單位球面中Clifford環(huán)面的剛性定理*

胡傳峰， 姬 秀

(長江大學(xué) 文理學(xué)院， 湖北 荊州 434000)

單位球面中Clifford環(huán)面的剛性定理*

胡傳峰， 姬 秀

(長江大學(xué) 文理學(xué)院， 湖北 荊州 434000)

主曲率； 數(shù)量曲率； Clifford環(huán)

0 引 言

1 預(yù)備知識

設(shè)Mn是單位球面Sn+1(1)中的緊致極小超曲面， 在Sn+1中選取標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場e1,…,en+1， 使得限制于Mn時，e1,…,en與Mn相切. 令w1,…,wn+1是上述標(biāo)架的對偶標(biāo)架， 并約定各類指標(biāo)范圍為

1≤A，B，C…≤n+1， 1≤i,j,k…≤n.

在Sn+1(1)上， 結(jié)構(gòu)方程為

KABCD=δACδBD-δADδBC.

限制于Mn時，

wn+1=0，wn+1i=hijwj，hij=hji,

由式(2)得

用hijk及hijkl分別表示hij的一階， 二階共變導(dǎo)數(shù)， 則有

進(jìn)而有如下Codazzi方程和Ricci恒等式

定義hij的Laplace為

2 主要定理及證明

證明為方便起見， 用g表示gj.

充分性： 設(shè)βij=0,i=1,…,n， 則由已知條件可得gj=n.

證畢.

證明選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)架， 使得hij=λiδij， 且設(shè)λn<0<λ1≤λ2≤…≤λn-1， 定義

則有

由S為常數(shù)可得

由式(11)， 式(13)和式(14)及等式

可得

SΔF=

將等式

代入式(15)得

SΔF=

即第三項也非正. 接下來， 證明第四項也非正.

n.

定義βij=hiij， 則λi，βij滿足定理1的條件. 若固定j∈{1,…,n-1}， 則由定理1得到|hnnj|≠max{|hiij|,i=1,…,n} 或者h(yuǎn)nnj=0. 用gj∈In-1={1,…,n-1} 表示使得等式|hgjgjj|=max{|hiij|,i=1,…,n} 成立的指標(biāo). 考慮In-1的子集A={j∈In-1；gj=j}，B={j∈In-1；gj≠j，n}，C={j∈In-1；gj=n}. 不失一般性可令A(yù)={1,…，r}，B={r+1,…,t}，C={t+1,…,n-1}. 這里我們約定若A為空集， 則r=0； 若B為空集， 則t=r； 若C為空集， 則t=n-1. 比如若B為空集， 則A={1,…，r}，C={r+1,…,n-1}.

下面我們用更簡單的方式記

(n-S).

因此有

由Mn緊致可得

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RigidityTheoremofCliffordTorusinaUnitSphere

HU Chuan-feng, JI Xiu

(College of Arts and Science， Yangtze University, Jingzhou 434000, China)

principal curvature； scalar curvature； Clifford torus

1673-3193(2017)03-0260-04

2016-09-06

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究基金資助項目(B2016453, B2016458)

胡傳峰(1978-)， 男， 講師， 碩士， 主要從事微分幾何的研究.

O186.12

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.03.002