一道不等式題的空間解析幾何妙解

眾所周知，不等式具有靈活多樣，解法多變的特點，是日常學(xué)習(xí)與考試競賽中的重點之一.其普遍思路以構(gòu)造、證明基本不等式為主，同時也可利用參數(shù)討論、數(shù)形結(jié)合等思想進行求解與證明.對于一些采用常規(guī)解法較為煩瑣的題目，利用一些其他的思想方法進行求解可能會十分簡潔明了.作者針對2015年清華大學(xué)自主招生試題中的一道選擇題提出了一種利用空間解析幾何的簡單解法，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想與方法在一些不等式問題上的妙用，供大家參考.

原始題目已知x，y，z為非負實數(shù)，且滿足等式4x2+4y2+z2+2z=3，求5x+4y+3z的最小值為（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

改編題目已知x，y，z為非負實數(shù)，且滿足等式4x2+4y2+z2+2z=3，求5x+4y+3z的取值范圍.

一、空間解析幾何巧解

思路：利用伸縮變換及空間圖形關(guān)系求解.

由題目4x2+4y2+z2+2z=3，

則4x2+4y2+（z+1）2=4.

令m=2x，n=2y，p=z，

則上式寫作m2+n2+（p+1）2=22，

待求式寫作5x+4y+3z=52m+2n+3p.

以m，n，p為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

根據(jù)空間直角坐標系中球體方程，不難得出，m2+n2+（p+1）2=22在坐標系中的圖像是以點A（0，0，-1）為球心，半徑為2的球面.

∵m=2x≥0，n=2y≥0，p=z≥0，

∴僅考慮第一卦限及坐標軸正半軸的圖形.

下面，計算球面與坐標軸正半軸的交點分別為B（3，0，0），C（0，3，0），D（0，0，1），交點如圖所示.

以待求式構(gòu)建動平面RST的方程

t=52m+2n+3p（t≥0）.

可求得在m，n，p軸上截距分別為25t，12t，13t.

不難發(fā)現(xiàn)，在t變化時，上述方程表示的圖形為截距比恒定的一系列平行平面.

動平面與球面有交點時t值構(gòu)成的集合即為t的取值范圍，即為所求.

分析可知，動平面與球可能相切或相交.當相切時，恰有t滿足題意且最大.

（一）求解最大值

利用點到面的距離公式d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2，

必有球心（0，0，-1）到動平面52m+2n+3p-t=0的距離小于等于半徑2，即

d=|-3-t|522+22+32≤2，

解得0≤t≤77-3.

當且僅當t=77-3時，動平面與球相切，如圖中平面R1S1T1，t滿足題意且最大.

（二）最小值求法

在t逐漸減小的過程中，為保證球面與動平面在第一卦限始終有交點，還需滿足動平面在坐標軸的截距不全小于球面在坐標軸上相應(yīng)截距的大小.

則滿足25t≥3或12t≥3或13t≥1即可，解得t≥3.

當t=3時，如圖中平面R2S2T2與球面交于D點，t滿足題意且最小.

從圖中動平面RST的變化來看，不難得出，由平面R1S1T1移動至平面R2S2T2的過程中，t的取值變化連續(xù)，且單調(diào)遞減.

綜上所述，3≤t≤77-3，即5x+4y+3z∈[3，77-3].

二、總結(jié)與體會

我們知道，常規(guī)解法對于學(xué)生計算的精準度有較高的要求，特別是在限時考試中，對學(xué)生思考與計算的速度也是一個較大的考驗；而本題的空間解析幾何解法雖然在思維上要求略高，但計算頗為簡潔，而且其背后所蘊含的數(shù)形結(jié)合思想也是十分值得大家深入思考與靈活運用的.具體問題具體分析，靈活運用各種數(shù)學(xué)思想，才能對于題目有更深、更多方面的理解與感悟.

注：

原始題目出處：2015年清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計劃筆試試題.

題目改編人與常規(guī)解法提供者：中國人民大學(xué)附屬中學(xué).侯立偉，吳中才.

空間解析幾何解法提供者：中國人民大學(xué)附屬中石弼釗.endprint