四步相移法的非線性相位誤差補(bǔ)償方法*

趙賢凌， 劉建生， 張華煜， 武迎春

(1. 太原科技大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院， 山西 太原 030024； 2. 太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 山西 太原 030024)

四步相移法的非線性相位誤差補(bǔ)償方法*

趙賢凌1,2， 劉建生1， 張華煜1， 武迎春2

(1. 太原科技大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院， 山西 太原 030024； 2. 太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 山西 太原 030024)

在相位測(cè)量輪廓術(shù)中， 測(cè)量系統(tǒng)的gamma非線性是相位誤差的主要來(lái)源. 系統(tǒng)gamma非線性使變形光柵條紋圖像中出現(xiàn)高次諧波， 從而引起展開相位存在周期性誤差. 對(duì)于四步相移法， 三次諧波是引起周期性誤差的主要因素. 通過建立四步相移法的相位誤差和主相位的關(guān)系模型， 在系統(tǒng)gamma值未知的情況下， 對(duì)非線性相位誤差進(jìn)行了補(bǔ)償. 計(jì)算機(jī)仿真表明， 當(dāng)系統(tǒng)的gamma值為2.2時(shí)， 使用本方法補(bǔ)償前后的相位誤差波動(dòng)幅值分別小于0.006 3 rad和0.000 354 rad； 實(shí)驗(yàn)證明， 一個(gè)平面白板展開相位的均方根(RMS)在誤差補(bǔ)償后從0.035 rad降低到0.007 rad， 相位誤差的最大值從0.086 7 rad減小到0.030 8 rad.

誤差補(bǔ)償； 四步相移法； gamma非線性； 三次諧波； 諧波系數(shù)

相位測(cè)量輪廓術(shù)(Phase Measuring Pro-filometry, PMP) 是一種測(cè)量精度高、 測(cè)量速度快和測(cè)量范圍廣的非接觸測(cè)量方法， 被廣泛應(yīng)用在工業(yè)檢測(cè)、 逆向工程和人體測(cè)量等領(lǐng)域[1-3]. 它通過采集多幀有一定相移且受物體表面調(diào)制的結(jié)構(gòu)光條紋圖像獲取相位信息[4-6]， 并根據(jù)投影儀和攝像機(jī)的內(nèi)外標(biāo)定矩陣獲取被測(cè)物體表面的三維信息[7-8]. 在實(shí)際測(cè)量中， 變形光柵條紋圖像會(huì)受到投影儀和攝像機(jī)的gamma非線性影響而呈現(xiàn)非正弦性， 因此硬件的gamma非線性成為相位測(cè)量輪廓術(shù)中相位誤差的一個(gè)主要來(lái)源[9-10]， 如何消除非線性誤差便成為相位測(cè)量輪廓術(shù)研究的一個(gè)熱點(diǎn). 為了克服由gamma非線性引起的相位誤差， 許偉等[11]采用二次多項(xiàng)式最小二乘擬合法近似輸出條紋光強(qiáng)分布， 實(shí)現(xiàn)了包裹相位波動(dòng)誤差的補(bǔ)償， 減小了投影儀非線性導(dǎo)致的系統(tǒng)測(cè)量誤差； 周平等[12-13]建立了環(huán)境光和相位誤差之間關(guān)系的模型， 使相位誤差明顯減小， 但是該方法需要投射全白和全黑圖案到均勻平面白板上以確定變形條紋圖像的平均灰度和調(diào)制度， 在一些工業(yè)生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)， 此種方法是不實(shí)用的； Lei等[14]提出了用多頻反相位誤差法補(bǔ)償相位的非線性誤差， 投影儀將兩套初相位相差π/4的相移光柵條紋圖像投射到物體表面， 將兩套光柵條紋圖像的包裹相位取平均值， 可以達(dá)到抑制gamma非線性誤差的目的， 但是此方法需要投射兩倍數(shù)量的光柵條紋圖像， 因此測(cè)量效率較低.

1 四步相移法的相位誤差補(bǔ)償方法

投影儀與相機(jī)的gamma非線性效應(yīng)可被整體視為系統(tǒng)的γ值， 投射到被測(cè)物體表面的正弦條紋圖像被物體表面調(diào)制后， 若攝像機(jī)采集到的變形光柵圖像沒有發(fā)生飽和， 則變形光柵條紋圖像中某像素點(diǎn)的光強(qiáng)值可以表示為[10]

式中：γ為系統(tǒng)的gamma非線性值；α為常數(shù)；φ為畸變光柵的相位主值；Mn和Nn分別為第n幅變形光柵條紋圖像的平均強(qiáng)度和調(diào)制度,δn=2π(n-1)/4，n=1,2,3,4.

對(duì)于四步相移法， 假設(shè)4幅圖像的平均強(qiáng)度和調(diào)制度相等， 則式(1)可以簡(jiǎn)記為

再將式(2)變換為

將式(3)按照廣義二項(xiàng)式定理展開為

根據(jù)余弦降冪公式， 式(4)可以改寫為

式中：B0為變形光柵條紋圖像的直流分量系數(shù)，Bk(k是整數(shù))為k次諧波的系數(shù). 當(dāng)γ是整數(shù)， 且k>γ時(shí)，Bk=0； 當(dāng)γ是非整數(shù)時(shí)，Bk是一個(gè)無(wú)限序列之和且收斂，Bk可表示為

由式(6)和式(7)可知， 要求得Bk就必須先求系統(tǒng)的gamma值. 一般情況下， 系統(tǒng)的gamma值并不是一個(gè)整數(shù)， 因此變形光柵條紋圖像中存在高次諧波(Bk≠0)導(dǎo)致相位誤差的存在. 在實(shí)際光柵圖像中， 很少發(fā)現(xiàn)由高于三次諧波的高頻諧波引起的相位誤差[15]， 并且Bk會(huì)隨著k值的增大而迅速減小[12]， 因此本文考慮的最高諧波為三次諧波. 將δn=2π(n-1)/4代入式(5)得到In(n=1,2,3,4)的表達(dá)式為

采用四步相移法得到的相位主值φ′為

式中：φ為理想的相位主值,

相位誤差Δφ=φ-φ′， 由式(8)～(10)可得

利用正切函數(shù)的差公式， 并將式(8)和式(9)代入式(11)可得

(12)

由式(12)可得相位誤差Δφ和理想相位主值φ之間的關(guān)系如式(13)所示

為了改變投影儀投射圖案的視覺效果， 普通的商用投影儀的γ值一般大于1， 美國(guó)國(guó)家電視系統(tǒng)委員會(huì)推薦的γ值為2.2， 而投影儀的gamma非線性是攝像機(jī)和投影儀引起非線性誤差的主要因素[16]. 當(dāng)γ=2.2，p=0.8(在有環(huán)境光的條件下，p<1)時(shí)， 由式(6)和式(7)求得B3/B1=0.006 3， 由式(13)可得， Δφ是一個(gè)周期函數(shù)且 |Δφ|≤0.006 3 rad； 當(dāng)γ=4.0，p=0.8時(shí)，B3/B1=0.099 3， |Δφ|≤0.099 3 rad， |Δφ|隨著γ值的增大而增大. 當(dāng)|Δφ|≤0.099 3 rad 時(shí)， 式(12)和式(13) 的差值小于2.419×10-4rad， 在實(shí)際測(cè)量中可以近似認(rèn)為式(12)和式(13)等價(jià)， 將B3/B1簡(jiǎn)記為β， 式(13)可簡(jiǎn)化為

假設(shè)Δφ′為

同理， 式(15)可簡(jiǎn)化為

由式(14)和式(16)計(jì)算得補(bǔ)償相位Δφ和Δφ′之差為

由式(16)可知， 當(dāng)β=0.006 3(γ=2.2，p=0.8)時(shí)， |Δφ′-Δφ|≤0.025 7|Δφ|； 當(dāng)β=0.054(γ=3.2，p=0.8)時(shí)， |Δφ′-Δφ|≤0.255|Δφ|. 當(dāng)β分別取值為0.006 3(γ=2.2，p=0.8)， 0.054 (γ=3.2，p=0.8)和0.099 3(γ=4.0，p=0.8)時(shí)， 由式(13)和式(15)計(jì)算可得|Δφ′-Δφ|分別小于7.94×10-5， 0.005 2和0.020 8 rad， |Δφ| 分別小于0.006 3， 0.054和0.099 3 rad. 當(dāng)γ由2.2增大到4.0時(shí)， 補(bǔ)償精度隨系統(tǒng)γ值的增大有所降低， 但是仍然能有效減小gamma非線性誤差的波動(dòng)幅度. 因此在實(shí)際測(cè)量中， 可以由下式近似計(jì)算相位誤差補(bǔ)償值

式中：B1和B3分別為變形光柵條紋圖像一次諧波和三次諧波的幅值. 由式(6)和式(7)可知，B1和B3與系統(tǒng)的γ和p值有關(guān)， 在系統(tǒng)的γ和p值未知的情況下可考慮用頻域變換法得到B3. 即對(duì)變形光柵條紋圖像進(jìn)行傅立葉變換， 用濾波器取頻譜圖像的三次諧波后進(jìn)行傅里葉逆變換， 在物體表面起伏平緩區(qū)域的三次諧波的幅值約等于B3.

2 仿 真

為了驗(yàn)證該算法對(duì)減小非線性噪聲的有效性， 進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真. 計(jì)算機(jī)生成一個(gè)橢圓物體， 如圖1(a)所示.

圖 1 B3/B1的計(jì)算步驟Fig.1 Algorithm steps for B3/B1

采用標(biāo)準(zhǔn)四步相移法， 當(dāng)γ=2.2，α=1，M=0.5，N=0.4時(shí)， 采用式(2)計(jì)算的一幅變形光柵條紋圖像模擬攝像機(jī)采集到的圖像， 如圖1(b)所示. 對(duì)圖1(b)進(jìn)行傅立葉變換， 其頻譜如圖1(c)所示. 由于三次諧波相對(duì)于基波幅度較小， 因此采用分貝(dB)作為單位以清晰地顯示三次諧波. 用巴特沃斯濾波器取三次諧波如圖1(d)所示. 對(duì)圖1(d)進(jìn)行逆傅里葉變換， 得到三次諧波的時(shí)域圖像如圖1(e)所示. 圖1(b)和圖1(e)第256行對(duì)比如圖1(f)所示， 在物體表面形狀緩變區(qū)域的幅度系數(shù)B3約為0.005 04 rad， 本次試驗(yàn)中B3/B1約等于0.006 3. 由于圖1(d)中沒有直流分量， 為了對(duì)比基波和三次諧波的幅度大小， 將三次諧波沿著Y軸正方向平移0.4得到圖1(b)和1(e)的對(duì)比圖 (第256行)， 如圖1(f)所示.

將B3/B1=0.006 3代入式(18)得到相位誤差補(bǔ)償值， 如圖2(a)所示. 圖2(b)和圖2(c)分別是相位補(bǔ)償前后物體的相位高度圖. 圖2(d)是圖2(b) 和圖2(c)第256行對(duì)比， 可見相位誤差補(bǔ)償后物體表面的周期性誤差明顯減小. 圖2(e)和圖2(f)分別是補(bǔ)償前后的相位誤差分布， 補(bǔ)償前誤差波動(dòng)幅度為0.006 3 rad， 補(bǔ)償后誤差波動(dòng)幅度為0.000 354 rad. 當(dāng)系統(tǒng)的gamma值為2.2時(shí)， 采用本文所提方法， 由非線性引起的相位誤差的波動(dòng)幅值減小到補(bǔ)償前相位誤差的波動(dòng)幅值的1/17以下， 因此采用本方法極大地減小了投影儀和攝像機(jī)的非線性引起的相位誤差.

圖 2 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果Fig.2 Simulated measurement

3 實(shí) 驗(yàn)

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)本文所提算法的正確性， 在實(shí)驗(yàn)室采用四步相移法對(duì)一個(gè)邊緣形狀突變和一個(gè)表面形狀有明顯凹凸變化的物體分別進(jìn)行測(cè)量， 并采用本文所提方法進(jìn)行相位誤差補(bǔ)償. 本次實(shí)驗(yàn)中投影儀和攝像機(jī)型號(hào)分別為EPSON cb-x18和維視MV-VD200SC； 攝像機(jī)和投影儀的分辨率分別為960×1 280和1 024×768. 將攝像機(jī)和投影儀放置在距離測(cè)量物體約1 m處， 投影儀將4幅初相位相差π/2的正弦光柵條紋圖像投射到邊緣形狀突變的物體表面， 攝像機(jī)采集變形的光柵條紋圖像， 其中一幅如圖3(a)所示， 其幅度譜如圖3(b)所示， 可見光柵條紋圖像中包含明顯的三次諧波. 誤差補(bǔ)償前后的物體相位高度如圖3(d)和圖3(e)所示， 相位誤差補(bǔ)償后， 物體表面明顯光滑. 圖3(f)和圖3(g)分別是圖3(d)和圖3(e)的局部放大圖(第350行到400行， 第250列到300列， 51×51的區(qū)域). 圖3(h)是圖3(d)和圖3(e)的第200行的對(duì)比圖， 相位誤差補(bǔ)償后的波動(dòng)幅度明顯減小.

在相同的實(shí)驗(yàn)條件下， 使用該測(cè)量系統(tǒng)對(duì)表面形狀有明顯凹凸變化的物體進(jìn)行測(cè)量. 圖4(a)是被測(cè)物體， 攝像機(jī)采集到的一幅被測(cè)物體的變形光柵條紋圖像如圖4(b)所示， 其幅度譜如圖4(c)所示； 圖4(d)和圖4(e)分別是誤差補(bǔ)償前后的相位高度圖； 圖4(f)和圖4(g)分別是圖4(d)和圖4(e)的局部放大圖(第150行到200行, 第80列到120列， 51×41的區(qū)域)， 可見誤差補(bǔ)償后物體表面的周期性誤差得到了明顯的抑制； 圖4(h)是圖4(f)和圖4(g)的第6行的對(duì)比圖， 可見補(bǔ)償后的周期性相位誤差波動(dòng)幅度明顯減小.

圖 3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果1Fig.3 Experimental resuts (1)

圖 4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果2Fig.4 Experimental resuts (2)

為了進(jìn)一步確定該方法的測(cè)量精度， 在相同的實(shí)驗(yàn)條件下， 使用該測(cè)量系統(tǒng)對(duì)一個(gè)平面白板進(jìn)行相位展開和補(bǔ)償實(shí)驗(yàn). 圖5(a)是攝像機(jī)采集到的一幅變形光柵條紋圖像， 其幅度譜如圖5(b)所示; 誤差補(bǔ)償前后的平面的展開相位高度如圖5(d)和圖5(e)所示; 圖5(f)和圖5(g)分別是圖5(d)和圖5(e)的局部放大圖(第100到150行， 第130到180列， 51×51的區(qū)域); 圖5(h)是圖5(f)和圖5(g)的第6行對(duì)比圖. 誤差補(bǔ)償前后， 相位誤差的最大值分別是0.086 7 rad和0.030 8 rad； 相位補(bǔ)償前后平面白板展開相位的均方根(RMS)分別是0.035 rad和0.007 rad.

圖 5 測(cè)量精度實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.5 Experimental results of measurement accuracy

4 結(jié) 論

本文建立了四步相移法的gamma非線性相位誤差和相位主值(包含相位誤差的相位主值)之間的關(guān)系模型， 并用三次諧波的逆傅立葉變換估計(jì)了變形光柵條紋圖像中的三次諧波幅值. 仿真實(shí)驗(yàn)證明， 當(dāng)系統(tǒng)的gamma值為2.2時(shí)， 使用本方法補(bǔ)償相位誤差后， 誤差波動(dòng)幅度降低到原來(lái)波動(dòng)幅度的1/17； 實(shí)驗(yàn)證明， 一個(gè)平面白板的展開相位的RMS在誤差補(bǔ)償前后分別是0.035 rad和0.007 rad， 誤差補(bǔ)償后， 平面白板展開相位的最大誤差從0.086 7 rad降低到0.030 8 rad. 使用本文所提方法有效減小了四步相移法由系統(tǒng)gamma非線性引起的周期性相位誤差.

[1] Park Y, Scaffardi M, Poti L. Simultaneous single-shot real-time measurement of the instantaneous frequency and phase profiles of wavelength-division-multiplexed signals[J]. Optics Express, 2010,18(6)： 6220-6229.

[2] Lei H, Chang X Y, Wang F, et al. A novel algorithm based on histogram processing of reliability for two-dimensional phase unwrapping[J]. Optik, 2015, 126(18)： 1640-1644.

[3] Song K C, Hu S P, Wen X, et al. Fast 3D shape measurement using Fourier transform profilometry without phase unwrapping[J]. Optics and Lasers in Engineering, 2016, 84： 74-81.

[4] Peng K, Cao Y P, Wu Y C, et al. A new method using orthogonal two-frequency grating in online 3D measurement[J]. Optics and Laser Technology, 2016, 83： 81-88.

[5] Song L M, Chang Y L, Xi J T, et al. Phase unwrapping method based on multiple fringe patterns without use of equivalent wavelengths[J]. Optics Communications, 2015, 355(15) ： 213-224.

[6] Huang H F. A fast multi-baseline and multi-frequency band phase-unwrapping algorithm[J]. Measurement, 2014, 49： 401-406.

[7] Din I, Anwar H, Syed I H, et al. Projector calibration for pattern projection systems[J]. Journal of Applied Research and Technology, 2014, 12(1)： 80-86.

[8] Chen Y J, Wang K Q, Zuo W M, et al. A novel projector calibration method based on improved two-frequency grating projection[J]. ICIC Express Letter B , 2012, 3(1)： 71-76.

[9] Ye X, Cheng H B, Wu H Y, et al. Gamma correction for three-dimensional object measurement by phase measuring profilometry[J]. Optik, 2015, 126(24)： 5534-5538.

[10] Hoang T, Pan B, Nguyen D, et al. Generic gamma correction for accuracy enhancement in fringe-projection profilometry[J]. Optics Letters, 2010, 35(12)： 1992-1994.

[11] 許偉， 陳曉波， 習(xí)俊通. 結(jié)構(gòu)光測(cè)量相位波動(dòng)誤差補(bǔ)償方法研究[J]. 光學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 31(3)： 133-138.

Xu Wei, Chen Xiaobo, Xi Juntong. A method of phase error compensation for structural light measurement[J]. Acta Optica Sinica, 2011, 31(3)： 133-138. (in Chinese)

[12] Zhou P, Liu X R, He Y, et al. Phase error analysis and compensation considering ambient light for phase measuring profilometry[J]. Optics and Lasers in Engineering, 2014, 55： 99-104

[13] 周平， 朱統(tǒng)晶， 劉欣冉， 等. 結(jié)構(gòu)光測(cè)量中相位誤差的過補(bǔ)償與欠補(bǔ)償校正[J]. 光學(xué)精密工程, 2015, 23(1)： 56-62.

Zhou Ping, Zhu Tongjing, Liu Xinran, et al. Correction of phase error overcompensation and under-compensation in structured light measurement[J]. Optics and Precision Engineering, 2015, 23(1)： 56-62. (in Chinese)

[14] Lei Z K, Wang C L, Zhou C L. Multi-frequency inverse-phase fringe projection profilometry for nonlinear phase error compensation[J]. Optics and Lasers in Engineering, 2014, 66 (3)： 249-257.

[15] 鐘凱. 基于多視相移框架的動(dòng)態(tài)物體三維面形測(cè)量技術(shù)與系統(tǒng)研究[D]. 武漢： 華中科技大學(xué), 2013.

[16] Zhang S, Yau S. Generic non-sinusoidal phase error correction for three-dimension shape measurement using a digital video projector[J]. Applied Optics, 2007, 46(1)： 36-43.

ACompensationApproachofPhaseErrorsCausedbyGammaNonlinearityforFour-StepPhase-ShiftingAlgorithm

ZHAO Xian-ling1,2， LIU Jian-sheng1, ZHANG Hua-yu1, WU Ying-chun2

(1. College of Material Science and Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China； 2. College of Electronics and Information Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China)

Gamma nonlinearity of the projector-camera pair is a main source of phase error about phase measuring pro-filometry(PMP). It causes higher-order harmonics in deformed pattern captured by camera and leads to periodic phase error at unwrapped phase map. For four-step phase-shifting algorithm, the third harmonic is the main reason which leads to appearance of periodic phase error. In order to decrease the phase error caused by gamma nonlinearity, the model between phase error and wrapped phase was established and a phase error compensation method was proposed under the condition of gamma value unknown. The simulated measurement shows that the volatility of phase error before and after compensation is less than 0.0063 rad and 0.000354 rad respectively (γ=2.2,p=0.8). The experimental results show that RMS of unwrapped phase before and after compensation about a uniform is 0.035 rad and 0.007 rad respectively and the maximum phase error decrease from 0.0867 rad to 0.0308 rad after compensation.

phase error compensation; four-step phase-shifting algorithm; gamma nonlinearity; the third harmonic; coefficient of harmonic

1673-3193(2017)03-0373-07

2016-10-28

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61601318 )； 山西省青年科技研究基金資助項(xiàng)目(201601D021078)

趙賢凌(1978-)， 女， 講師， 博士生， 主要從事非接觸三維測(cè)量方法的研究.

TN253

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.03.021