把握本質(zhì)，借“題”發(fā)揮，提高實(shí)效

王友春

高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)離不開解題，但題不在多，而在于讓學(xué)生“學(xué)一題，觸一類，通一片”；“一個(gè)專心的、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像一道門，把學(xué)生引入到一個(gè)完整的理論區(qū)域”（數(shù)學(xué)家波利亞）.教師在解題教學(xué)中，理應(yīng)科學(xué)、合理地設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題，形成一個(gè)螺旋式上升的“問(wèn)題串”，從本質(zhì)上去引領(lǐng)學(xué)生探究、解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.本文筆者結(jié)合自己的一次教學(xué)實(shí)踐，通過(guò)對(duì)出現(xiàn)在函數(shù)題中含全稱、存在量詞的一系列問(wèn)題（問(wèn)題串）的分析、探究，以期提高學(xué)生的探究思維能力和課堂的教學(xué)實(shí)效，不妥之處敬請(qǐng)方家指教.

一、問(wèn)題的引入

問(wèn)題1已知函數(shù)f（x）=x-lnx，g（x）=x2-2ax，a∈R，命題“x∈[1，e]，f（x）≤g（x）成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析∵x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，∴對(duì)f（x）≤g（x）實(shí)行“分離變量”，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的最值問(wèn)題.

解∵x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，∴x∈[1，e]時(shí)，x-lnx+2ax-x2≤0，即a≤x2+lnx-x2x恒成立，設(shè)h（x）=x2+lnx-x2x（x∈[1，e]），則h′（x）=x2+1-lnx2x2，設(shè)k（x）=x2+1-lnx，由k′（x）=2x2-1x得：當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，k′（x）>0恒成立，∴k（x）在[1，e]上是增函數(shù)，而k（1）=1>0，∴h′（x）>0（x∈[1，e]），∴h（x）在[1，e]上也是增函數(shù)；∵h(yuǎn)min（x）=h（1）=1，∴a≤1.

評(píng)注1.對(duì)于含參數(shù)a的不等式f（x）≤g（x）（或f（x）≥g（x））恒成立問(wèn)題，可以實(shí)施“分離變量”轉(zhuǎn)化為a≤h（x）（或a≥h（x））恒成立，進(jìn)而使a≤hmin（x）（或a≥hmax（x））即可；也可以轉(zhuǎn)化為f（x）-g（x）≤0（或f（x）-g（x）≥0）恒成立，進(jìn)而使[f（x）-g（x）]max≤0（或[f（x）-g（x）]min≥0）即可.

2.為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的探究思維，由此題的分析和解決，筆者就以“問(wèn)題1”為引例，“借”題發(fā)揮，設(shè)計(jì)了一系列問(wèn)題，讓學(xué)生“學(xué)一題，觸一類，通一片”，努力使得本次課成為一次生動(dòng)的習(xí)題探究課.

二、總結(jié)與反思

筆者設(shè)計(jì)的7個(gè)問(wèn)題以問(wèn)題1為源頭借“題”發(fā)揮，進(jìn)行引申與拓展，給出了函數(shù)題中含全稱、存在量詞的命題的常見類型及其轉(zhuǎn)化方法，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)潔有效地解決.探究的這些問(wèn)題及其解法并不是孤立的，而是相互聯(lián)系和滲透的，這一“串”問(wèn)題及其探究過(guò)程不僅是引領(lǐng)學(xué)生們?nèi)ヂ?lián)想、探索、探究出某類問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律，也是幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力、提升思維水平、形成數(shù)學(xué)品質(zhì)的重要途徑和提高數(shù)學(xué)課堂效益的主要手段.

（一）善于借“題”發(fā)揮，自覺積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)

解題也是一種創(chuàng)新，作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)和把握其中的方法和規(guī)律對(duì)以后解題的幫助是很大的，而善于借“題”發(fā)揮，編題變式訓(xùn)練是解題經(jīng)驗(yàn)自覺積累的有效途徑.如在上述問(wèn)題的探究后我們可以將其中的條件或結(jié)論適當(dāng)變化，編設(shè)出一些新題，進(jìn)而鞏固方法，辨析異同，提升能力.

波利亞曾形象地說(shuō)“好問(wèn)題同某些蘑菇有些相似，它們大都成堆地成長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能就有幾個(gè)”.通過(guò)學(xué)生的編題變式訓(xùn)練進(jìn)行模仿求解，使其思維得到強(qiáng)化，理解更加深入，這是我們教學(xué)中應(yīng)當(dāng)倡導(dǎo)的.

（二）數(shù)學(xué)的方法和思維必須親歷方曉曲折和樂(lè)趣

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生普遍存在“一學(xué)就懂、一考就懵”、“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象，課上聽得懂，課后自己解“還是不會(huì)”；知道某類題可以這樣操作，但具體解決時(shí)錯(cuò)誤百出，等等.因此，作為數(shù)學(xué)教學(xué)更需要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生親歷解決或運(yùn)算過(guò)程，增強(qiáng)運(yùn)算的基本功和探究中的可行性分析和預(yù)判能力；更需要指導(dǎo)學(xué)生“明算理、優(yōu)算法、重突破”；如上面的問(wèn)題3和問(wèn)題7，分類討論的思想學(xué)生都能想到，但為了優(yōu)化問(wèn)題的解決，可以引導(dǎo)學(xué)生采用“正難則反”的思想，其實(shí)也就是“求簡(jiǎn)變通”的思想，并留時(shí)間讓學(xué)生親自操作，提高實(shí)效.

解題教學(xué)強(qiáng)調(diào)講題要講透，但“透”并非僅僅是分析到位、展示詳盡，更要讓學(xué)生們能達(dá)到“會(huì)一題、通一類”的效果，透過(guò)現(xiàn)象、抓住實(shí)質(zhì)、把握規(guī)律，提升理性思維能力，這應(yīng)該是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)思想和根本目標(biāo).

（三）思考和反思能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加投入和深入

所謂的解題反思實(shí)際上就是在一個(gè)問(wèn)題解決后再進(jìn)行如下的探索：本題的命題意圖是什么？本題考查了那些知識(shí)和能力？解題過(guò)程是否正確、合理？本題還有沒有其他的解法或者更優(yōu)的解法？能否推廣本題的解法或結(jié)論，得到更具一般性的結(jié)論？這些反思有助于學(xué)生在原有基礎(chǔ)上的提高，進(jìn)一步建構(gòu)更高層次的認(rèn)知.因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要經(jīng)常對(duì)所學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行歸納總結(jié)，探尋突破口和規(guī)律；對(duì)比較典型的問(wèn)題（如上面的問(wèn)題）要留足時(shí)間讓學(xué)生認(rèn)真審題，理解問(wèn)題的本質(zhì)；在問(wèn)題探究中應(yīng)盡可能地引領(lǐng)學(xué)生多方法、多角度地思考和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的“一題多解、一題多變、多題同解”地訓(xùn)練，既能促進(jìn)學(xué)生深入理解知識(shí)，又能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，從中學(xué)到“等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合”等基本的數(shù)學(xué)思想.

總之，在解題教學(xué)和學(xué)習(xí)中我們應(yīng)該更多地關(guān)注解題分析，不僅關(guān)注如何獲得解答，更要對(duì)“解答”進(jìn)一步分析而增強(qiáng)解題能力、優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思考”.真正實(shí)現(xiàn)羅增儒先生倡導(dǎo)的“通過(guò)有限的典型例題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無(wú)限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智”.

【參考文獻(xiàn)】

[1]蘇明亮.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中要善于借“題”發(fā)揮[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（4）：30-32，43.

[2]樊宏標(biāo).利用問(wèn)題串優(yōu)化習(xí)題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生探究能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2016（4）：37-40.endprint