和剪拼法比測(cè)量法科學(xué)有效。誰有不一樣的想法？

生3：我的想法更特別一些。我把三角形的三條邊分別延長(zhǎng)成為平角（如圖3），三個(gè)平角的和是：180°×3=540°，我把∠1、∠2、∠3分別剪下來拼在一起成一個(gè)周角，540°-360°=180°，也說明三角形內(nèi)角和是180°。

生4：我的想法是：長(zhǎng)方形的4個(gè)角都是直角，內(nèi)角和是360°，現(xiàn)在沿著對(duì)角線剪開，把剪開后的兩個(gè)三角形進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形一樣大小。也就是把360°平均分成2份，一份就是180°，也證明三角形內(nèi)角和是180°。

學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索解決問題的策略，激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生親歷知識(shí)產(chǎn)生的過程，通過自己語言和行為表征，把自己思維表征傳遞給其他同學(xué)，讓他們?cè)谝捉庀滦纬勺约旱乃季S表征，從而使“授方”與“收方”都能體驗(yàn)到成功的快樂。

黎巴嫩詩人紀(jì)伯倫有詩云：我們已經(jīng)走得太遠(yuǎn)，以至于忘記了為什么出發(fā)。要想不忘記出發(fā)的原因，就不能走得太遠(yuǎn)，在邊行邊走中，換一種思路去驗(yàn)證。認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)表明：一個(gè)問題表征清楚，問題就解決了一半?！皺M看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同?！闭n堂上，教師多問、多暗示的操作演示比用語言描述更清楚……學(xué)生會(huì)將內(nèi)隱的思維外顯而可視，通過畫圖、操作等過程，使新舊知識(shí)不斷分化重組，形成一個(gè)有意義的主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)的過程。這個(gè)過程是對(duì)汲取的信息進(jìn)行加工，重新組織若干已知規(guī)則，形成新的高級(jí)規(guī)則，用以達(dá)到一定的目標(biāo)。所汲取來的將成為解決問題過程的思維素材，即問題解決有個(gè)適合自己的清晰思維表征形式，學(xué)生思維能力隨之發(fā)生變化也即發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。